zeitlicher Verlauf des Wechselstroms am Oszilloskop

Mit trigonometrischen Funktionen beschreibt man sich periodisch wiederholende Vorgänge, wie das Schwingen eines Pendels, Wechselstrom oder den Verlauf von Wellen.

1 Die Sinusfunktion
Einheitskreis und Liniendiagramm der Sinusfunktion

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 2 cm. Unterteile den Kreis in 30 ° Abständen. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck für 30 ° ein. Markiere die Gegenkathete $y$.

Zeichne für jeden Winkel die Höhe der Gegenkathete $y$ in das Liniendiagramm. Du erhältst das Schaubild der Sinus-Funktion.

$$y=r\cdot sin(\alpha )$$

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2 Die Cosinusfunktion
Einheitskreis und Liniendiagramm der Cosinusfunktion

Wenn du für jeden Winkel die Länge der Ankathete $y$ in das Diagramm einträgst, erhältst du das Schaubild der Cosinus-Funktion.

$$y=r \cdot cos(\alpha )$$

Tipp: Die Ankathete liegt am Winkel $\alpha$, die Gegenkathete gegenüber $\alpha$ und die Hypothenuse gegenüber des rechten Winkels.

Neben der Sinus- und Cosinusfunktion gibt es unter den trigonometrischen Funktionen noch viele weitere, wie bspw. die Tangensfunktion. Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, d.h. sie wiederholen sich ab einem bestimmten Punkt.

3 Sinus, Cosinus und Tangens
auf dem Bauernhof

Auch wenn wir es für die trigonometrischen Funktionen nicht unbedingt benötigen hier nochmal die Merkhilfe auf dem Bauernhof:

Auf dem Bauernhof in den Berchtesgardener Alpen gibt es die GAGA-Hühnerhof AG, kurz GAGA-HHAG. Nun schau dir dies an:

sin cos tan cot
G A G A
H H A G
4 Verschiebung in y-Richtung
Schaubilder der in y-Richtung verschobenen Sinusfunktion

Die Exponentialfunktion $f(x)=sin(x)+c$ wird durch den Faktor $c$ in y-Richtung verschoben.

$x$ 0 $\frac{1}{2}\pi$ $\pi$
$f(x)=sin(x)$ 0 1 0
$g(x)=sin(x)-1$ -1 0 -1
$h(x)=sin(x)+2$ 2 3 2
5 Streckung in y-Richtung
Schaubild der in y-Richtung gestreckten Sinusfunktion

Für die Streckung in y-Richtung gilt: $f(x)=a sin(x)$. Dabei bezeichnet man $a$ als Amplitude.

$$f(x)=sin(x)$$

$$g(x)=2sin(x)$$

Alternativ kann man auch strecken und verschieben:

$$h(x)=0,5sin(x)-1$$

6 Verschiebung in x-Richtung
Schaubild der in x-Richtung verschobenen Sinusfunktion

Mit dem Parameter $k$ der Funktion $f(x)=k\cdot a^x+b$, wird die Funktion gestaucht oder gestreckt. $b$ gibt die Lage der Asymptote an und $k+b$ den y-Achsenabschnitt.

$x$ -1 0 1 2
$f(x)=0,5\cdot 2^x$ 1/4 0,5 1 2
$g(x)=2^x$ 0,5 1 2 4
$h(x)=2\cdot 2^x+1$ 2 3 5 9
7 Streckung in x-Richtung
Schaubild der in x-Richtung gestreckten Sinusfunktion

Radioaktives Jod besitzt eine Halbwertszeit von etwa 8 Tagen. Das bedeutet bspw. bei einer Anfangsdosis $k=10$ mg sind nach dieser Zeit nur noch die Hälfte vorhanden. Dieser Zerfall wird allgemein mit der Gleichung $f(x)=k\cdot a^x$ beschrieben, wobei $x$ die Zeit in Tagen angibt.

Zur Bestimmung des Parameters $a$ nutzen wir die angegebenen Werte und schreiben mit $5=10 \cdot a^8$. Lösen dieser Gleichung liefert $a=\sqrt[8]{0,5}=0,917$. Damit folgt der Funktionsterm für den radioaktiven Zerfall:

$$f(x)=10\cdot 0,917^x$$
8 Nullstellen
Schaubild der Exponentialfunktion

Gegeben sind $f(x)=2^x=e^{ln(2) \cdot x}$ und $g(x)=e^{ln(2) \cdot x} - 2$.

Während das Schaubild $f$ keine Nullstelle hat, erhalten wir die Nullstelle für $g$ durch lösen von $g(x)=0$:
$\begin{align} &\Leftrightarrow e^{ln(2)x}-2=0 \: |+2\\ &\Leftrightarrow e^{ln(2)x} = 2 \: |ln(..)\\ &\Leftrightarrow ln(2)x = ln(2) \: |:ln(2)\\ &\Leftrightarrow x=1 \\ \end{align}$

Berechnen von $g(0)=-1$ liefert den Schnittpunkt mit der y-Achse.



Aufgabe 1

  1. Schreibe einen Funktionsterm für ein dreifaches Wachstum pro Tag.
  2. Benenne eine Exponentialfunktion mit dem y-Achsenabschnitt von 3.
  3. Schreibe einen Funktionsterm für ein dreifaches Wachstum pro Tag und einem Startwert von 2.
  1. $f(x)=3^x$
  2. $f(x)=3^x+2$
  3. $f(x)=2 \cdot 3^x$

Aufgabe 2 Zuordnung von Schaubildern

Welche Beschreibung passt?

Exponentialfunktion
  1. Die Funktionsvorschrift lautet ...

  2. Der y-Achsenabschnit von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(x)=k\cdot a^x + b$ ist ...

Schaubild Exponentialfunktion
  1. Die Funktionsvorschrift lautet ...

  2. Von der allg. Exponentialfunktion $f(x)=k \cdot a^x+b$ beschreibt $b$ ...

Schaubild Exponentialfunktion
  1. Die Funktionsvorschrift lautet ...

  2. Die Nullstelle bestimmt man ...



Aufgabe 3 Radioaktiver Zerfall

Die Nuklide (Spaltprodukte) Jod-131 und Caesium-137 welche in Atomreaktoren entstehen sind Gamma- und Betastrahler mit einer Halbwertszeit von 8 Tagen und 10950 Tagen. Während aus dem Jod-131 Caesiumkerne entstehen, entsteht aus den Caesiumkernen Bariumkerne. Die Anfangsmenge der Nuklide beträgt jeweils 100 mg.

  1. Bestimme den Funktionsterm für Jod-131.
  2. Bestimme den Funktionsterm für Casium-137.
  3. Bestimme die Nuklidmenge nach 30 Tagen.
  4. Bestimme die Nuklidmenge nach 365 Tagen.
  5. Bestimme die Zeit nach der noch 25 % Jod-131 erhalten sind.
  6. Bestimme die Caesiummenge nach 30 Tagen unter der Berückschtigung, dass aus Jod-131 Caesiumkerne entstehen.
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