Donald Duck

In den Naturwissenschaften hat die e-Funktion unter den Exponentialfunktion den höchsten Stellenwert. Hier werden die Eigenschaften der e-Funktion erklärt, die Ableitungsregeln und Methoden zur Lösung der e-Funktionsgleichung beschrieben. Außerdem werden Funktionen untersucht bis hin zu Parameteraufgaben.

1 Die Eulersche Zahl e
Donald Duck

Donald Duck leiht sich Geld mit 100 % Zinsen pro Jahr. Allerdings werden die Zinsen nicht jährlich verlangt sondern monatlich, täglich oder gar stündlich. Der Zinsertrag steigt dadurch allerdings nicht unendlich sondern nähert sich einem Grenzwert.

$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$

Dieser Grenzwert ist die Eulersche Zahl $e$. Sie ist eine irrationale Zahl, die sich weder durch Bruch noch Wurzelausdruck beschreiben lässt.

Bei der e-Funktion die $e$ als Basis: $f(x)=e^x$.

2 Die e-Funktion
verschiedene Schaubilder der e-Funktion

Die e-Funktion $f(x)=e^x$ kann wie jede Exponentialfunktion verschoben oder gestreckt werden. Eine Spiegelung an der x-Achse erreicht man bspw. mit $f(x)=e^{-x}$.

Durch einen Vorfaktor $k$ kann der sogenannte Startwert von Zerfallsreihen oder anderen Naturereignissen angegeben werden: $f(x)=ke^x$.

Eine Besonderheit der e-Funktion kommt der Asymptote zu. Diese wird durch den Funktionsterm hinter dem $e^x$ bestimmt. Während der y-Achsenabschnitt der Funktion $f(x)=2e^{-x}-x$ bei 2 liegt nähert sich die Funktion im Unendlichen der Funktion $t(x)=-x$.

3 Ableitung der e-Funktion

Zur Bestimmung der Ableitung bestimmen wir den Differenzenquotienten:

$\begin{align} m_T &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x_0+\Delta x}-e^{x_0}}{\Delta x}\\ &= e^{x_0}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} = e^{x_0}\\ \end{align}$

$\Delta x$ 0,1 0,001
$\left(e^{\Delta x}-1\right)/\Delta x$ 1,0517 1,005

Der exakte Nachweis, dass $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$ gelingt folgendermaßen:
Wir ersetzen $e=\lim_{\Delta x \to \infty} \left(1+\frac{1}{\Delta x}\right)^{\Delta x}$ $ =\lim_{\Delta x \to 0} \left(1+\Delta x\right)^{\frac{1}{\Delta x}}$:

$\begin{align} \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\left(\left(1+\Delta x\right)^\frac{1}{\Delta x}\right)^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1+\Delta x -1}{\Delta x}=1\\ \end{align}$ $$f(x)=e^x \Leftrightarrow f'(x)=e^x$$
4 Ableitung der verketteten e-Funktion
Schaubild zweier e-Funktionen

Die Ketten- und Produktregel:

$$h\left(i(x)\right)'=i'(x) \cdot h'\left(i(x)\right)$$ $$f'(u(x)\cdot v(x))=u'v+uv'$$

Hier einige Beispiele:
$f(x)=e^{2x} \Rightarrow f'(x)=2e^{2x}$
$f(x)=e^{2x}+x \Rightarrow f'(x)=2e^{2x}+1$
$f(x)=xe^{-2x} \Rightarrow $ $f'(x)=e^{-2x}-2xe^{-2x}$ $=e^{-2x}(1-2x)$

5 Lösen der e-Funktionsgleichung
Schaubild einer e-Funktion

1. Satz vom Nullprodukt:
$ℯ^{-x}\cdot (2x-1)=0 $ $\Leftrightarrow ℯ^{-x}=0 \vee 2x-1=0$
Daraus ergibt sich eine Nullstelle bei $x=0,5$.

2. Substitution:
$\begin{align} e^{2x}-6e^x+8&=0 |Subst. z=e^x\\ z^2-6z+8 &=0\\ z_1=2 &\vee z_2=4 |Rücks. e^x=z\\ e^x=2 &\vee e^x=4\\ x_1=ln(2) &\vee x_1=ln(4)\\ \end{align}$

6 Ortskurven bei e-Funktion

Mit $f_t(x)=xe^{-tx}$ und der 1. Ableitung $f'(x)=e^{-tx}\left(1-tx\right)$ lässt sich der Hochpunkt HP($1/t$|$1/(et)$) bestimmen.

Die Ortskurve bestimmt man indem man die $x$-Koordinate nach dem Parameter $t$ auflöst. Das Ergebnis wird in die Gleichung für die $y$-Koordinate eingesetzt.

