Kerze mit Dualzahlen

Zahlensysteme


Ideen: M. Metz, A. Grella, A. Grupp, Elektronikschule Tettnang.

Der Aufbau von Zahlensystemen wird am Beispiel des Dezimal-, Dual- und Hexadezimalsystems erklärt. Des weiteren wird gezeigt, wie man zwischenden verschiedenen Zahlensystemen umrechnen kann.

Zahlensysteme basieren auf Potenzen wie bspw. $2^3$. Dabei ist 2 die Basis und 3 der Exponent.

Das Dezimalsystem - Basis 10



$5$ $7$
$5\cdot 10^1$ + $7\cdot 10^0$ $=57$
$5\cdot 10$ + $7\cdot 1$ $=57$

Das Dezimalsystem besteht aus den 10 Werten: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

Als Standard-Zahlensystem erhält es keine besondere Kennzeichnung.

In der Netzwerktechnik werden IPv4-Adressen bspw. im Dezimalsystem angegeben.

Das Dualsystem - Basis 2 von dual nach dezimal



Das Dualsystem besteht aus den 2 Werten: $0, 1$.

Beim Programmieren werden die Zahlen mit $0b$ gekennzeichnet, z.B. $0b1011$.

In der Netzwerktechnik werden alle Daten im dualen Format übertragen. So wird bspw. Laser mit 10 Gbit/s 10 Milliarden mal pro Sekunde ein- und ausgeschaltet, um über eine Glasfaser kurze Lichtimpulse zu senden.

$0$ $1$ $1$
$0\cdot 2^2$ + $1\cdot 2^1$ + $1\cdot 2^0$ $=3$
$0\cdot 4$ + $1\cdot 2$ + $1\cdot 1$ $=3$

Das Hexadezimal­system - Basis 16 von hexadezimal nach dezimal



$A$ $F$
$10\cdot 16^1$ + $15\cdot 16^0$ $=6063$
$10\cdot 16$ + $15\cdot 1$ $=175$

Das Hexadezimalsystem besteht aus den 16 Werten: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F$.

Beim Programmieren werden die Zahlen mit $0x$ gekennzeichnet, z.B. $0x17AF$.

In der Netzwerktechnik werden MAC-Adressen und IPv6-Adressen im Hexadezimalsystem angegeben.

Übung 1 von dual oder hexadezimal nach dezimal

Berechne den Dezimalwert.

  1. $0b1011\:1100$

  2. $0b0101\:0101$

  3. $0xABCD$

  4. $0x1111$

  1. $0b1111\:1111$

  2. $0b1111\:0000$

  3. $0x1234$

  4. $0xF0F0$

  1. $0b1011\:1100$=188

  2. $0b0101\:0101=85$

  3. $0xABCD=43981$

  4. $0x1111=4369$

  1. $0b1111\:1111=255$

  2. $0b1111\:0000=240$

  3. $0x1234=4660$

  4. $0xF0F0=61680$


von dezimal nach dual



Die Umrechnung von dezimal nach dual funktioniert einfach im Umkehrprinzip. Man notiert sich die Werte der 2er Potenzen ($1, 2, 4, 8, ...$) und prüft dann in welchen Wert die Dezimalzahl reinpasst.

Hier passt bspw. die $8$ einmal in die 11 und das ergibt einen Rest von $3$. Dann passt die $2$ und die $1$ noch in $3$ und somit erhält man $11=0b1011$.

$11$
$1\cdot 8$ $+$ $0\cdot 4$ + $1\cdot 2$ + $1\cdot 1$
$11$ $=$ $0b1011$

von hexadezimal nach dual



$1$ $7$ $A$ $F$
$0001$ $0111$ $1010$ $1111$

Die Umrechnung von hexadezimal nach dual erfolgt auf Basis der Tabelle. Jeder Ziffer im hexadezimalen System kann direkt ein dualer Wert zugeordnet werden, da $0xF$ exakt $0b1111$ entspricht.

In dem Beispiel ist somit $0x17AF=0b0001\:0111\:1010\:1111$.

dez hex dual
$0$ $0$ $0000$
$1$ $1$ $0001$
$2$ $2$ $0010$
$3$ $3$ $0011$
dez hex dual
$4$ $4$ $0100$
$5$ $5$ $0101$
$6$ $6$ $0110$
$7$ $7$ $0111$
dez hex dual
$8$ $8$ $1000$
$9$ $9$ $1001$
$10$ $A$ $1010$
$11$ $B$ $1011$
dez hex dual
$12$ $C$ $1100$
$13$ $D$ $1101$
$14$ $E$ $1110$
$15$ $F$ $1111$

Übung 2 von dezimal oder hexadezimal nach dual

Berechne den Dualwert.

  1. $255$

  2. $67$

  3. $43$

  4. $201$

  1. $0x4A$

  2. $0xCAFE$

  3. $0xACAD$

  4. $0xAFFE$

  1. $0xACDC$

  2. $0xADAC$

Übung 2 von dezimal oder hexadezimal nach dual

Berechne den Dualwert.

  1. $255=0b1111\: 1111$

  2. $67=0b0100\: 0011$

  3. $43=0b0010\:1011$

  4. $201=0b1100\: 1001$

  1. $0x4A=0b0100\:1010$

  2. $0xCAFE=0b1100\:1010\:1111\:1110$

  3. $0xACAD=0b1010\:1100\:1010\:1101$

  4. $0xAFFE=0b1010\:1111\:1111\:1110$

  1. $0xACDC=0b1010\:1100\:1101\:1100$

  2. $0xADAC=0b1010\:1101\:1010\:1100$


Wortliste und Satzbausteine



das Dezimal­system, -e Das Dezimal­system ist ein Zahlen­system mit der Basis 10. Es wird durch 10 Ziffern gekenn­zeichnet. Jede Stelle kann die Werte 0 bis 9 an­nehmen.
das Dual­system, -e Das Dual­system ist ein Zahlen­system mit der Basis 2. Es wird durch 2 Ziffern gekenn­zeichnet. Jede Stelle kann die Werte 0 bis 1 an­nehmen.
das Hexa­dezimal­system, -e Das Hexadezimal­system ist ein Zahlen­system mit der Basis 16. Es wird durch 16 Ziffern gekenn­zeichnet. Jede Stelle kann die Werte 0 bis F an­nehmen.
die Binär­zahl, -en Dualzahl
die Potenz, en Eine Potenz ist ein Produkt aus gleichen Faktoren $a$: $a\cdot a \cdot ... = a^n$. Dabei ist $a$ die Basis, $n$ der Exponent und $a^n$ die Potenz.
die Glasfaser, ern ein Lichtwellenleiter
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