Panorama

Im dreidimensionalen Raum arbeitet man in der Mathematik mit der Vektorrechnung. Neben den dreidimensionalen Koordinaten $x_1$, $x_2$ und $x_3$ verwendet man Vektoren für die Richtungsangabe. Dabei hat jeder Vektor eine Länge, den Betrag.

1 Punkte im Raum
Blick aus Flugzeug

Positionen im dreidimensionalen Raum werden mit Koordinaten angegeben. Jeder Punkt hat dabei drei Koordinaten:

$$P(\: x_1|\: x_2|\: x_3)$$

Bei einem Koordinatensystem mit drei Achsen ist es üblich, dass die x1-Achse nach vorne, die x2-Achse nach rechts und die x3-Achse nach oben gezeichnet wird.

Zeichne einen Würfel mit der Kantenlänge 2 und bestimme die Koordinaten der Eckpunkte.

enaktiv

2 Vektoren
Vektoraddition

Vektoren geben eine Richtung an. Darüber hinaus hat jeder Vektor eine Länge. Um bspw. von Punkt A(1|2|3) nach Punkt B(4|5|6) zu kommen, folgt man dem Richtungsvektor: $\vec{AB}=\left(\begin{array}{c} 4-1 \\ 5-2 \\ 6-3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)$

Allgemein gilt: Um von Punkt $A( a_1 | a_2 | a_3 )$ nach $B( b_1 | b_2 | b_3 )$ zu kommen, folgt man dem Richtungsvektor $\vec{AB}=\left(\begin{array}{c} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{array}\right)$.

3 Rechnen mit Vektoren
Vektoradditon 2D

Für die Linearkombination $r\cdot \vec{a}$ und die Addition $\vec{a}+\vec{b}$ gilt:
$r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r\cdot a_1 \\ r\cdot a_2 \\ r\cdot a_3 \end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{array}\right)$

Für die Addition von Vektoren gilt das Kommutativ- und Assoziativgesetz:
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ und $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$

Für die Multiplikation von Parametern $r$ und $s$ mit den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt das Assoziativ- und Distributivgesetz:
$r\cdot(s\cdot \vec{a})=(r\cdot s) \cdot \vec{a}$ und $r\cdot(\vec{a}+ \vec{b})=r\cdot \vec{a}) + r \cdot \vec{b}$

4 Geraden
Gerade Straße

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung in der Form $\vec{x}=\vec{p}+r\cdot \vec{v}$ mit $r\in \mathbb{R}$ darstellen. Dabei ist $\vec{p}$ ein Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden und $\vec{v}$ ein Richtungsvektor mit dem Parameter $r$.

Beispiel für eine Gerade g in Parameterform:

$$\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)$$
5 Lage von Geraden

Zwei Geraden können identisch sein, parallel sein, einen gemeinsamen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sein. Windschiefe Geraden berühren und schneiden sich nicht und haben in einem Punkt den geringsten Abstand zueinander.

In dem Video wird erklärt, wie man dies herausfindet.

Ideen:
D. Jung, danieljung.education
D. Brandt et al, "Lambacher Schweizer 6 - Mathematik für Gymnasien", Enst Klett Verlag, Stuttgart, 2008
H. Griesel et al, "Elemente der Mathematik", Bildungshaus Schulbuchverlage, 2010



Aufgabe 1 Stadttor

Der Turm des Stadttors hat eine Länge und Breite von 6 m und eine Höhe von 9 m. Das pyramidenförmige Dach hat eine zusätzliche Höhe von 2 m.

Bestimme alle Koordinaten der Eckpunkte und der Turmspitze.

mittelalterliches Stadttor

mittelalterliches Stadttor mit Koordinaten



Aufgabe 2 Richtungsvektoren

Ritter Sport Schokolade

Gegeben sind die Eckpunkte der Schokoladentafel A(0|0|0), B(4|0|0), C(4|4|0) und D(0|4|0).
  1. Bestimme die Richtungsvektoren $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ und $\vec{AD}$.
  2. Addiere die beiden Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AD}$.
  3. Bestimme den Richtungsvektor $\vec{DB}$.
  4. Bestimme das 3fache des Richtungsvektors $\vec{AC}$ und die Koordinaten des Punktes.
  1. Richtungsvektoren:
    $\vec{AB}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{AC}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{AD}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$
  2. Addition von Vektoren: $\vec{AB}+\vec{AD}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$
  3. Richtungsvektor:
    $\vec{DB}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)$
  4. Parameter: $3\cdot \vec{AC}=\left(\begin{array}{c} 12 \\ 12 \\ 0 \end{array}\right)$
    Punkt: P(12|12|0)

Aufgabe 3 Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 4 \\ 9 \\ 3 \end{array}\right)$ und h: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 12 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$.
  1. Benenne die beiden Ortsvektoren und die beiden Richtungsvektoren.
  2. Bestimme die Punkte, wenn man für die Parameter den Wert $s=t=2$ einsetzt.
  3. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden.
gerade Straße

  1. Ortsverktoren: $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 5 \\ 12 \\ 1 \end{array}\right)$
    Richtungsvektoren: $\left(\begin{array}{c} 4 \\ 9 \\ 3 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$
  2. A(9|21|4), B(21|14|1)
  3. Schnittpunkt S(5|12|1)


Entspann dich erstmal ...


Unser Schulsystem ist Mist!

von Harald Lesch

Wortliste und Satzbausteine



der Vektor, -en eine mathe­matische Größe mit einer Länge und Richtung
die Linear­­kom­bina­tion, -en z.B. Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor: $r\cdot \vec{a}$
der Orts- oder Stützvektor, -en Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung auf den Anfangs­punkt einer Geraden
der Richtungsvektor, -en gibt die Rich­tung von einem Punkt aus an
die Gerade, -n eine Linie im Raum, welche durch einen Orts­vektor und dem Viel­fachen eines Richtungs­vektors be­schrieben wird
der Punkt, -e wird durch Koor­dinaten im Raum fest­gelegt

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