mylime - Physik

1 Info Reihen- und Parallelschaltung

In der Reihenschaltung werden die Verbraucher in Reihe hintereinander geschaltet, wie bei einer Lichterkette. Fällt ein Verbraucher aus, fließt durch keinen mehr Strom. In der Parallelschaltung hingegen, werden die Verbraucher nebeneinander angeschlossen. Fällt hier ein Verbraucher aus funktionieren die anderen noch.

Nun könnte man ja meinen, dass in diesem Fall die Reihenschaltung gar kein Sinn mehr macht. Dem ist aber nicht so. In diesem kurzen Tutorial erfahrt ihr wieso. Ausserdem werden die verschiedenen mathematischen Zusammenhänge zwischen den elektrischen Größen erklärt.

2 Info Reihenschaltung

Der deutsche Physiker Gustav Kirchhoff untersuchte die Schaltung genauer und fand heraus, dass der Strom in der gesamten Schaltung konstant ist, $$I=konstant$$

die Gesamtspannung ist die Summe der Teilspannungen, $$U=U_1+U_2$$

der Gesamtwiderstand ist die Summe der Einzelwiderstände. $$R=R_1+R_2$$

So lassen sich, bei geringen Materialverbrauch, Leuchtmittel hintereinander schalten.

3 Maschenregel - Kirchhoff 2

Er verallgemeinerte das Summengesetz der Spannungen zur Maschenregel:
Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich Null. $$\Sigma U=0$$

Weiter stellte er einen wichtigen Zusammenhang zwischen Widerständen und Spannungen her:
Die Widerstände verhalten sich wie die Spannungen. $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{U_1}{U_2},~\frac{R}{R_1}=\frac{U}{U_1}$$

4 Info Parallelschaltung

Parallelschaltung von zwei Widereständen

Gustav Kirchhoff, der übrigens 1824 geboren wurde, untersuchte auch die Parallelschaltung. Hier zeigte er, dass die Spannung in der gesamten Schaltung konstant ist, $$U=konstant$$

der Gesamtstrom in einem Punkt sich aus der Summe der Teilströme zusammensetzt $$I=I_1+I_2$$

und der Gesamtwiderstand sich über dessen Kehrwert bestimmen lässt. $$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

5 Knotenregel - Kirchhoff 1

Er verallgemeinerte das Summengesetz der Ströme zur Knotenregel:
Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich Null. $$\Sigma I=0$$

Auch hier stellte er einen wichtigen Zusammenhang zwischen Widerständen und Strömen her:
Die Widerstände verhalten sich umgekehrt wie die Ströme. $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{I_2}{I_1},~\frac{R}{R_1}=\frac{I_1}{I}$$

Aufgabe 1 Reihenschaltung

Eine Lichterkette aus 24 in Reihe geschalteten Leuchtmitteln gleicher Leistung liegt an einer Spannung von 230 V.

Welche Spannung liegt an jedem Leuchtmittel?

Für 4 durchgebrannte Leuchtmittel werden Drahtbrücken eingelegt.

Um wie viel % erhöht sich die Spannung an jedem Leuchtmittel?
Wie hoch ist der Spannungsfall an einem durchgebrannten Leuchtmittel ohne Drahtbrücke?
Bewerte: Ist es gefährlich eine Drahtbrücke unter Spannung einzusetzen?

$U_1=9,58~V$
$U_1=11,5~V,~~~20,04~\%$
$U_1=230~V$

Aufgabe 2

Zwei Widerstände sind in Reihe an U₀ = 24 V geschaltet. Es fließt ein Strom von 120 mA. Berechne

den Gesamtwiderstand R,
den Widerstand R₁, wenn der Spannungsfall hier 7 V betragen soll.

$R=\frac{U}{I}=\frac{24~V}{120~mA}=200~\Omega$
$R_1=R\cdot\frac{U_1}{U}=58,33~\Omega$

Aufgabe 3 Parallelschaltung

Drei Widerstände R₁ = 10 kΩ, R₂ = 7 kΩ und R₃ = 15 kΩ sind parallel geschaltet. Der Strom beträgt I = 3,71 mA.

Berechne den Ersatzwiderstand der Schaltung.
Wie groß sind die Teilströme I₁, I₂ und I₃? Rechne über das Verhältnis.
Berechne den Gesamtstrom I, wenn R₃ ausfällt?

$R=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}=3230,77~\Omega$
$I_1=I\cdot\frac{R}{R_1}=1,20~mA$

$I_2=I\cdot\frac{R}{R_2}=1,71~mA$

$I_3=I\cdot\frac{R}{R_3}=0,798~mA$
$I=I_1+I_2=2,91~mA$

Aufgabe 4 Gemischte Schaltung

Durch die gemischte Schaltung fließt der Strom I₂ = 75 mA und I₃ = 25 mA. Der Widerstand R₁ beträgt 2,2 kΩ, R₂ beträgt 1 kΩ.

Berechne R₃.
Berechne den Ersatzwiderstand.
Wie groß ist die Spannung U?

Lösungshinweise:

$\frac{R_3}{R_2}=\frac{I_2}{I_3}$
$R=R_1+\frac{1}{\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}$
$U=R\cdot (I_2+I_3)$

Aufgabe 5 Spannungsteiler

Ein Spannungsteiler mit R₁ = 1 kΩ, R₂ = 1 kΩ und U₁ = 20 V wird unterschiedlich belastet.

