Wasserfall

Die Integralrechnung beschäftigt sich damit, wie man von der Durchflussmenge zum Verbrauch kommt, wie man von der Änderungsrate zum Bestand kommt oder wie man von der Geschwindigkeit auf den zurückgelegten Weg schließen kann.

1 Von der Quote zur Fischfangmenge
von der Quote zur Fischfangmenge

Die Fläche unter der Kurve entspricht der Fischfangmenge der letzten Jahre. Man schreibt:

$$\text{Fischm.}=\hspace{-2mm} \int_{2004}^{2014} \hspace{-8mm} f(x)\:\hspace{-0.5mm} dx \approx 1,5\hspace{-0.5mm}\cdot\hspace{-0.5mm} 10^9\:\hspace{-0.5mm}\text{t}$$

Man liest: "Das Integral der Funktion f von 2004 bis 2014". Es gibt die Fischmenge von 10 Jahren an. Häufig lässt sich dabei die Fläche durch einfache geometrische Überlegungen berechnen.

bekannte Flächen

2 Von der Geschwindigkeit zur Strecke
Geschwindigkeitsverlauf Felix Baumgartner

Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit in m/s über der Zeit in s. Die Fläche entspricht der Strecke. Sie wird durch Approximation (Näherung) bestimmt. Wir schreiben:

$$s=\int_{0}^{100} \hspace{-2mm}v(t) \: dt = \int_{0}^{20} \hspace{-1.5mm}v(t) \: dt \:+ \:... $$

Merke: Bei der Integralrechnung werden Rechtecke im Abstrand $dt$ aufsummiert. In diesem Fall ergibt dies eine Strecke von etwa $s\approx 3+6+7+5+3=24\:$km.

Flächen approximieren

3 Das Pumpspeicherwerk
Wasserzufuhr Pumpspeicherwerk

Wurde in dem abgebildeten Zeitraum mehr Wasser zugeführt oder abgeführt?
Während die positive Fläche oberhalb der x-Achse die Zuflussmenge beschreibt, stellt die negative Fläche unterhalb der x-Achse die Abflussmenge dar. Man schreibt:

$$A_1\hspace{-0.5mm}+\hspace{-0.5mm}(-A_2)\hspace{-0.5mm}=\hspace{-2mm} \int_{0}^{25}\hspace{-5mm}f(x) \: dx \hspace{-0.5mm}+ \hspace{-2mm} \int_{25}^{40} \hspace{-5mm}f(x) \: dx$$

negative Flächen

4 Fläche der Obersumme 1
Fläche unter Parabel mit Obersummen

Wir wollen die Fläche unter der Funktion $f(x)=x^2$ im Intervall von 0 bis 3 berechnen. $A=\int_{0}^{3} x^2 \: dx$

Dazu unterteilen wir die Fläche in bspw. $n=3$ Abschnitte mit $\Delta x=3/n=1$. Wir berechnen die Obersummen, d.h. die Rechtecke zeichnen wir immer an den o­beren Funktionswert $f(\Delta x)$. Für $n\hspace{-0.5mm}=\hspace{-0.5mm}3$ gilt somit: $A\hspace{-0.5mm}=\hspace{-0.5mm}1+4+9\hspace{-0.5mm}=\hspace{-0.5mm}14$.

$$\begin{equation*} \begin{array}{l} A \hspace{-4mm}&= \Delta x\hspace{-0.5mm} \cdot\hspace{-0.5mm} f(\Delta x) + \Delta x\hspace{-0.5mm} \cdot\hspace{-0.5mm} f(2\Delta x) + \:\! .\!.\!. \\ &= \Delta x \left( 1^2\Delta x^2 + 2^2 \Delta x^2 + \:\! .\!.\!.\right) \\ &= \Delta x^3 \left( 1^2 + 2^2 + \:\! .\!.\!.\right)\\ &= \Delta x^3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \end{array} \end{equation*} $$
5 Fläche der Obersumme 2
Kurvenschar für Sprungparabel
$n$ 3 9 50 999
$A$ 14 10,56 9,27 9

Der Beweis für $n$ Abschnitte im Intervall $[0 ... x_0]$:

$$\begin{equation*} \begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{x_0^3}{n^3}\frac{(2n+1)(n+1)}{6} =\\ \lim_{n \to \infty} \frac{x_0^3}{6}\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)= \frac{1}{3}x_0^3 \end{array} \end{equation*} $$

Quellen:
V. Adam et. al.,"Integralrechnung - Rekonstr. von Beständen", LISUM, 2009
H. Griesel et.al., "Elemente der Mathematik", Schroedel Verlag, 2010



