Bruchglei­chungen

Die Linsengleichung gibt bei einer opti­schen Abbildung den Zusammen­hang zwischen Brennweite f, Gegenstands­weite g und Bildweite b an.

$\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$

Eine solche Gleichung nennt sich Bruchgleichung. In der Mathe arbeiten wir meistens mit der Variable x. Eine solche Bruchgleichung sieht dann z.B. folgendermaßen aus:

$$\frac{15}{x}+3=\frac{24}{6-x}$$

Teilen durch Null ist keine äquivalente Umformung. Also müssen wir Werte von x ausschließen, bei denen der Nenner Null wird.

Diese Werte finden wir heraus indem wir die Nenner in denen x vorkommt gleich Null setzen. In diesem Fall darf x alle Werte annehmen außer 0 und 6. $D=\mathbb{R} \backslash \{0;6\}$

Teste dein Wissen: Wie lautet die Definitionsmenge der Bruchgleichung $\frac{9}{x+1}+\frac{3}{2(x+1)}=\frac{4}{2x}$?

Um die Gleichung zu lösen, müssen wir jeden Term so erweitern, dass wir den einfachsten gemeinsamen Hauptnenner erhalten.

Diesen bildet man, indem man nur alle unterschiedlichen Nenner miteinander multipliziert.

Teste dein Wissen:
Der gemeinsame Hauptnenner der Bruchgleichung $\frac{9}{x+1}+\frac{3}{2(x+1)}=\frac{4}{2x}$ ist?

Zum Lösen der Bruchgleichung erweitert man jeden Term so, dass der Nenner dem gemeinsamen Hauptnenner entspricht.

Nun mutlipliziert man die Gleichung mit dem Hauptnenner, so dass dieser gekürzt werden kann.

Multipliziert man den Rest aus, erhält man eine einfach zu lösende Gleichung, in diesem Fall eine quadratische Gleichung, welche nach bekannten Verfahren gelöst werden kann.