$\begin{align} y &= 1/(et) |t=1/x\\ y &= x/e\\ \end{align}$

Quellen:
H. Griesel et.al., "Elemente der Mathematik", Schroedel Verlag, 2010
H. Lang, Elektronikschule Tettnang
P. Wunderlich, Studienseminar Weingarten



Aufgabe 1 Zuordnung von Graphen und Funktionstermen

Ordne die Graphen der Abbildung den Funktionstermen zu. Begründe deine Entscheidung.

  1. $f_1(x)=(x-2)e^x$
  2. $f_2(x)=(x+2)e^x$
  3. $f_3(x)=(x-2)e^{-x}$
  4. $f_4(x)=(x-2)e^{2x}$
  5. $f_5(x)=(x-2)e^x+2$
Graphen der e-Funktion

  1. $f_1(x)=(x-2)e^x$: Asymptote: $y=0$, y-Achsenabschnitt: -2
  2. $f_2(x)=(x+2)e^x$: Asymptote: $y=0$, y-Achsenabschnitt: +2
  3. $f_3(x)=(x-2)e^{-x}$: Asymptote: $y=0$, y-Achsenabschnitt: -2, $e^{-x}$ geht gegen 0 für x gegen unendlich
  4. $f_4(x)=(x-2)e^{2x}$: Asymptote: $y=0$, y-Achsenabschnitt: -2, $e^{2x}$ steigt schneller
  5. $f_5(x)=(x-2)e^x+2$: Asymptote: $y=2$
Graphen der e-Funktion


Aufgabe 2 Lösen der e-Funktion

Bilde die ersten drei Ableitungen, setze sie gleich Null und löse die Gleichungen.

Schaubild der e-Funktion

  1. $f_a(x)=a^2x\cdot e^{-ax}$,
  2. $f_a(x)=\left(x^2-a\right)\cdot e^{ax}$,
  3. $f(x)=e^{2x}-4e^x+4$.
  1. $f_a(x)=a^2x\cdot e^{-ax}=0 $ $\Leftrightarrow x=0$
    $f'_a(x)=a^2e^{-ax}(1-ax)=0 $ $\Leftrightarrow x=a^{-1}$
    $f''_a(x)=a^2e^{-ax}(ax-a-1)=0 $ $\Leftrightarrow x=(a+1)/a$
  2. $f_a(x)=\left(x^2-a\right)\cdot e^{ax}=0 $ $\Leftrightarrow x_{1/2}=\pm \sqrt{8}$ $f'_a(x)=e^{ax}(ax^2+2x-a^2)=0 $ $\Leftrightarrow x_{1/2}=-1/a \pm \sqrt{1/a^2+a}$
    $f''_a(x)=$ $e^{ax}(a^2x^2+4ax-a^3+2)=0 $ $\Leftrightarrow x_{1/2}=-2/a \pm \sqrt{2a^2+a}$
  3. $f(x)=e^{2x}-4e^x+4=0 $ $\Leftrightarrow x=ln(2)$
    $f'(x)=2e^{2x}-4e^x=0 $ $\Leftrightarrow x=ln(2)$
    $f''(x)=4e^{2x}-4e^x=0 $ $\Leftrightarrow x=ln(1)$


Aufgabe 3 Funktionsuntersuchung

Bestimme die Extrempunkte der Graphen von f.

  1. $f(x)=x^2\cdot e^x$
  2. $f(x)=e^x\cdot\left(2x^2-3x+5\right)$
  3. $f(x)=e^{2x}-4e^x$
  4. $f(x)=e^{2x}-4e^x-3x$
Graphen der e-Funktion

Graphen der e-Funktion

  1. $f(x)=x^2\cdot e^x$
    $f'(x)=xe^x(2+x)$
    $f''(x)=e^x\left(2+4x+x^2\right)$
    HP$(-2|0,54)$, TP$(0|0)$
  2. $f(x)=e^x\cdot\left(2x^2-3x+5\right)$
    $f'(x)=e^x\left(2x^2+x+2\right)$
    $f''(x)=e^x\left(2x^2+5x+3\right)$
    Die Funktion hat keine Extrema.
  3. $f(x)=e^{2x}-4e^x$
    $f'(x)=2e^{2x}-4e^x$
    $f''(x)=4e^{2x}-4e^x$
    TP$(ln(2)|-4)$
  4. $f(x)=e^{2x}-4e^x-3x$
    $f'(x)=2e^{2x}-4e^x-3$
    $f''(x)=4e^{2x}-4e^x$
    TP$\left(ln(1+\sqrt{2,5})|...\right)$


Info e-Funktion mit Parameter ...


Die e-Funktion mit Parameter im Überblick von Daniel Jung.

