Muffin-Förmchen

Die Physik lehrt uns, dass im freien Fall jeder Körper gleich schnell beschleunigt. Doch wieviele von uns haben als Kind, dass frustrierende Erlebnis gemacht, dass sie beim Skifahren immer langsamer als ein Erwachsener waren.

In dem Video werden zwei Plastik-Wasserflaschen gleichzeitig fallen gelassen. Die eine Flasche ist leer, die andere mit Wasser gefüllt.

Die Praxis lehrt uns, dass die Beschleunigung aufgrund des Windwiderstandes endlich ist. Aber wenn nun beide Gegenstände identische Formen aufweisen, haben sie den gleichen Windwiderstand. Beschleunigen sie nun wieder gleich schnell? Überzeugen Sie sich selbst und finden Sie eine Antwort auf die Frage.


Endgeschwindigkeit: $$v_{E}=\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot g}{c_w\cdot \rho_{Luft}\cdot A}}$$
Luftdichte:

$$\rho_{Luft~~~0^\circ}=1,2920~kg/m^3$$

$$\rho_{Luft~~25^\circ}=1,1839~kg/m^3$$

Luftwiderstandsbeiwert:

$$c_{w~~Mensch~liegend}=0,87$$

$$c_{w~~VW-Bus}=0,44$$

$$c_{w~~Mercedes~E-Klasse}=0,24$$

Eine vereinfachte Berechnungsmöglichkeit für den Strecken- und Geschwindigkeitsverlauf mit Windwiderstand ist wie folgt:

Strecke: $$s(t)=v_E~\tau~ e^{-t/\tau}+v_E~t-v_E~\tau$$
Geschwindigkeit: $$v(t)=v_{E}\left(1-e^{-t/\tau}\right) $$
Beschleunigung: $$a(t)=\frac{v_E}{\tau}e^{-t/\tau}$$
Zeitkonstante: $$\tau=\frac{v_{E}}{g}$$
Auf einen fallenden Körper wirken die Gewichtskraft FG und die Windwiderstandskraft FW, welche entgegengesetzt wirken. Die resultierende Kraft Fres berechnet sich dann zu: $$F_{res}=F_G-F_W$$. $$m\cdot a=mg-\frac{1}{2}c_w\rho Av^2$$ Aus dieser Bewegungsgleichung lässt sich bereits die maximale Geschwindigkeit, die sogenannte Endgeschwindigkeit $v_E$, berechnen. Sie wird erreicht, wenn die resultierende Kraft Null ist, also beide Kräfte gleich groß sind: $$0=mg-\frac{1}{2}c_w\rho Av^2$$

$v_{E}=\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot g}{c_w\cdot \rho_{Luft}\cdot A}}$

