Spielfiguren in Reih und Glied

In einem Stromkreis befinden sich oft mehrere Verbraucher. Sie wer­den entweder in Reihe hintereinander oder parallel geschaltet. Hier wird die Funktionsweise der Reihen- und Parallelschaltung in der Elektrotechnik erklärt.

1 Info Reihen- und Parallel­schaltung
Lichterkette

In der Reihenschaltung werden die Verbraucher in Reihe hintereinander geschaltet, wie bei einer Lichterkette. Fällt ein Verbraucher aus, fließt durch keinen mehr Strom. In der Parallelschaltung hingegen, werden die Verbraucher nebeneinander angeschlossen. Fällt hier ein Verbraucher aus funktionieren die anderen noch.

Nun könnte man ja meinen, dass in diesem Fall die Reihenschaltung gar kein Sinn mehr macht. Dem ist aber nicht so. In diesem kurzen Tutorial erfahrt ihr wieso. Ausserdem werden die verschiedenen mathematischen Zusammenhänge zwischen den elektrischen Größen erklärt.

2 Info Reihen­schaltung
Reihenschaltung von zwei Widerständen

Der deutsche Physiker Gustav Kirchhoff untersuchte die Schaltung genauer und fand heraus, dass der Strom in der gesamten Schaltung konstant ist, $$I=konstant$$

die Gesamtspannung ist die Summe der Teilspannungen, $$U=U_1+U_2$$

der Gesamtwiderstand ist die Summe der Einzelwiderstände. $$R=R_1+R_2$$

So lassen sich, bei geringen Materialverbrauch, Leuchtmittel hintereinander schalten.

3 Maschenregel - Kirch­hoff 2
Maschenregel

Er verallgemeinerte das Summengesetz der Spannungen zur Maschenregel:
Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich Null. $$\Sigma U=0$$

Weiter stellte er einen wichtigen Zusammenhang zwischen Widerständen und Spannungen her:
Die Widerstände verhalten sich wie die Spannungen. $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{U_1}{U_2},~\frac{R}{R_1}=\frac{U}{U_1}$$

4 Info Parallel­schaltung
Parallelschaltung von zwei Widereständen

Gustav Kirchhoff, der übrigens 1824 geboren wurde, untersuchte auch die Parallelschaltung. Hier zeigte er, dass die Spannung in der gesamten Schaltung konstant ist, $$U=konstant$$

der Gesamtstrom in einem Punkt sich aus der Summe der Teilströme zusammensetzt $$I=I_1+I_2$$

und der Gesamtwiderstand sich über dessen Kehrwert bestimmen lässt. $$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

5 Knotenregel - Kirch­hoff 1
Knotenregel

Er verallgemeinerte das Summengesetz der Ströme zur Knotenregel:
Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich Null. $$\Sigma I=0$$

Auch hier stellte er einen wichtigen Zusammenhang zwischen Widerständen und Strömen her:
Die Widerstände verhalten sich umgekehrt wie die Ströme. $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{I_2}{I_1},~\frac{R}{R_1}=\frac{I_1}{I}$$



Aufgabe 1 Reihen­schaltung

Lichterkette

Eine Lichterkette aus 24 in Reihe geschalteten Leuchtmitteln gleicher Leistung liegt an einer Spannung von 230 V.

  1. Welche Spannung liegt an jedem Leuchtmittel?

Für 4 durchgebrannte Leuchtmittel werden Drahtbrücken eingelegt.

  1. Um wie viel % erhöht sich die Spannung an jedem Leuchtmittel?
  2. Wie hoch ist der Spannungsfall an einem durchgebrannten Leuchtmittel ohne Drahtbrücke?
  3. Bewerte: Ist es gefährlich eine Drahtbrücke unter Spannung einzusetzen?
  1. $U_1=9,58~V$

  2. $U_1=11,5~V,~~~20,04~\%$

  3. $U_1=230~V$


Aufgabe 2

Reihenschaltung

Zwei Widerstände sind in Reihe an U0 = 24 V geschaltet. Es fließt ein Strom von 120 mA. Berechne

  1. den Gesamtwiderstand R,
  2. den Widerstand R1, wenn der Spannungsfall hier 7 V betragen soll.
  1. $R=\frac{U}{I}=\frac{24~V}{120~mA}=200~\Omega$

  2. $R_1=R\cdot\frac{U_1}{U}=58,33~\Omega$


Aufgabe 3 Parallelschaltung

Parallelschaltung

Drei Widerstände R1 = 10 kΩ, R2 = 7 kΩ und R3 = 15 kΩ sind parallel geschaltet. Der Strom beträgt I = 3,71 mA.

