Kameralinse

Wozu in aller Welt benötigt man Bruchgleichungen? Ihr bekommt ein Praxisbeispiel gezeigt und erklärt, wie man Bruchgleichungen löst.

1 Brennweite und die Bruchgleichungen
Kameralinse

Die Linsengleichung gibt bei einer opti­schen Abbildung den Zusammen­hang zwischen Brennweite f, Gegenstands­weite g und Bildweite b an.

$\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$

Eine solche Gleichung nennt sich Bruchgleichung. In der Mathe arbeiten wir meistens mit der Variable x. Eine solche Bruchgleichung sieht dann z.B. folgendermaßen aus:

$$\frac{15}{x}+3=\frac{24}{6-x}$$
2 Die Definitionsmenge D
Definitionsmenge

Teilen durch Null ist keine äquivalente Umformung. Also müssen wir Werte von x ausschließen, bei denen der Nenner Null wird.

Diese Werte finden wir heraus indem wir die Nenner in denen x vorkommt gleich Null setzen. In diesem Fall darf x alle Werte annehmen außer 0 und 6. $D=\mathbb{R} \backslash \{0;6\}$

Teste dein Wissen: Wie lautet die Definitionsmenge der Bruchgleichung $\frac{9}{x+1}+\frac{3}{2(x+1)}=\frac{4}{2x}$?

3 Gemein­samer Hauptnenner
gemeinsamer Hauptnenner

Um die Gleichung zu lösen, müssen wir jeden Term so erweitern, dass wir den einfachsten gemeinsamen Hauptnenner erhalten.

Diesen bildet man, indem man nur alle unterschiedlichen Nenner miteinander multipliziert.

Teste dein Wissen:
Der gemeinsame Hauptnenner der Bruchgleichung $\frac{9}{x+1}+\frac{3}{2(x+1)}=\frac{4}{2x}$ ist?

4 Lösen der Gleichung
Lösung Bruchgleichung

Zum Lösen der Bruchgleichung erweitert man jeden Term so, dass der Nenner dem gemeinsamen Hauptnenner entspricht.

Nun mutlipliziert man die Gleichung mit dem Hauptnenner, so dass dieser gekürzt werden kann.

Multipliziert man den Rest aus, erhält man eine einfach zu lösende Gleichung, in diesem Fall eine quadratische Gleichung, welche nach bekannten Verfahren gelöst werden kann.



Aufgabe 1 Definitionsmenge

Bestimme die Definitionsmenge.

  1. $\frac{4}{x}+x=4$

  2. $4x=\frac{20}{x-4}$

  3. $\frac{3}{x+2}+4=\frac{3}{x}$

  1. $\frac{3x}{x-2}=\frac{3}{x+1}$

  2. $\frac{3}{2x+2}=\frac{3}{x+3}$

  3. $\frac{1}{4x-2}=\frac{3}{x}-\frac{3}{x-3}$

  1. $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$

  2. $D=\mathbb{R} \backslash \{4\}$

  3. $D=\mathbb{R} \backslash \{-2;0\}$

  4. $D=\mathbb{R} \backslash \{2;-1\}$

  5. $D=\mathbb{R} \backslash \{-1;-3\}$

  6. $D=\mathbb{R} \backslash \{1/2;0;3\}$


Aufgabe 2 Einfachster gemeinsamer Hauptnenner

Bestimme den gemeinsamen Hauptnenner.

  1. $\frac{4}{x}+x=4$

  2. $4x=\frac{20}{x-4}$

  3. $\frac{3}{x+2}+4=\frac{3}{x}$

  1. $\frac{3x}{x-2}=\frac{3}{x+1}$

  2. $\frac{3}{2x+2}=\frac{3}{x+3}$

  3. $\frac{1}{4x-2}=\frac{3}{x}-\frac{3}{x-3}$

  1. $x$

  2. $(x-4)$

  3. $x\cdot (x+2)$

  4. $(x-2)(x+1)$

  5. $(2x+2)(x+3)$

  6. $x(4x-2)(x-3)$


Teste deinen Lernerfolg ...

Die Definitionsmenge der Bruchgleichung $\frac{4x}{x-1}+\frac{26}{2(x+1)}=\frac{4}{2x-4}$ lautet?



Der gemeinsame Hauptnenner der Bruchgleichung $\frac{4x}{x-1}+\frac{26}{2(x+1)}=\frac{4}{2x-4}$ ist?



Wie lautet von $4x+\frac{2}{x+1}=0$ die vereinfachte Gleichung nachdem mit dem Hauptnenner erweitert und gekürzt wurde?




Aufgabe 3 Lösen der Bruchgleichungen

Löse die Bruchgleichungen.

  1. $\frac{4}{x}+x=4$

  2. $4x=\frac{20}{x-4}$

  3. $\frac{3}{x+2}+4=\frac{3}{x}$

  1. $\frac{3x}{x-2}=\frac{3}{x+1}$

  2. $\frac{3}{2x+2}=\frac{3}{x+3}$

  3. $\frac{1}{4x-2}=\frac{3}{x}-\frac{3}{x-3}$

  1. $L=\{2\}$

  2. $L=\{5;-1\}$

  3. $L=\{\frac{-2+\sqrt{10}}{2};\frac{-2-\sqrt{10}}{2}\}$

  4. $L=\{\}$

  5. $L=\{1\}$

  6. $L=\{\frac{-33+\sqrt{1161}}{2};\frac{-33-\sqrt{1161}}{2}\}$


Entspann dich erst mal ...

Auflockerungsübung 1

Suche Wörter mit mindestens drei g/G.

Finde möglichst viele in zwei Minuten?

Auflockerungsübung 2

Du hast wieder zwei Minuten Zeit. Finde Flußnamen mit nur 5 Buchstaben wie bspw. Donau.

... und los geht's

Wortliste und Satzbausteine



die Bruch­gleichung, -en Gleichung mit der Variable $x$ im Nenner: $\frac{1}{x} +\frac{2}{x-1}=2$
die Definitions­menge D, - Die Definitions­menge gibt an, welche Werte die Variable $x$ annehmen darf und welche nicht.
der gemeinsame Haupt­nenner, ~ Zum Lösen von Bruch­gleichungen wird der Nenner so erweitert, dass alle Brüche zu einem zusammen­gefasst werden können. Durch Multiplikation mit diesem lässt sich nun die Gleichung lösen.

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