Beschleunigte Bewegung mit Windwiderstand

Endgeschwindigkeit: $$v_{E}=\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot g}{c_w\cdot \rho_{Luft}\cdot A}}$$

Luftdichte:

$$\rho_{Luft~~~0^\circ}=1,2920~kg/m^3$$

$$\rho_{Luft~~25^\circ}=1,1839~kg/m^3$$

Luftwiderstandsbeiwert:

$$c_{w~~Mensch~liegend}=0,87$$

$$c_{w~~VW-Bus}=0,44$$

$$c_{w~~Mercedes~E-Klasse}=0,24$$

Strecke: $$s(t)=v_E~\tau~ e^{-t/\tau}+v_E~t-v_E~\tau$$

Geschwindigkeit: $$v(t)=v_{E}\left(1-e^{-t/\tau}\right) $$

Beschleunigung: $$a(t)=\frac{v_E}{\tau}e^{-t/\tau}$$

Zeitkonstante: $$\tau=\frac{v_{E}}{g}$$

Auf einen fallenden Körper wirken die Gewichtskraft F_G und die Windwiderstandskraft F_W, welche entgegengesetzt wirken. Die resultierende Kraft F_res berechnet sich dann zu: $$F_{res}=F_G-F_W$$. $$m\cdot a=mg-\frac{1}{2}c_w\rho Av^2$$ Aus dieser Bewegungsgleichung lässt sich bereits die maximale Geschwindigkeit, die sogenannte Endgeschwindigkeit $v_E$, berechnen. Sie wird erreicht, wenn die resultierende Kraft Null ist, also beide Kräfte gleich groß sind: $$0=mg-\frac{1}{2}c_w\rho Av^2$$

$v_{E}=\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot g}{c_w\cdot \rho_{Luft}\cdot A}}$

In dieser Formel sieht man, dass die Endgeschwindigkeit von der Masse abhängig ist. Um nun nicht nur die Endgeschwindigkeit zu berechnen, sondern auch den exakten zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit zu erhalten, müssen wir die Differentialgleichung lösen: $$m\frac{dv}{dt}=mg-\frac{1}{2}c_w\rho Av^2$$ Wir trennen die Variablen $$\frac{m}{mg-\frac{1}{2}c_w\rho Av^2}dv=dt$$ und Ausklammern von mg im Nenner ergibt die Konstante $1/v_E^2$: $$\frac{m}{mg\left(1-\frac{c_w\rho A}{2mg}v^2\right)}dv=dt$$ $$\frac{1}{1-v^2/v_E^2}dv=g~dt$$ Wir substituieren: $x^2=\frac{v^2}{v_E^2} \Leftrightarrow x=\frac{v}{v_E} \Leftrightarrow \frac{dx}{dv}=\frac{1}{v_E} $$\Leftrightarrow dv=v_E~dx$ und erhalten: $$\frac{1}{1-x^2}v_E~dx=g~dt$$ $$\frac{2}{1-x^2}dx=\frac{2g}{v_E}dt$$ Mit $\frac{2}{1-x^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{1+1+x-x}{(1+x)(1-x)}$$=\frac{1-x}{(1+x)(1-x)}+\frac{1+x}{(1+x)(1-x)}$$=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}$ können wir die Gleichung vereinfachen und erhalten: $$\frac{1}{1+x}dx+\frac{1}{1-x}dx=\frac{2g}{v_E}dt$$ Wir substituieren: $u=1+x \Leftrightarrow \frac{du}{dx}=1 \Leftrightarrow dx=du$, $v=1-x \Leftrightarrow \frac{dv}{dx}=-1 \Leftrightarrow dx=-dv$ und integrieren: $$\int\frac{1}{u}du-\int\frac{1}{v}dv=\int\frac{2g}{v_E}dt$$ $$ln(u)-ln(v)=\frac{2g}{v_E }t$$ Rücksubstitution: $$ln(1+x)-ln(1-x)=\frac{2g}{v_E}t$$ $$ln(1+\frac{v}{v_E})-ln(1-\frac{v}{v_E})=\frac{2g}{v_E}t$$ $$ln(1-\frac{v}{v_E})-ln(1+\frac{v}{v_E})=-\frac{2g}{v_E}t$$

Auflösen nach $v$: $$e^{ln(1-\frac{v}{v_E})-ln(1+\frac{v}{v_E})}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$\frac{e^{ln(1-\frac{v}{v_E})}}{e^{ln(1+\frac{v}{v_E})}}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$\frac{1-\frac{v}{v_E}}{1+\frac{v}{v_E}}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$1-\frac{v}{v_E}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}\cdot \left(1+\frac{v}{v_E}\right)$$ $$1-\frac{v}{v_E}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}+\frac{v}{v_E}e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$\frac{v}{v_E}+\frac{v}{v_E}e^{-\frac{2g}{v_E}t}=1-e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$\frac{v}{v_E}\left(1+e^{-\frac{2g}{v_E}t}\right)=1-e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ Somit erhalten wir den zeitlichen Verlauf von $v$: $$v(t)=v_E\cdot\frac{1-e^{-\frac{2g}{v_E}t}}{1+e^{-\frac{2g}{v_E}t}}$$ Dabei wurden die Randbedingungen vernachlässigt, da wir bei $v=0$ beginnen und die Maximalgeschwindigkeit $v_E$ ist. Eine alternative Schreibweise für die Lösung dieses Integrals ist: $$v(t)=v_E\cdot tanh\left(\frac{g}{v_E}t\right)$$ Für einfache Berechnungen kann der Verlauf mit einer einfachen e-Funktion genähert werden: $$v(t)=v_{E}\left(1-e^{-\frac{g}{v_E}t}\right) $$ Vergleicht man die beiden Funktionen für eine Endgeschwindigkeit von 50 m/s, 25 m/s und den freien Fall erhält man folgenden Verlauf:

Man erkennt, dass in der Realität die Endgeschwindigkeit etwa doppelt so schnell erreicht wird wie bei der einfachen Berechnung.

Für die vereinfachte Berechnung soll nun noch die Strecke und Beschleunigung berechnet werden.

Durch Ableiten der Geschwindigkeit erhält man die Beschleunigung:

$$a(t)=\frac{dv}{dt}=v'(t)=g~e^{-\frac{g}{v_E}t}$$,

durch Integrieren der Geschwindigkeit die Strecke:

$$v(t)=\frac{ds}{dt}\Leftrightarrow ds=v(t)dt$$ $$\Leftrightarrow \int ds=\int v_{E}\left(1-e^{-\frac{g}{v_E}t}\right)dt$$ $$\Leftrightarrow s=v_{E}\left(t+\frac{v_E}{g}~e^{-\frac{g}{v_E}t}+c\right)$$

mit der Randbedingung $v_0=0$ folgt:

$$s(t)=v_{E}~t+\frac{{v_E}^2}{g}~e^{-\frac{g}{v_E}t}-\frac{{v_E}^2}{g}$$