  1. Berechne den Ersatzwiderstand der Schaltung.
  2. Wie groß sind die Teilströme I1, I2 und I3? Rechne über das Verhältnis.
  3. Berechne den Gesamtstrom I, wenn R3 ausfällt?
  1. $R=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}=3230,77~\Omega$

  2. $I_1=I\cdot\frac{R}{R_1}=1,20~mA$

    $I_2=I\cdot\frac{R}{R_2}=1,71~mA$

    $I_3=I\cdot\frac{R}{R_3}=0,798~mA$

  3. $I=I_1+I_2=2,91~mA$


Aufgabe 4 Gemischte Schaltung

Gemischte Schaltung

Durch die gemischte Schaltung fließt der Strom I2 = 75 mA und I3 = 25 mA. Der Widerstand R1 beträgt 2,2 kΩ, R2 beträgt 1 kΩ.

  1. Berechne R3.
  2. Berechne den Ersatzwiderstand.
  3. Wie groß ist die Spannung U?

Lösungshinweise:

  1. $\frac{R_3}{R_2}=\frac{I_2}{I_3}$

  2. $R=R_1+\frac{1}{\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}$

  3. $U=R\cdot (I_2+I_3)$


Aufgabe 5 Spannungsteiler

Spannungsteilerschaltung

Ein Spannungsteiler mit R1 = 1 kΩ, R2 = 1 kΩ und U1 = 20 V wird unterschiedlich belastet.

  1. Berechne R2L und U2.
RL in Ω 100k 10k 1k 100
R2L in Ω
U2 in V
  1. Bewerte: Wie viel größer sollte R2 im Verhältnis zu RL sein um eine stabile Ausgangssapannung zu erhalten?
  2. Bewerte: Wie viel größer sollte Iq im Verhältnis zu IL sein um eine stabile Ausgangssapannung zu erhalten?
  3. Berechne die Verlustleistung und die Lastleistung der Schaltung für RL = 10 kΩ .
  1. $R_L=100~k\Omega$: $R_{2L}=990~\Omega$, $U_2=9,95~V$

    $R_L=10~k\Omega$: $R_{2L}=909~\Omega$, $U_2=9,52~V$

    $R_L=1~k\Omega$: $R_{2L}=500~\Omega$, $U_2=6,67~V$

    $R_L=100~\Omega$: $R_{2L}=90,9~\Omega$, $U_2=1,67~V$

    $R_L=10~\Omega$: $R_{2L}=9,9~\Omega$, $U_2=0,196~V$

  2. RL sollte sehr viel größer als R2 sein, d.h. mindestens 10mal größer.

  3. Da die Ströme sich umgekehrt wie die Widerstände in der Parallelschaltung verhalten gilt: Iq muss sehr viel größer als IL sein.

  4. Die Verlustleistung beträgt: $P_V=200~mW$ und $P_L=10~mW$. Aus diesem Grund werden Spannungsteiler nicht zum direkten Steuern von Lasten eingesetzt.


Aufgabe 6 Spannungsteiler | Idee von A. Grella Elektronikschule Tettnang

Spannungsteilerschaltung

Der Spannungsteiler hat einen Gesamtwiderstand von R = 20 Ω und liegt an einer Spannung U1 = 230 V.

  1. Auf welchen Widerstand R2 muss der Spannungsteiler im Leerlauf eingestellt werden, damit U2 = 138 V beträgt?
  2. Auf welchen Wert sinkt die Spannung U2 ab, wenn eine Last von 240 Ω an den Ausgang des Spannungsteilers angeschlossen wird?
  3. Wie viele gleiche Widerstände dürfen parallel an den Ausgang des Spannungsteilers angeschlossen werden, ohne dass die Spannung U2 unter 115 V absinkt?
  1. Widerstand R2:

    $R_2=R\frac{U_2}{U_1}=20\Omega \frac{138~V}{230~V}=12~\Omega$

  2. $R_{2L}=\frac{1}{1/R_2+1/R_L}=11,43~\Omega$

    $U_2=U_1\frac{R_{2L}}{R_1+R_{2L}}=135,3~V$

  3. $R_{2L}=R_1\frac{U_2}{U_1-U_2}=8~\Omega\frac{115~V}{115~V}=8~\Omega$

    $\frac{1}{R_{2L}}=\frac{1}{R_{2}}+\frac{x}{R_{L}}$

    $x=\left(\frac{1}{R_{2L}}-\frac{1}{R_2}\right)R_L=10$


Aufgabe 7 Maschenstromverfahren

Gemischte Schaltung

Mit dem Maschenstromverfahren ist der Strom und die Spannung am Widerstand R2 zu bestimmen.

Folgende Werte sind bekannt:
R1 = 120 Ω, R2 = 470 Ω, I01 = 12 mA und U01 = 24 V.

Masche über beide Widerstände und Spannungsquelle:

Gemischte Schaltung

$U_{01}+U_1-U_2=0$

$U_{01}+R_1I_1-R_2I_2=0~~~~|I_1=-I_{01}-I_2$

$U_{01}-R_1I_{01}-R_1I_2-R_2I_2=0$

$I_2(-R_1-R_2)=R_1I_{01}-U_{01}$

$I_2=\frac{R_1I_{01}-U_{01}}{(-R_1-R_2)}$

$I_2=38,24~mA$

$U_2=R_2I_2=17,97~V$


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