Plattenkondensator

Das elektrische Feld setzt erstaun­li­che Kräfte frei. Es ist nicht zu ver­wech­seln mit dem magnetischen Feld. In diesem Abschnitt wollen wir diese Kräfte und deren Auswirkung unter die Lupe nehmen und erklären.

1 Das Experiment - Der Plattenkondensator und die Kugel

Am seidenen Faden hängt sie, eine Kunststoffkugel. In einem elektrischen Feld mit 20 kV erfährt sie eine unglaubliche Beschleunigung und nicht nur das, sondern es entstehen auch noch tolle Lichtblitze.

Wo aber kommmt diese Kraft her?

Die Kraft wirkt auf elektrische Ladungen. Dabei ist sie umso größer, desto größer die Spannung, desto größer die Ladungsmenge und desto kleiner der Abstand der Platten ist.

$$F=\frac{U\cdot Q}{d}$$

Im Gleichstromkreis kann der Kondensator umso mehr Ladungen speichern, je höher dessen Kapazität C ist und je höher die Spannung ist.

$$Q=C\cdot U$$
2 Der Kondensator
Skizze Plattenkondensator
Jeder Kondensator hat eine feste Speicherkapazität. Die Höhe der Kapazität C hängt von der Bauform ab. Dabei gilt: Je größer die Fläche A, je kürzer der Abstand d und je besser das Dielektrikum, desto höher die Kapazität.

$C=\epsilon _0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d}$ $~~~~~~~~$ $[C]=\frac{As}{Vm}\cdot \frac{m^2}{m}=F$

Die Dielektrizitätszahl $\epsilon_r$ gibt an, wie viel mal größer die Kapazität eines Kondensators wird, wenn statt Luft ein Dielektrikum verwendet wird. Für Luft und Vakuum ist sie 1.

Die Elektrische Feldkonstante $\epsilon_0$ ist eine Naturkonstante: $\epsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}\frac{As}{Vm}$

3 Parallelschaltung von Kondensatoren
parallel geschaltete Kondensatoren

Schaltet man Kondensatoren parallel zueinander vergrößert sich die Gesamtkapazität der Schaltung. Es gilt:

$$\begin{align*} I &= I_1 + I_2 ~~~|I=Qt\\ Q &= Q_1 + Q_2 ~~~|Q=C\cdot U\\ CU&= C_1U_1 + C_2U_2 ~~~|U=U_1=U_2\\ C &= C_1+C_2\\ \end{align*}$$

Merke: Die Spannungsfestigkeit wird vom schwächsten Kondensator bestimmt.

4 Reihenschaltung von Kondensatoren
in Reihe geschaltete Kondensatoren

Schaltet man Kondensatoren in Reihe verkleinert sich die Gesamtkapazität unter den Wert des kleinsten Kondensators. Es gilt:

$$\begin{align*} U &= U_1 + U_2 ~~~|U=Q/C\\ \frac{Q}{C} &= \frac{Q_1}{C_1} + \frac{Q_2}{C_2} ~~~|Q=Q_1=Q_2\\ \frac{1}{C} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\\ \end{align*}$$

Merke: Die Spannungsfestigkeit erhöht sich mit jedem Kondensator.

5 Ladekurve des Kondensators
Ladekurve Kondensator

Wird ein Kondensator geladen verläuft Strom und Spannung nicht linear sondern exponentiell.

$$u_c=U_0(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$$ $$i_c=\frac{U_0}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}$$
6 Entladekurve des Kondensators
Entladekurve Kondensator

Wird ein Kondensator entladen verläuft Strom und Spannung ebenso exponentiell. Der Strom fließt nun in umgekehrte Richtung.

$$u_c=U_0e^{-\frac{t}{\tau}}$$ $$i_c=-\frac{U_0}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}$$


Aufgabe 1 Reihen- und Parallelschaltung

SMD 1206 Keramikkondensatoren

Knut hat Keramikkondensatoren bei Conrad mit den Werten 10 µF/25 V bestellt.

  1. Wie muß er sechs Kondensatoren schalten, damit er die maximale Kapazität erhält? Wie hoch ist diese und wie hoch ist die Spannungsfestigkeit?
  2. Welche Schaltungsart benötigt er für eine maximale Spannungsfestigkeit? Wie hoch ist diese bei sechs Kondensatoren und wie hoch ist die Gesamtkapazität?
  3. Entwirf eine Schaltung für 20 µF und 50 V
  4. Welchen Vorteil haben Elektrolytkondensatoren gegenüber Keramikkondensatoren?
  1. In Parallel: $C=6 \cdot 10~\mu F= 60~\mu F$, $U=25~V$

  2. In Reihe: $U=6 \cdot 25~V=150~V$, $C=1/(1/C_1+~...~+1/C_6)$$=1,67~\mu F$

  3. Jeweils 2 in Reihe ($50~V$ und $5~\mu F$) und dann 4mal parallel.

  4. Elektrolytkondensatoren haben neben einer hohen Kapazität auch eine hohe Spannungsfestigkeit.



Experiment 1 Elektrische Feldlinien sichtbar machen

Idee von B. Höger, Tettnang

sichtbar gemachte elektrische Feldlinien

Alles was du brauchst ist etwas Rizinusöl und Gries sowie einen Hochspannungsgenerator.

