Extremwertaufgaben
Aufgabe 1 Fußballstadion
Ein Fußballstadion mit einer Laufbahnlänge von 400 m soll so angelegt werden, dass die Rechteckfläche des Rasens maximal wird. Welche Maße hat die Rechteckfläche?
Hinweis: Die Außenbahnen an den Torseiten sind Kreisbahnen
- Fertige eine Skizze an.
- Bilde die Zielfunktion, deren Ableitung und bestimme den Definitionsbereich.
- Bestimme die Extrempunkte.
- Wie lang und breit ist das Spielfeld?
- Skizze:
- Zielfunktion:
$A(d)=d \cdot (400-\pi d)/2\\ A(d)=-\frac{\pi}{2}d^2 + 200 d\\ A'(d)= -\pi d +200 $
Definitionsbereich: $d~\in~[0;400]$ - Extrempunkt: $A'(d)=0$ $\Leftrightarrow d=\frac{200}{\pi} \approx 63,66$
- Spielfeldbreite: $b=d=63,66~m$
Spielfeldlänge: $l=(400-\pi d)/2 = 100~m$
Aufgabe 2 Paketdienst
Der Paketdienst Hermes bietet in der Paketklasse S einen Preis von 4,30 € an. Die kürzeste und längste Seite des Pakets darf zusammen maximal 50 cm betragen. Welche Maße wählst du, damit du die maximale Anzahl an T-Shirts in Klasse S verschicken kannst?
- Fertige eine Skizze an.
- Bilde die Zielfunktion, deren Ableitung und bestimme den Definitionsbereich.
- Bestimme die Extrempunkte.
- Wie groß sind die Maße des Pakets?
- Skizze:
- Zielfunktion:
$ V = k \cdot l \cdot m~|\small{l=m=50-k}\\ V(k) = k\cdot (50-k)^2\\ V(k) = k^3 - 100k^2 + 2500k\\ V'(k)= 3k^2 - 200k + 2500\\ $
Definitionsbereich: $k~\in~[0;25]$ - Extrempunkte: $V'(k)=0 \Leftrightarrow k=16,67~cm$
- Paketmaße (Länge x Breite x Höhe): 33,33 cm x 33,33 cm x 16,67 cm
Aufgabe 3 Die vier Orte
Bestimme die Extrempunkte. Idee: P. Wunderlich, Seminar Weingarten
Die vier Orte A, B, C und D liegen auf einem Rechteck und sollen auf kürzestem Weg miteinander verbunden werden.
- Überlege wie du die Orte miteinander verbinden musst. Fertige eine Skizze an.
- Bilde die Zielfunktion, deren Ableitung und bestimme den Definitionsbereich. Hinweis: zum Ableiten benötigst du die Kettenregel.
- Bestimme die Extrempunkte.
- Wie kurz ist der kürzeste Weg?
- Skizze:
- Zielfunktion:
$\begin{align} f(x) &= 4(x^2+4)^\frac{1}{2}+8-2x\\ f'(x)&= \frac{2(2x)}{(x^2+4)^{\frac{1}{2}}}-2 \end{align}$
Definitionsbereich: $x~\in~[0;4]$
- Extremwerte:
$\begin{align} \small{\frac{2(2x)}{(x^2+4)^{\frac{1}{2}}}} &= 2~~|\cdot (x^2+4)^{\frac{1}{2}}\\ 4x &= 2 (x^2+4)^{\frac{1}{2}}~|\small{(..)^2}\\ 16x^2 &= 4 (x^2+4)~|\small{-4x^2}\\ 12x^2 &= 16~~|:12\\ x &= \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,15\\ \end{align}$ - Der kürzeste Weg:
$f(\frac{2}{\sqrt{3}})$ $= 4\cdot \sqrt{(\frac{4}{3}+4)} +8-\frac{4}{\sqrt{3}} $ $\approx 14,93~km$
Aufgabe 4 Die Energy-Drinkdose
Redbull möchte seine Materialkosten für die thailändische Energy-Drinkdose mit einem Volumen von 170 ml reduzieren. Hierzu möchte der Konzern bei gleichbleibendem Volumen die Oberfläche der Dose minimieren. Die momentane Höhe der Dose beträgt 10 cm und der Durchmesse 5 cm. Sind die Maße ideal? Berate den Konzern.
Hinweis: 1 ml entspricht 1 cm3.
- Fertige eine Zeichnung an.
- Bestimme die Formel zur Berechnung des Volumens und der Oberfläche.
- Bestimme die Zielfunktion und deren Ableitung.
- Bestimme den Extrempunkt.
- Berate den Konzern.
- Skizze:
- Volumen: $V=h \cdot \pi r^2$
Oberfläche: $O=2\pi r^2+h \cdot 2\pi r $
- Zielfunktion:
$\begin{align} V &= \pi r^2 \cdot h\\ h &= 170 \cdot \pi r^2\\ O(r) &=2\pi r^2+340/r\\ O'(r) &=4\pi r-340/r^2\\ \end{align}$ - $O'(r)=0$
$r=3, h=6,01cm$