Tridom

Hier werden alle wichtigen Informationen zum Satz des Pythagoras, zu den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus sowie der Sinussatz erklärt.

1 Rechtwinkliges Dreieck
Dreieck und Quadrate

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a = 4 cm, b = 3 cm und c = 5 cm.

Zeichne an jede Seitenlänge ein passendes Quadrat und berechne deren Flächeninhalte. Welchen Zusammenhang besteht zwischen den Flächeninhalten?

enaktiv

2 Scherenschnitt
Dreieck und Quadrate

Schneide dir drei Quadrate mit den Kantenlängen a = 4 cm, b = 3 cm und c = 5 cm aus und weise nach, dass das größte Quadrat den Flächeninhalt von den beiden kleineren hat.

Zeige rechnerisch, dass die Flächen gleich groß sind.

ikonisch und numerisch

3 Der Satz des Pythagoras
Dreieck und Quadrate

Merke: Hat ein Dreieck die Seitennamen a, b und c und einen rechten Winkel gegenüber von c, dann hast du gleich zur Berechnung eine Formel parat. Es gilt:

$$a^2+b^2=c^2$$

symbolisch

4 Der Höhensatz des Euklids
Höhensatz

Unterteilt man ein rechtwinkliges Dreieck $c^2=a^2+b^2$ mit der Höhe $h$ in zwei rechtwinklige Dreiecke $a^2=h^2+p^2$ und $b^2=h^2+q^2$ erhält man:

$\begin{align} (p+q)^2 &= a^2+b^2\\ p^2+2pq+q^2 &= 2h^2+p^2+q^2\\ h^2 &= p \cdot q\\ \end{align}$

Merke: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche $h^2$ genauso groß wie die Fläche $p \cdot q$.

5 Trigonometrie - Sinus
Trigonometrie

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 2 cm. Unterteile den Kreis in 30 ° Abständen. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck für 30 ° ein. Markiere die Gegenkathete $y$.

Zeichne für jeden Winkel die Höhe der Gegenkathete $y$ in das Liniendiagramm. Du erhältst das Schaubild der Sinus-Funktion.

$$y=r\cdot sin(\alpha )$$
6 Trigonometrie - Cosinus
Trigonometrie

Wenn du für jeden Winkel die Länge der Ankathete $y$ in das Diagramm einträgst, erhältst du das Schaubild der Cosinus-Funktion.

$$y=r \cdot cos(\alpha )$$

Tipp: Die Ankathete liegt am Winkel $\alpha$, die Gegenkathete gegenüber $\alpha$ und die Hypotenuse gegenüber des rechten Winkels.

7 Sinussatz

Einfach schön erklärt: Der Sinussatz von DorFuchs.

$$\frac{sin \: \alpha}{a}=\frac{sin \: \beta}{b}=\frac{sin \: \gamma}{c}$$

Ideen: A. Wernli, Christliche Deutsche Schule Chiang Mai
J. Schwarz, Elektronikschule Tettnang



Aufgabe 1 Rechtwinklige Dreiecke

In der Figur findest du mehrere rechtwinklige Dreiecke. Wie viele sind es?

Gib für jedes Dreieck den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen nach dem Satz des Pythagoras an.

Dreieck

Es sind 5 rechtwinklige Dreiecke.

$a_1^2=b_1^2+a_2^2$
$d^2=b_2^2+a_2^2$
$b^2=d^2+a^2$
$(b_1+b_2)^2=a_1^2+d^2$
$(a_1+a)^2=(b_1+b_2)^2+b^2$


Aufgabe 2 Dreieck

Berechne die dritte Seite, den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

  1. $a=7$ cm, $b=5$ cm, $\gamma = 90$ °
  2. $a=6$ cm, $c=10$ cm, $\gamma = 90$ °
  3. $a=7$ cm, $b=3$ cm, $\alpha = 90$ °
  1. $c=\sqrt{a^2+b^2}$
  2. $b=\sqrt{c^2-a^2}$
  3. $c=\sqrt{a^2-b^2}$

Aufgabe 3 Turmhöhe

Stadtmauer von Glurns im Vinschgau

Glurns im Vinschgau (Südtirol - Italien) ist eine der kleinsten Alpenstädte. Die Besonderheit: Die Stadtmauern von Glurns sind vollständig erhalten.

Du stehst 100 m entfernt vom Turmmittelpunkt und peilst die Turmspitze unter einem Winkel von 8 ° an.

  1. Fertige eine Skizze an und trage die bekannten Maße ein.
  2. Berechne die Höhe des Turms.
  3. Genaugenommen peilst du den Turm aus 2 m Höhe an und der Abstand von 100 m ist nicht bis zum Mittelpunkt, sondern nur bis zur Turmmauer gemessen. Allerdings konntest du herausfinden das der Turm einen Durchmesser von 4 m hat. Bestimme die exakte Höhe.
  1. Skizze:

    Skizze Dreieck-Turm
  2. Turmhöhe: 14,1 m

  3. Turmhöhe: 14,34 + 2 = 16,34 m



Entspann dich erstmal ...

Kuh streicheln


Die Merkhilfe auf dem Bauernhof

Auf dem Bauernhof in den Berchtesgardener Alpen gibt es die GAGA-Hühnerhof AG, kurz GAGA-HHAG. Nun schau dir dies an:

sin cos tan cot
G A G A
H H A G

Aufgabe 4 Fehlende Größen

Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks.

Ankathete a Winkel α Gegenkathete b Hypothenuse c
30° 5
2 8
40° 9
60° 7
12.5

Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks.

Ankathete a Winkel α Gegenkathete b Hypothenuse c
30° 5
2 8
40° 9
60° 7
12.5


Wortliste und Satzbausteine



das recht­winklige Dreieck, -e ein Dreieck mit einem 90 ° Winkel
der Satz des Pytha­goras Hat ein Dreieck die Seiten $a$, $b$ und $c$ und einen rechten Winkel gegenüber von $c$, dann gilt: $c^2=a^2+b^2$
der Höhen­satz des Euklid Unterteilt man ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe $h$ in zwei rechtwinklige Dreiecke so gilt: $h^2=p\cdot q$
die Gegen­kathede $G$, -n die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck gegenüber dem Winkel $\alpha$
die An­kathede $A$, -n die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck am Winkel $\alpha$
die Hypo­tenuse $H$, -n die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck gegenüber dem rechten Winkel
der Sinus eines Winkels $\alpha$ $\sin \alpha=\frac{G}{H}=\frac{a}{c}$
der Cosinus eines Winkels $\alpha$ $\cos \alpha=\frac{A}{H}=\frac{b}{c}$
der Tangens eines Winkels $\alpha$ $\tan \alpha=\frac{G}{A}=\frac{a}{b}$
der Sinus­satz $\frac{sin \: \alpha}{a}=\frac{sin \: \beta}{b}=\frac{sin \: \gamma}{c}$

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