In dieser Formel sieht man, dass die Endgeschwindigkeit von der Masse abhängig ist. Um nun nicht nur die Endgeschwindigkeit zu berechnen, sondern auch den exakten zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit zu erhalten, müssen wir die Differentialgleichung lösen: $$m\frac{dv}{dt}=mg-\frac{1}{2}c_w\rho Av^2$$ Wir trennen die Variablen $$\frac{m}{mg-\frac{1}{2}c_w\rho Av^2}dv=dt$$ und Ausklammern von mg im Nenner ergibt die Konstante $1/v_E^2$: $$\frac{m}{mg\left(1-\frac{c_w\rho A}{2mg}v^2\right)}dv=dt$$ $$\frac{1}{1-v^2/v_E^2}dv=g~dt$$ Wir substituieren: $x^2=\frac{v^2}{v_E^2} \Leftrightarrow x=\frac{v}{v_E} \Leftrightarrow \frac{dx}{dv}=\frac{1}{v_E} $$\Leftrightarrow dv=v_E~dx$ und erhalten: $$\frac{1}{1-x^2}v_E~dx=g~dt$$ $$\frac{2}{1-x^2}dx=\frac{2g}{v_E}dt$$ Mit $\frac{2}{1-x^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{1+1+x-x}{(1+x)(1-x)}$$=\frac{1-x}{(1+x)(1-x)}+\frac{1+x}{(1+x)(1-x)}$$=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}$ können wir die Gleichung vereinfachen und erhalten: $$\frac{1}{1+x}dx+\frac{1}{1-x}dx=\frac{2g}{v_E}dt$$ Wir substituieren: $u=1+x \Leftrightarrow \frac{du}{dx}=1 \Leftrightarrow dx=du$, $v=1-x \Leftrightarrow \frac{dv}{dx}=-1 \Leftrightarrow dx=-dv$ und integrieren: $$\int\frac{1}{u}du-\int\frac{1}{v}dv=\int\frac{2g}{v_E}dt$$ $$ln(u)-ln(v)=\frac{2g}{v_E }t$$ Rücksubstitution: $$ln(1+x)-ln(1-x)=\frac{2g}{v_E}t$$ $$ln(1+\frac{v}{v_E})-ln(1-\frac{v}{v_E})=\frac{2g}{v_E}t$$ $$ln(1-\frac{v}{v_E})-ln(1+\frac{v}{v_E})=-\frac{2g}{v_E}t$$
Auflösen nach $v$: $$e^{ln(1-\frac{v}{v_E})-ln(1+\frac{v}{v_E})}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$\frac{e^{ln(1-\frac{v}{v_E})}}{e^{ln(1+\frac{v}{v_E})}}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$\frac{1-\frac{v}{v_E}}{1+\frac{v}{v_E}}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$1-\frac{v}{v_E}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}\cdot \left(1+\frac{v}{v_E}\right)$$ $$1-\frac{v}{v_E}=e^{-\frac{2g}{v_E}t}+\frac{v}{v_E}e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$\frac{v}{v_E}+\frac{v}{v_E}e^{-\frac{2g}{v_E}t}=1-e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ $$\frac{v}{v_E}\left(1+e^{-\frac{2g}{v_E}t}\right)=1-e^{-\frac{2g}{v_E}t}$$ Somit erhalten wir den zeitlichen Verlauf von $v$: $$v(t)=v_E\cdot\frac{1-e^{-\frac{2g}{v_E}t}}{1+e^{-\frac{2g}{v_E}t}}$$ Dabei wurden die Randbedingungen vernachlässigt, da wir bei $v=0$ beginnen und die Maximalgeschwindigkeit $v_E$ ist. Eine alternative Schreibweise für die Lösung dieses Integrals ist: $$v(t)=v_E\cdot tanh\left(\frac{g}{v_E}t\right)$$ Für einfache Berechnungen kann der Verlauf mit einer einfachen e-Funktion genähert werden: $$v(t)=v_{E}\left(1-e^{-\frac{g}{v_E}t}\right) $$ Vergleicht man die beiden Funktionen für eine Endgeschwindigkeit von 50 m/s, 25 m/s und den freien Fall erhält man folgenden Verlauf:
Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm

Man erkennt, dass in der Realität die Endgeschwindigkeit etwa doppelt so schnell erreicht wird wie bei der einfachen Berechnung.

Für die vereinfachte Berechnung soll nun noch die Strecke und Beschleunigung berechnet werden.

Durch Ableiten der Geschwindigkeit erhält man die Beschleunigung:

$$a(t)=\frac{dv}{dt}=v'(t)=g~e^{-\frac{g}{v_E}t}$$,

durch Integrieren der Geschwindigkeit die Strecke:

$$v(t)=\frac{ds}{dt}\Leftrightarrow ds=v(t)dt$$ $$\Leftrightarrow \int ds=\int v_{E}\left(1-e^{-\frac{g}{v_E}t}\right)dt$$ $$\Leftrightarrow s=v_{E}\left(t+\frac{v_E}{g}~e^{-\frac{g}{v_E}t}+c\right)$$

mit der Randbedingung $v_0=0$ folgt:

$$s(t)=v_{E}~t+\frac{{v_E}^2}{g}~e^{-\frac{g}{v_E}t}-\frac{{v_E}^2}{g}$$

Quellen:

  • Wikipedia: Fall mit Luftwiderstand
  • Freier Fall mit und ohne Luftwiderstand(PDF; 484 kB) mit Herleitung des Luftwiderstands
  • Aufgabe 1

    Ein Fallschirmspringer (90 kg) hat im freien Fall eine Fläche von 0,55 m2.

