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Reihen | Die Summe der natürlichen Zahlen und der Quadratzahlen



Summe der natürlichen Zahlen



$\begin{align} 1 &+ 100 &= 101\\ 2 &+ 99 &= 101\\ 3 &+ 98 &= 101\\ &\text{...} &= 101\\ 50 &+ 51 &= 101\\ \end{align}$
$$\sum_{k=0}^{n=100} k = 50 \cdot 101 = \frac{n}{2}(n+1)$$

Von Gauß wird in jungen Jahren berichtet, dass er, zur großen Überraschung seines Mathematiklehrers, die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 innerhalb kürzester Zeit berechnen konnte. Er hat dazu Zahlenpaare gebildet und konnte so sehr schnell das Ergebnis berechnen.

Heute würden wir sagen: Er hat eine Formel zur einfachen Berechnung einer Reihe entwickelt. Eine Reihe ist eine Summe mit aufeinander folgenden Summanden. Auch mit unendlich vielen Summanden streben diese Summen häufig gegen einen Grenzwert, nicht aber wenn der folgende Summand größer als der vorherige ist.

Summe der Quadratzahlen



Für die Summe der Quadratzahlen lassen sich keine Zahlenpaare bilden, die immer eine identische Summe geben.

Jedoch fällt auf, dass der Abstand zwischen den Zahlen immer um eine ungerade Zahl steigt.

So lassen sich die Quadratzahlen umschreiben zu: $5^2=1+3+5+7+9$. D.h. $5^2$ ist die Summe der ersten 5 ungeraden Zahlen.

$$\begin{equation*} \begin{array}{ccccccccccc} &1^2 \hspace{-5mm}&+ \hspace{-5mm}&2^2 \hspace{-5mm}&+ \hspace{-5mm}&3^2 \hspace{-5mm}&+ \hspace{-5mm}&4^2 \hspace{-5mm}&+ \hspace{-5mm}&... \\ &1 \hspace{-5mm}&+ \hspace{-5mm}&4 \hspace{-5mm}&+ \hspace{-5mm}&9 \hspace{-5mm}&+ \hspace{-5mm}&16 \hspace{-5mm}&+ \hspace{-5mm}&... \\ & \hspace{-5mm}&+3 & \hspace{-5mm}&+5 & \hspace{-5mm}&+7 & \hspace{-5mm}&+9 & \hspace{-5mm}&+11 &\\ \end{array} \end{equation*} $$

Umschreiben der Quadratzahlen



$$\begin{equation*} \begin{array}{ccccc} & & & & &9\\ & & & &7 &7\\ & & &5 &5 &5\\ & &3 &3 &3 &3\\ &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline &1^2 &2^2 &3^2 &4^2 &5^2\\ \end{array} \end{equation*} $$

Jede Quadratzahl lässt sich so aus der Summe von ungeraden Zahlen bilden.

Die Anzahl der Zahlen die so zur Berechnung notwendig sind ergibt sich zu:
$1+2+3+4+5+...$

Diese Reihe ist die Summe der natürlichen Zahlen und berechnte sich wie oben gezeigt.

$$\sum_{k=0}^{n=100} k = 50 \cdot 101 = \frac{n}{2}(n+1)$$

Neue Anordnung der Zahlen



Wir ordnen die Zahlen in Pyramidenform an. Das ganze machen wir dreimal, drehen aber die folgenden um eine Position im Uhrzeigersinn.

$$\begin{equation*} \begin{array}{ccccccccc} & & & & &9 & & & &\\ & & & &7 & &7 & & &\\ & & &5 & &5 & &5 & &\\ & &3 & &3 & &3 & &3 &\\ &1 & &1 & &1 & &1 & &1\\ \end{array} \end{equation*} $$
$$\begin{equation*} \begin{array}{ccccccccc} & & & & &1 & & & &\\ & & & &1 & &3 & & &\\ & & &1 & &3 & &5 & &\\ & &1 & &3 & &5 & &7 &\\ &1 & &3 & &5 & &7 & &9\\ \end{array} \end{equation*} $$
$$\begin{equation*} \begin{array}{ccccccccc} & & & & &1 & & & &\\ & & & &3 & &1 & & &\\ & & &5 & &3 & &1 & &\\ & &7 & &5 & &3 & &1 &\\ &9 & &7 & &5 & &3 & &1\\ \end{array} \end{equation*} $$

Paarung der 3 Anordnungen



$$\begin{equation*} \begin{array}{lllllllll}{\small} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}\\ &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}\\ &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}\\ &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm}\\ &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11 &\hspace{-4mm} &\hspace{-4mm}11\\ \end{array} \end{equation*} $$

Wir addieren jeweils die drei Pyramidenzellen mit identischer Position, wie bspw. $9+1+1=11$ Oha!

Wir haben eine Paarung gefunden: Die Summe jeder Position der drei Anordnungen ist gleich $11=2n+1$.

Damit lässt sich eine Summenformel schreiben:

$$\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n}{2}(n+1)\frac{2n+1}{3}$$

Quellen: A. Brünner      

Wortliste und Satzbausteine



die Reihe, -n Eine mathematische Reihe ist eine Summe mit aufeinander folgenden Summanden.
die Summe, -n Die mathematische Summe $\sum_{k=0}^{n=100} k$ besitzt den Startwert $k=0$ und den Endwert $n=100$: $0+1+2+...+99+100$
die Summe der natürlichen Zahlen Viele Reihen lassen sich expliziet berechnen. So kann man die Summe der natürlichen Zahlen berechnen mit: $\sum_{k=0}^{n=100} k=\frac{n}{2}(n+1)$
die Summe der Quadratzahlen Die Summe der Quadratzahlen berechnet man mit: $\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n}{2}(n+1)\frac{2n+1}{3}$

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