Berechne R_2L und U₂.

R_L in Ω	100k	10k	1k	100	10
R_2L in Ω
U₂ in V

Bewerte: Wie viel größer sollte R₂ im Verhältnis zu R_L sein um eine stabile Ausgangssapannung zu erhalten?
Bewerte: Wie viel größer sollte I_q im Verhältnis zu I_L sein um eine stabile Ausgangssapannung zu erhalten?
Berechne die Verlustleistung und die Lastleistung der Schaltung für R_L = 10 kΩ .

$R_L=100~k\Omega$: $R_{2L}=990~\Omega$, $U_2=9,95~V$

$R_L=10~k\Omega$: $R_{2L}=909~\Omega$, $U_2=9,52~V$

$R_L=1~k\Omega$: $R_{2L}=500~\Omega$, $U_2=6,67~V$

$R_L=100~\Omega$: $R_{2L}=90,9~\Omega$, $U_2=1,67~V$

$R_L=10~\Omega$: $R_{2L}=9,9~\Omega$, $U_2=0,196~V$
R_L sollte sehr viel größer als R₂ sein, d.h. mindestens 10mal größer.
Da die Ströme sich umgekehrt wie die Widerstände in der Parallelschaltung verhalten gilt: I_q muss sehr viel größer als I_L sein.
Die Verlustleistung beträgt: $P_V=200~mW$ und $P_L=10~mW$. Aus diesem Grund werden Spannungsteiler nicht zum direkten Steuern von Lasten eingesetzt.

Aufgabe 6 Spannungsteiler | Idee von A. Grella Elektronikschule Tettnang

Der Spannungsteiler hat einen Gesamtwiderstand von R = 20 Ω und liegt an einer Spannung U₁ = 230 V.

Auf welchen Widerstand R₂ muss der Spannungsteiler im Leerlauf eingestellt werden, damit U₂ = 138 V beträgt?
Auf welchen Wert sinkt die Spannung U₂ ab, wenn eine Last von 240 Ω an den Ausgang des Spannungsteilers angeschlossen wird?
Wie viele gleiche Widerstände dürfen parallel an den Ausgang des Spannungsteilers angeschlossen werden, ohne dass die Spannung U₂ unter 115 V absinkt?

Widerstand R₂:

$R_2=R\frac{U_2}{U_1}=20\Omega \frac{138~V}{230~V}=12~\Omega$
$R_{2L}=\frac{1}{1/R_2+1/R_L}=11,43~\Omega$

$U_2=U_1\frac{R_{2L}}{R_1+R_{2L}}=135,3~V$
$R_{2L}=R_1\frac{U_2}{U_1-U_2}=8~\Omega\frac{115~V}{115~V}=8~\Omega$

$\frac{1}{R_{2L}}=\frac{1}{R_{2}}+\frac{x}{R_{L}}$

$x=\left(\frac{1}{R_{2L}}-\frac{1}{R_2}\right)R_L=10$

Aufgabe 7 Maschenstromverfahren

Mit dem Maschenstromverfahren ist der Strom und die Spannung am Widerstand R₂ zu bestimmen.

Folgende Werte sind bekannt:
R₁ = 120 Ω, R₂ = 470 Ω, I₀₁ = 12 mA und U₀₁ = 24 V.

Masche über beide Widerstände und Spannungsquelle:

$U_{01}+U_1-U_2=0$

$U_{01}+R_1I_1-R_2I_2=0~~~~|I_1=-I_{01}-I_2$

$U_{01}-R_1I_{01}-R_1I_2-R_2I_2=0$

$I_2(-R_1-R_2)=R_1I_{01}-U_{01}$

$I_2=\frac{R_1I_{01}-U_{01}}{(-R_1-R_2)}$

$I_2=38,24~mA$

$U_2=R_2I_2=17,97~V$

Wortliste und Satzbausteine

die Reihenschaltung, -en	In dieser Schaltung werden Widerstände hintereinander in Reihe angeschlossen.
die Teilspannung, -en	die Spannung, welche an einzelnen Verbrauchern oder Widerständen anliegt
die Gesamtspannung, -en	die Spannung, welche an der gesamten Schaltung anliegt
der Gesamtwiderstand, -"e	der Widerstandswert, welcher alternativ für alle Teilwiderstände angeschlossen werden könnte
der Strom ist konstant	Der Strom ändert sich nicht, bzw. ist überall identisch.
die Maschenregel, -n	Regel mit deren Hilfe sich einzelne Teilspannungen in der Reihenschaltung berechnen lassen
das Spannungsverhältnis, -se	Das Verhältnis zweier Teilspannungen ist identisch mit dem Verhältnis der zwei entsprechenden Widerstände.

Die Parallelschaltung, -en	In dieser Schaltung werden Widerstände parallel zueinander angeschlossen.
der Kehrwert des Widerstands, -e	Der Kehrwert des elektrischen Widerstands $R$ ist $\frac{1}{R}$ und wird als Leitwert bezeichnet.
die Knotenregel, -n	Regel mit deren Hilfe sich Teilströme in der Parallelschaltung berechnen lassen
das Stromverhältnis, -se	Das Verhältnis zweier Teilströme ist identisch mit dem umgekehrten Verhältnis der zwei entsprechenden Widerstände.

Reihen- und Parallel­schaltung

Aufgabe 1 Reihen­schaltung