Lininendiagramm AC

Wechselstromtechnik | AC


Ideen:
H. Bäurle, J. Schwarz, Elektronikschule Tettnang
J. Grehn, J. Krause, "Metzler-Physik", Schroedel Verlag, 2002

Wechselstrom ändert seinen Wert und Richtung periodisch. Der arith­metische Mittel­wert ist Null.

In diesem Artikel werden die Grundlagen der Wechselstromtechnik erklärt. Darüber hinaus erfährst du, was passiert, wenn Du Wechselstrom durch einen Kondensator oder Spule fließen lässt.

Linien- und Zeigerdiagramm - line chart and pointer diagram



Liniendiagramm

Wechselstrom (engl. alternating current - AC) ändert seinen Wert und Richtung periodisch. Der arith­metische Mittel­wert ist Null. Der Strom- und Spannungsverlauf im sogenannten Liniendiagramm kann mit folgender Funktion angegeben werden:

$$ u(t)=U_0 \cdot sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot t \right)$$ $$ i(t)=I_0 \cdot sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot t \right)$$

$U_0$, $I_0$ werden als Maximalwert oder Amplitude bezeichnet (auch $U_p$, $I_p$). Die Zeit von einem Maximum zum nächsten wird Periodendauer $T$ genannt. Die Frequenz des Signals ist $f=\frac{1}{T}$ mit $[f]=\frac{1}{s}=\text{Hz}$ (Hertz).

Der Zeiger mit der Länge $U_p$ oder $I_p$ rotiert gegen den Uhrzeigersinn 50mal pro Sekunde. Mit dieser zusätzlichen Information ist das Zeigerdiagramm ein gleichwertiges Diagramm wie das Liniendiagramm für Wechselstrom.

Die Kreisfrequenz $\omega$ gibt an, welche Strecke der Zeiger pro Periodendauer $T$ zurücklegt:

$$\omega=2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$
Zeigerdiagramm

Aufgabe 1

Gegeben sind U01 = 10 V und U02 = 15 V. Beide Spannungen haben eine Frequenz von f = 50 Hz. Die Spannung U2 eilt U1 um Δt = 5 ms nach.

  1. Zeichne den Spannungsverlauf von U1 und U2 in ein Liniendiagramm.
  2. Zeichne das Zeigerdiagramm. Bestimme die Phasenverschiebung zwischen U2 und U1.
  3. Zeichne U3(t) = U1(t) + U2(t) in das Liniendiagramm.
  4. Bestimme die mathematische Gleichung für U1(t) und U2(t).
  5. Bestimme die mathematische Gleichung für U3(t) aus dem Zeigerdiagramm.

  1. Liniendiagramm:
    Liniendiagramm
  2. Phasenverschiebung zwischen U2 und U1: 90 Grad
  3. Liniendiagramm U3(t): s.o.
  4. mathematische Gleichungen:
    $u_1(t)=10\:V \cdot sin \left( \frac{2\pi}{20\:ms} \cdot t \right)$
    $u_2(t)=15\:V \cdot sin \left( \frac{2\pi}{20\:ms} \cdot (t-5\:ms) \right)$
  5. mathematische Gleichung:
    $u_3(t)=18\:V \cdot sin \left( \frac{2\pi}{20\:ms} \cdot (t-3,13\:ms) \right)$

Effektivwert - Root mean square | rms



line chart

Stell dir vor, du musst eine unterbrechungsfreie Stromversorgung - USV (engl. uninterrupted power supply - UPS) mit Batterien für die Beleuchtung einer Halle realisieren. Der Maximalwert beträgt 325 V. Wie viele 12 V Autobatterien muß man in Reihe schalten, damit die Lampen gleich hell sind, bzw. die identische Leistung umgesetzt wird?

Wenn wir also Gleichstrom (engl. direct current - DC) und Wechselstrom (AC) vergleichen: Welcher Maximalwert $U_p$ ist notwendig um den gleichen Leistungsumsatz in einem Widerstand zu erhalten?

$$\begin{equation*} \begin{array}{cc} W_{DC} &=& W_{AC}\\ U \cdot I \cdot T &=& \frac{U_p \cdot I_p}{2} \cdot T\\ \frac{V \cdot U}{R} &=& \frac{U_p \cdot U_p}{2R}\\ U^2 &=& \frac{1}{2}U_p^2\\ U &=& \frac{1}{\sqrt{2}}U_p\\ \end{array} \end{equation*} $$ $$U_{eff}=U=\frac{U_p}{\sqrt{2}} \:\:\: I_{eff}=I=\frac{I_p}{\sqrt{2}}$$
line chart

Aufgabe 2 Welche Aussage ist wahr?