Aufgabe 4 Der Berggrat

Der Verlauf eines Berggrates wird näherungsweise beschrieben durch den Graph der Funktion:

$$f(x)=(3x+30)e^{-0,1x}$$
  1. Bestimme den Bereich welcher vom Gipfel, für eine Person mit 1,80 m Höhe, nicht einsehbar ist.
  2. Bestimme die notwendige Höhe eines Gipfelkreuzes, damit man von dessen Spitze den gesamten Berggrat einsehen kann.
Berge

Schaubild einer e-Funktion

  1. Lösungshinweise für Tangente von einem Punkt A an die Funktion:
    1. Bestimme die Geradengleichung der Tangente ($b=31,8$) welche das Schaubild der Funktion $f$ berührt: Gegeben ist der Punkt A(0|31,8), gesucht ist der Berührpunkt B($x_b$|$y_b$). Die Steigung der Funktion $f$ im Berührpunkt entspricht der Steigung der Tangente: $f'(x_b)=\frac{f(x_b)-y_a}{x_b-x_a}$.
    2. Mit Hilfe der Ableitung $f'(x)$ und einsetzen in obige Gleichung lässt sich $x_b$ und somit der Berührpunkt und die Steigung der Tangente bestimmen:
    $\left(-0,3x^2-3x-30\right)e^{-0,1x}$ $+31,8=0$
    Mit dieser Gleichung bestimmen wir den x-Wert des ersten Berührpunkts. Näherungsverfahren liefern: $x=-2,875$, $x= 4,906$ und $x=14,992$.
    Tangentengleichung: $t(x)=f'(4,906)x+31,8$
    3. Bestimme den Berührpunkt der Tangente mit dem Schaubild der Funktion.
    B(4,906|$f$(4,906))
  1. Lösungshinweise für Tangente in einem Punkt:
    1. Die Tangente muß das Schaubild im Wendepunkt der Funktion $f$ berühren.
    Mit $f''(x)=0$ folgt der Wendepunkt WP($10$|$\frac{60}{e}$).
    2. Die Steigung im Wendepunkt entspricht der Steigung der Tangente.
    $m=f'(10)=-\frac{3}{e}$
    3. Punktprobe mit WP und Tangentengleichung:
    $t(x)=-\frac{3}{e}x+b \Leftrightarrow $ $\frac{60}{e}=-\frac{3}{e}10+b \Rightarrow $ $b=\frac{90}{e}$
    Tangentengleichung: $t(x)=-\frac{3}{e}x+\frac{90}{e}$

Aufgabe 5 Produkt- und Kettenregel

Leite einmal mit der Produktregel und/oder Kettenregel ab und vereinfache den Term.

  1. $f(x)=x^2 \cdot e^x$
  2. $f(x)=x^2 \cdot e^{-3x}$
  3. $f(x)=(x^2+x) \cdot e^{-x}$
  4. $f(x)=e^{-x} \cdot e^{-x}$
  1. $f(x)=e^{2x} \cdot \frac{1}{x^4}$
  2. $f(x)=\sqrt{x} \cdot e^{-0,5x}$
  3. $f(x)=3\sqrt{e^x} \cdot (x^2-\frac{1}{x^2})$
  4. $f(x)=(e^x-x)^2-2x$
  1. $f'(x)=e^x\left( 2x+x^2 \right)$
  2. $f'(x)=e^{-3x}\left( 2x-3x^2 \right)$
  3. $f'(x)=e^{-x}\left( -x^2+x+1 \right)$
  4. $f'(x)=-2e^{-2x}$
  1. $f'(x)=e^{2x}\left( 2x^{-4}-4x^{-3} \right)$
  2. $f'(x)=e^{-\frac{1}{2}x}\left( 0,5x^{-0,5}-0,5x^{0,5} \right)$
  3. $f'(x)=e^{\frac{1}{2}x}$ $\cdot \left( \frac{3}{2}x^2+6x -\frac{3}{2}x^{-2}-6x^{-3} \right)$
  4. $f'(x)=2e^{2x}-2e^{x}\left( 1+x \right)$ $+2x-2$

Aufgabe 6 Kurvenschar e-Funktion

Gegeben ist die Funktion $f_k(x)=4x\cdot e^{-kx}$.

Kurvenschar

  1. Skizziere die Graphen für $k=0.5$, $k=1$ und $k=2$.
  2. Zeige dass die Kurvenschar sich in einem Punkt berührt.
  3. Bestimme den Extrempunkt.
  4. Bestimme die Ortskurve der Hochpunkte.
  1. Graph von $f$:
    Kurvenschar

  2. Mit $f(x)=0 \Rightarrow x=0$. Damit ist die Nullstelle N(0|0) unabhängig von $k$, dem Parameter.
  1. Extrempunkt:
    $f_k'(x)=(4-4kx)e^{-kx}$
    $f_k''(x)=(-8k+4k^2x)e^{-kx}$
    $f_k'(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{k}$
    $f_k''(1/k)=\frac{4k}{e}<0 \Rightarrow \text{HP}\left(\frac{1}{k}|\frac{4}{ek}\right)$
  2. Ortskurve:
    $x=\frac{1}{k} \Leftrightarrow k=\frac{1}{x}$
    $y=\frac{4}{ek} \Leftrightarrow y(x)= \frac{4}{e}x$



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