Aufgabe 1 Integral und Fläche

Die Funktionen der abgebildeten Schaubilder sind jeweils stückweise über ein Intervall definiert. Bestimme die Funktionsterme des Integrals und den entsprechenden Flächeninhalt im angegeben Intervall:

$$\int_{-3}^{3} f(x) \: dx $$

  1. Kurvenintervalle

  2. Kurvenintervalle

  1. Kurvenintervalle

  2. Kurvenintervalle

  1. Kurvenintervalle

  2. Kurvenintervalle

  3. Kurvenintervalle

  1. Kurvenintervalle
  1. $= \int_{-3}^{-1} 1 \: dx + \int_{-1}^{1} x+2 \: dx $ $+ \int_{1}^{2} 3 \: dx + \int_{2}^{3} (-x+5) \: dx $ $= 2 + 4 +3 +2,5 = 11,5$
  2. $= \int_{-3}^{-1} 2 \: dx + \int_{-1}^{1} -x+1 \: dx $ $+ \int_{1}^{2} x \: dx + \int_{2}^{3} 1 \: dx $ $= 4 + 2 + 1,5 + 1 = 8,5$
  1. $= \int_{-3}^{-2} 1 \:\hspace{-0.5mm} dx + \int_{-2}^{1} \frac{1}{3}x+\frac{5}{3} \:\hspace{-0.5mm} dx $ $+ \int_{1}^{2} 3 \:\hspace{-0.5mm} dx + \int_{2}^{3} (-2x+7) \:\hspace{-0.5mm} dx $ $= 1 + 4,5 +3 + 2 = 10,5$
  2. $= \int_{-3}^{3} f(x) \: dx = 9$






Aufgabe 2 Wasserverbrauch in der Halbzeitpause

Das Wasserversorgungsunternehmen beobachtet in der Halbzeitpause einen deutlichen Anstieg des Wasserverbrauchs. Bestimme durch Approximation die verbrauchte Wassermenge während den 15 Minuten.

Fußballspiel

Durchflussrate über Zeit

Die verbrauchte Wassermenge beträgt etwa 2300 m3.


Entspann dich erstmal ...

kahoot


Die Eigenschaft des ein oder anderen Schülers als Integral geschrieben.

Aufgabe 3 Der Fahrtenschreiber

Ein Fahrtenschreiber hat die Geschwindigkeit eine LKWs mitgezeichnet.

  1. Berechne wie viele Kilometer der LKW zwischen 08.00 Uhr und 08.30 Uhr zurückgelegt hat.
  2. Ermittle näherungsweise wieviele Kilometer der LKW zwischen 08.30 Uhr und 09.00 Uhr zurückgelegt hat.
  3. Wie viele Kilometer hat der LKW im gesamten Zeitraum zurückgelegt?
Geschwindigkeitsaufzeichnung Fahrtenschreiber

  1. zwischen 08.00 Uhr und 08.30 Uhr:
    $s=\int_{0}^{0.5} 80 \: dt$ $= 80\: km/h \cdot 0.5\: h=40\: km$
  2. zwischen 08.30 Uhr und 09.00 Uhr:
    $s=\int_{0.5}^{1} v(t) \: dt \approx 18\: km$
  3. zwischen 08.00 Uhr und 09.00 Uhr:
    $s=\int_{0}^{1} v(t) \: dt \approx 58\: km$











Aufgabe 4 symmetrische Flächen

Die Schaubilder der abgebildeten sind symmetrisch. Notiere jeweils das dargestellte Integral und beurteile ob der Flächeninhalt positiv, negativ oder gleich 0 ist.


  1. symmetrisches Schaubild

  2. symmetrisches Schaubild

  1. symmetrisches Schaubild

  2. symmetrisches Schaubild
  1. positive Fläche: $$\int_{-2.5}^{2.5}f(x) \: dx=2,22$$
  2. negative Fläche: $$\int_{-3}^{3}f(x) \: dx=-2.88$$
  1. Fläche gleich 0: $$\int_{-2}^{3}f(x) \: dx=0$$
  2. zwei Halbkreise mit der Fläche $+2\pi$ und $-2\pi$: $$\int_{-2}^{2}\hspace{-2mm} f(x) \: dx+\int_{-2}^{2}\hspace{-2mm}g(x) \: dx=0$$


Quiz 1 kahoot

kahoot

Spiele gegen deine Mitschüler und gewinne.

  Los gehts   


Aufgabe 5 Obersummen

Berechne für die folgenden Funktionsterme die Flächen mit Hilfe der Obersummen für $n_1=5$, $n_2=10$, $n_3=100$ und $n \to \infty$ Abschnitte im Intervall von 0 bis $x_0=2$.

  1. $A=\int_{0}^{2} x \: dx$
  2. $A=\int_{0}^{2} x^2 \: dx$
  3. $A=\int_{0}^{2} x^3 \: dx$
  4. $A=\int_{0}^{2} x^2+2x \: dx$
  5. Berechne jeweils allgemein für das Intervall von 0 bis $x_0$ den Grenzwert für n → ∞
Schaubilder mit Flächen

  1. $A=\left(\frac{x_0}{n}\right)^2\: \frac{n(n+1)}{2}$

    $n$ 5 10 100 n → ∞
    $A$ 2,4 2,2 2,02 2
  2. $A=\left(\frac{x_0}{n}\right)^3 \: \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

    $n$ 5 10 100 n → ∞
    $A$ 3,52 3,1 2,71 8/3
  3. $A=\left(\frac{x_0}{n}\right)^4 \:\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

    $n$ 5 10 100 n → ∞
    $A$ 5,76 4,84 4,08 4
  4. $A=\left(\frac{x_0}{n}\right)^3 \: \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$+ 2\left(\frac{x_0}{n}\right)^2 \:\frac{n(n+1)}{2} $

    $n$ 5 10 100 n → ∞
    $A$ 8,3 7,5 6,75 20/3


© mylime.info