Wähle die korrekten Aussagen aus.

Der Winkel beträgt 3,1215 rad. Bestimme das Gradmaß.
Wähle eine Antwort.

  1. 90 °
  2. 270 °
  3. 180 °
  4. 360 °


Der Winkel beträgt 45 °. Bestimme das Bogenmaß.
Wähle zwei Antworten.

  1. π/8 rad
  2. π/4 rad
  3. 0,120 rad
  4. 0,785 rad



Bestimme nach 15 s die Periodenanzahl einer Wechselpannung mit f = 200 Hz.
Wähle eine Antwort.

  1. 300
  2. 777
  3. 3000
  4. 12420


Eine Wechselspannung ist mit U = 24 V angegeben. Bestimme die Amplitude.
Wähle eine Antwort.

  1. 33,9 V
  2. 24 V
  3. 47,5 V
  4. 12 V


Zwei Lampen leuchten gleich hell. Erkläre die physikalische Bedeutung.
Wähle eine Antwort.

  1. Beide Leuchtmittel sind gleich groß.
  2. Beide Leuchtmittel haben die gleiche Leistung.
  3. Beide Leuchtmittel werden an Wechselspannung betrieben.
  4. Beide Leuchtmittel setzen die identische Energie frei.


Bestimme die notwendige zusätzliche Information eines Zeigerdiagramms.
Wähle eine Antwort.

  1. Amplitude
  2. Frequenz
  3. Winkel
  4. Zeitverschiebung

Entspann dich erstmal ...



Rezept für 3 Stück Laugengebäck:

  • 160 g Mehl 405
  • 100 g Milch
  • 40 g Sauerteig
  • 5 g Hefe
  • 5 g Salz

Teig kneten und alle 20-30 Minuten falten. Am Ende 30 Minuten ruhen lassen und direkt vor dem Backen mit 4 % Natronlauge bestreichen. Mit Rasierklinge einschneiden und mit grobem Salz bestreuen. Ohne Wasserdampf bei 200 °C circa 15 Minuten backen.

PLÖTZBLOG

Widerstand im Wechselstromkreis - Resistor in AC circuits



line chart

Liegt eine sinusförmige Wechselspannung an einem Widerstand (engl. resistive load) an, fließt durch ihn ein Wechselstrom der in Phase mit der Spannung ist.

$$ U_R(t)=U_0 \cdot sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot t \right)$$ $$ I(t)=I_0 \cdot sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot t \right)$$

Die beiden Zeiger $U_R$ und $I$ sind in Phase, d.h. der Winkel zwischen den beiden Zeigern ist Null.

pointer diagram

Kondensator im Wechselstromkreis - Capacitor in AC circuits



line chart

Als eines Tages mein Kofferradio nicht mehr richtig funktionierte, habe ich es kurzerhand aufgeschraubt, um es zu reparieren. Ein Kondensator war völlig schwarz und so tauschte ich ihn aus. Bei der Größe der Kapazität tappte ich völlig im Dunkeln. Das Ergebnis: Es fehlte der Bass, die niedrigen Frequenzen waren nicht mehr zu hören. Wie konnte das passieren?

Wenn wir Spannung und Strom an einem Kondensator im Wechselstromkreis (engl. capacitive load) messen, beobachtet man 90 Grad Pasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Der Kondensator wird ständig geladen und entladen. Solange der Stromfluss positiv ist wird der Kondensator geladen und die Spannung $U_{bC}$ steigt.
Wirkungskette I+ → Q↑ → UbC↑

Da 90 Grad mit 5 ms korreliert, kann Spannung und Strom wie folgt geschrieben werden:

$$ U_{bC}(t)=U_0 \cdot sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot (t-5) \right)$$ $$ I(t)=I_0 \cdot sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot t \right)$$
Zeigerdiagramm

Ein Kondensator mit konstanter Kapazität von C = 1000 nF wird in einem Wechselstromkreis untersucht. Gemessen wird der Spannungsfall $U_{bC}$ am Kondensator und der Strom $I$. Der Kondensator verhält sich im Wechselstromkreis wie ein Widerstand. Dieser Widerstand wird als Blindwiderstand $X_C$ (engl. reactance) bezeichnet. Berechne den resultierenden Blindwiderstand $X_C$ und zeichne das Frequenz-Widerstandsdiagramm.