    1. Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit?
    2. Nach welcher Zeit erreicht er seine maximale Geschwindigkeit?
    3. Wie hoch ist die Geschwindigkeit nach 10 s?
    4. Nach welcher Zeit erreicht er eine Geschwindigkeit von 100 km/h?
    5. Wie schnell wird ein Kind mit 35 kg und einer Fläche von 0,38 m2?
    6. Zeichnen Sie das t-v-Diagramm für den Erwachsenen und das Kind.
    1. $v_{max}=53,4~m/s=192,4~km/h$

    2. $t=5\tau=5\cdot5,44~s=27,2~s$

    3. $v=44,92~m/s=161,72~km/h$

    4. $t= -\tau ln(1-\frac{v}{v_{max}})=4~s$

    5. Maximalgeschwindigkeit eines Kindes mit 35 kg: $v_{max}=39,6~m/s=142,7~km/h$

    6. t-v-Diagramm:

      Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm

    Aufgabe 2

    Ein Gegenstand erreicht im freien Fall mit Luftwiderstand eine Endegeschwindigkeit von 25 m/s.

    1. Nach welcher Zeit erreicht er seine maximale Geschwindigkeit?
    2. Welche Strecke hat er nach 1 s und nach 2,5 s?
    3. Wie hoch ist die Geschwindigkeit nach 5 s?
    4. Wie groß ist die Anfangsbeschleunigung?
    5. Wie groß ist die Beschleunigung nach 2,5 s und nach 5 s?
    6. Zeichnen Sie das s(t), v(t), a(t) in ein gemeinsames Diagramm.
    1. Zeitdauer bis Erreichen der Endgeschwindigkeit: $t=5\tau=5\cdot 2,55=12,75~s$

    2. Strecke nach 1 s: $s=4,32~m$

      Strecke nach 2,5 s: $s=22,7~m$

    3. Geschwindigkeit nach 5 s: $v=21,5~m/s$

    4. Anfangsbeschleunigung: $a=g=9,81~m/s^2$

    5. Beschleunigung nach 2,5 s:$a=3,68~m/s^2$

      Beschleunigung nach 5 s:$a=1,38~m/s^2$

    6. Diagramm: s(t), v(t) und a(t)

      Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm

    Experiment 1 - Videoanalyse: Fall mit Reibung

    Idee von Karlheinz Schmauder, Ulm

    Für dieses Experiment benötigt man die App "Video Physics" auf dem Smartphone, Tablet oder iPod und Papierbackförmchen, wie man sie für Muffins verwendet.

    Ein Gegenstand erreicht im freien Fall mit Luftwiderstand eine Endegeschwindigkeit von: $$v_{E}=\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot g}{c_w\cdot \rho_{Luft}\cdot A}}$$

    1. Bestimme das Gewicht eines Papierbackförmchens mit einer Briefwaage.
    2. Nimm mit der App "Video Physics" den Bewegungsablauf für vier verschiedene Papierbackförmchen-Massen (Förmchen ineinander legen) auf, indem Du Sie von oben nach unten fallen lässt.
    3. Ermittle aus den Videodaten die Endgeschwindigkeit vE für die verschiedenen Massen.
    4. Stelle die Ergebnisse tabellarisch dar und ermittle aus den vier Werten den Luftwiderstandsbeiwert für das Papierbackförmchen.
    Muffinförmchen
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