Wir bedecken den Boden einer Petrischale mit Rizinusöl und bestreuen den Boden mit einer dünnen SchichtWer Gries. Dann stellen wir die Schale auf einen Kondensator (s. Foto) und schalten die Hochspannung ein.

Tipp: Mische den vorher Gries mit etwas Farbstoff (z.B. Tinte).

  • Wie sieht der Feldlinienverlauf für einen Plattenkondensator aus?

  • Wie sieht der Feldlinienverlauf für einen Kugel-Plattenkondensator aus?

  • Welche Eigenschaften hat das elektrische Feld?

  1. Feldlinienverlauf Plattenkondensator:


  2. Feldlinienverlauf Kugel-Plattenkondensator:

    Plattenkondensator

  3. Eigenschaften des elektrischen Feldes:
    Die Feldlinien treten senkrecht aus und ein, sie haben eine Richtung und je höher die Spannung desto stärker ist das elektrische Feld.


Aufgabe 2

Kondensatorschaltung

Ein Kondensator mit 47 µF wird an 24 V über einen Vorwiderstand mit 2,1 kΩ angeschlossen.

  1. Wie groß ist die Zeitkonstante und wie lange dauert der Ladevorgang?
  2. Berechne die Kondensatorspannung nach 1,5 τ.
  3. Nach welcher Zeit ist die Spannung am Kondensator auf 90 % angestiegen?
  4. Wich hoch ist der maximale Einschaltstrom?
  5. Nach welcher Zeit hat der Strom noch 30 % vom Maximalwert?
  6. Zeichne das t-UC- und t-IC-Diagramm. Trage alle vorher berechneten Werte in das Diagramm ein.
  1. Zeitkonstante: $\tau =R\cdot C = 98,7~ms$

    Ladezeit: $5\tau =493,5~ms$

  2. Zeit: $2\tau=197,4~ms$

    Kondensatorspannung: $U_C(1,5\tau)=U_0(1-e^{-t/\tau})=$$24~V(1-e^{-1,5\tau /\tau})=18,64~V$

  3. gesuchter Spannungswert: $U_C=90\% \cdot U_0=21,6~V$

    $U_0(1-e^{-t/\tau})=U_C~~|:U_0$

    $1-e^{-t/\tau}=U_C/U_0~~|-1 ~|\cdot(-1)$

    $e^{-t/\tau}=1-U_C/U_0~~|ln(...)$

    $-t/\tau=ln(1-U_C/U_0)~~|\cdot \tau ~|\cdot(-1)$

    $t=-\tau\cdot ln(1-U_C/U_0)~~|einsetzen$

    $t=227~ms$

  4. Einschaltstrom: $I_0=U_0/R=24~V/2,1~k\Omega=$$11,42~mA$

  5. gesuchter Stromwert: $I_C=30\% \cdot I_0=3,426~mA$

    $U_0/R\cdot e^{-t/\tau})=I_C~~|\cdot (-R/U_0)$

    $e^{-t/\tau})=I_C\cdot R/U_0~~||ln(...)$

    $-t/\tau=ln(I_C\cdot R/U_0)~~|\cdot \tau ~~|\cdot(-1)$

    $t=-\tau\cdot ln(I_C\cdot R/U_0)~~|einsetzen$

    $t=118,91~ms$

  6. Diagramm:

    Zeit-Spannung-Strom-Diagramm



Rätsel Energiepuffer

Idee von Schüler

Kondensator

Ein Lastwiderstand mit 1 kΩ wird mit 325 V versorgt. Mit Hilfe eines Kondensators soll die Last bei Stromunterbrechung noch 5 s mit mindestens 63,3 % der Spannung versorgt werden.

Welche Kapazität benötigt der Kondensator?

Berechnen der Spannungshöhe: $\frac{100~\%}{325~V}=\frac{63,3~\%}{U_C}$, $U_C=205,725~V$

Berechnen der Zeitkonstante: $\tau=\frac{t}{-ln(U_C/U_0)}=10,934~s$

Berechnen von C: $C=\tau /R=10,934~mF$

Alternativ abschätzen aus Diagram: $0,633 ~\hat{=}~ 0,5~\tau$



Aufgabe 3 Signalverformung

Steuerspannung

Folgende Steuerspannung wird an eine RC-Schaltung gelegt. Zeichne den Signalverlauf von Spannung und Strom,

  1. wenn die die Ladezeit des Kondensators 1 s beträgt.
  2. wenn die die Ladezeit des Kondensators 2 s beträgt.
  3. wenn die die Ladezeit des Kondensators 4 s beträgt.


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