$f$ in Hz 50 100 200 500
$U_{bC}$ in V 3,16 3,16 3,16 3,11
$I$ in mA 0,87 1,94 3,9 9,6
$X_C$ in Ω 3,6 k 1,6 k 0,9 k 0,4

Kondensatoren mit unterschiedlichen Kapazitäten und konstanter Frequenz f = 1000 Hz werden im Wechselstromkreis untersucht. Berechne den resultierenden kapazitiven Blindwiderstand $X_C=\frac{U_{bC}}{I}$ und zeichne das Kapazitäts-Widerstandsdiagramm.

$C$ in nF 50 100 200 500
$U_{bC}$ in V 3,16 3,15 3,15 3,10
$I$ in mA 0,93 1,98 4,1 9,1
$X_C$ in Ω 3,4 k 1,6 k 0,8 k 0,34 k
$$X_{C} \sim \frac{1}{f} \:\:\:\: X_{C} \sim \frac{1}{C}$$ $$X_{C}=\frac{1}{2 \pi fC}=\frac{1}{\omega C} \: \: \: [X_C]=\frac{s}{F}=\Omega$$

Aufgabe 3

  1. Bei welcher Frequenz hat ein Kondensator mit C = 22 nF einen kapazitiven Blindwiderstand von 1000 Ohm?
  2. Welchen Blindwiderstand weißt der Kondensator bei f = 500 Hz, 1000 Hz, 2500 Hz, 5000 Hz und 10000 Hz auf.
  3. Zeichnen Sie XC = f(f).
  4. Wie groß wäre der Blindwiderstand bei f = 0 Hz und wie groß bei sehr hohen Frequenzen.
Schaltung Blindwiderstand

  1. $f=\frac{1}{2\pi CX_C}=7234~Hz$

  2. $X_C=\frac{1}{2\pi fC}$:

    f in kHz 0,5 1 2,5 5 10
    XC in kΩ 14,5 7,23 2,89 1,45 0,72

  3. XC = f(f):
    Frequenz-Blindwiderstand-Kennlinie

  4. Bei f = 0 Hz ist der kapazitive Blindwiderstand unendlich groß. Für sehr hohe Frequenzen geht er hingegen gegen Null.

Spule im Wechselstromkreis - Inductor in AC circuits



line chart

Wir könnten auch sagen, der Strom erreicht 5 ms später das Maximum, d.h. er eilt um 90 Grad nach.

$$ U_{bL}(t)=U_0 \cdot sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot (t+5) \right)$$ $$ I(t)=I_0 \cdot sin \left( \frac{2\pi}{T} \cdot t \right)$$

Das magnetische Feld in der Spule ändert fortlaufend seine Richtung. Solange die Spannung positiv ist, steigt der Strom und das magnetische Feld baut sich auf.
Wirkungskette: UbL + → I↑ → B↑

Im Zeigerdiagramm zeichnen wir 90 Grad Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.

$$X_{L} \sim f \:\:\:\: X_{L} \sim L$$ $$X_{L}=2 \pi fL=\omega L \: \: \: [X_L]=\frac{H}{s}=\Omega$$
Zeigerdiagramm

Aufgabe 4

  1. Eine Spule hat bei 50 Hz einen Blindwiderstand von 30 Ohm. Wie hoch ist die Induktivität?
  2. Wie hoch ist der Blindwiderstand bei 500 Hz und bei 1000 Hz?
  3. Zeichnen Sie XL = f(f).
  4. Wie groß wäre der Blindwiderstand bei f = 0 Hz und wie groß bei sehr hohen Frequenzen.

  1. Induktivität: $L=95,5~mH$

  2. induktiver Blindwiderstand 500 Hz (10mal größer): $X_L=300~$Ohm

    induktiver Blindwiderstand 1000 Hz: $X_L=600~$Ohm

  3. XL = f(f):
    Frequenz-Blindwiderstand-Kennlinie

  4. Bei f = 0 Hz ist der induktive Blindwiderstand Null. Für sehr hohe Frequenzen geht er hingegen gegen Unendlich.

Aufgabe 5 Welche Aussage ist wahr?

Wähle die korrekten Aussagen aus.

Wähle korrekte Aussagen über die Phasenverschiebung.
Wähle beliebig viele Antworten.

  1. Bei Induktivitäten, Spannungen sich verspäten.
  2. Bei der Induktivität, kommt der Strom zu spät.
  3. Beim Kondensator, eilt die Spannung vor.
  4. Beim Widerstand, geht der Strom an den Strand.


Wähle korrekte Aussagen über die Phasenverschiebung.
Wähle beliebig viele Antworten.

  1. Sie kann zwischen Strom und Spannung existieren.
  2. Bei einer Spule gibt es keine.
  3. Beim Kondensator eilt der Strom vor.
  4. Beim Widerstand ist sie zwischen I und U Null.



Verdoppelt man die Frequenz und die Induktivität, ist der Blindwiderstand ...
Wähle eine Antwort.

  1. doppelt so groß.
  2. halb so groß.
  3. 4mal kleiner.
  4. 4mal so groß.


Verdoppelt man die Frequenz und die Kapazität, ist der Blindwiderstand ...
Wähle eine Antwort.

  1. doppelt so groß.
  2. halb so groß.
  3. 4mal kleiner.
  4. 4mal so groß.



Blindleistung - reactive power



Liniendiagram Blindleistung

Die Blindleistung hat keinerlei Einfluss auf die Leistungsaufnahme der Last. Alle 5 ms (positive Leistung) verbraucht die Last Leistung, die nächsten 5 ms (negative Leistung) generiertdie Last Leistung und sendet sie zurück zum Erzeuger (dem Kraftwerk).

Nichts desto trotz muss der Energieerzeuger die Leistung bereitstellen und diese Leistung führt zueiner zusätzlichen Last auf den Übertragungsleitungen. Dabei kommt es zur Wärmeerzeugung der Übertragungsleitungen (Verluste).

Aus diesem einfachen Grund haben die Energieversorgungsunternehmen keinerlei Interesse an Blindleistung und lassen sich diese bezahlen, wenn man sie nicht kompensiert.

In der Praxis besteht die Netzlast aus einem Scheinwiderstand, einer Mischung von ohmschen Widerstand (auch Wirkwiderstand) und Blindwiderstand. Die Leistung wird entsprechend als Scheinleistung S, Wirkleistung P und Blindleistung Q bezeichnet. In der Reihenschaltung verhalten sich neben den Widerständen auch die Leistungen wie die Spannungen. Aufgrund des rechten Winkels können die Berechnungen ebenso auf Basis rechtwinkliger Dreiecke durchgeführt werden:

$S=U\cdot I=\sqrt{P^2+Q^2}$

$P=U_W\cdot I=S\cdot cos\phi$

$Q=U_{b}\cdot I=S\cdot sin\phi$

Aufgabe 6

Ein Serverraum wird mit folgenden Geräten ausgestattet:

  • Virtualisierungsserver: 230 V / 4 A, cos φ = 1
  • PoE Switch: S = 420 W
  • Router: 230 V / 2 A, cos φ = 0,75
  • 2mal TFT Monitor: 30 W, cos φ = 0,8

Bestimme die gesamte Scheinleistung.

S ≈ 2030 W

Englische und deutsche Wörter



real power $P$ Wirkleistung $P$
reactive power $Q$ Blindleistung $Q$
apparent power $S$ Scheinleistung $S$
power factor $cos \phi$ Wirkleistungsfaktor $cos \phi$
reactive factor $sin \phi$ Blindleistungsfaktor $sin \phi$
real voltage $V_R$ Wirkspannung $U_W$
reactive voltage $V_X$ Blindspannung $U_b$
apparent voltage $V$ Scheinspannung $U$
resistance $R$ ohmscher Widerstand $R$
capcitive reactance $X_C$ kapazitiver Blindwiderstand $X_{bC}$
inductive reactance $X_L$ induktiver Blindwiderstand $X_{bL}$
impedance $Z$ Scheinwiderstand $Z$