optische Täuschung

Kongruente Figuren und deren Bedeutung für Drei- und Vierecke werden erklärt.

1 Optische Täuschung
optische Täuschung

Auch wenn nicht ganz exakt gezeichnet, die beiden blauen Kreise sehen unterschiedlich groß aus. Oder?

Tatsächlich sind sie aber identisch in Form und Maßen. Wir sagen: Beide Kreise sind deckungsgleich, d.h. kongruent.

Definition:
Zwei Figuren A und B heißen zueinander kongruent, wenn sie in Form und in den Maßen übereinstimmen, sonst nicht.

2 Kongruenz - Deckungsgleichheit
kongruente Figuren

Deckungsgleichheit von Figuren bedeutet:

  1. wenn man die Figuren ausschneidet, passen sie übereinander,
  2. die Seitenlängen sind gleich lang, sie haben den gleichen Umfang,
  3. die Flächeninhalte sind identisch,
  4. man kann sie spiegeln, drehen und verschieben,
  5. sie haben die gleichen Winkel.
3 Kongruenzsatz 1 SSS
Dreieckskonstruktion

Zeichne ein Dreieck mit $a=3,4~cm$, $b=5,1~cm$ und $c=6,6~cm$.

Wie viele verschiedene Dreiecke kannst du zeichnen und welche Eigenschaften haben diese?

Stimmen zwei Dreiecke in allen ihren Seiten (S) überein, so sind sie kongruent zueinander.

4 Kongruenzsatz 2 WSW
Dreieckskonstruktion

Zeichne ein Dreieck mit $c=6,2~cm$, $\alpha=34~^\circ$ und $\beta=50~^\circ$.

Wie viele verschiedene Dreiecke kannst du zeichnen und welche Eigenschaften haben diese?

Stimmen zwei Dreiecke in einer ihrer Seiten (S) und beiden an diesen Seiten anliegenden Winkeln (W) überein, so sind sie kongruent zueinander.

5 Kongruenzsatz 3 SsW
Dreieckskonstruktion

Zeichne ein Dreieck mit $a=3,6~cm$, $b=5,2~cm$ und $\beta=52~^\circ$.

Wie muß man ein solches Dreieck konstruieren?

Stimmen zwei Dreiecke in zwei ihrer Seiten (Ss) und dem der längeren Seite (S) gegenüberliegenden Winkel (W) überein, so sind sie kongruent zueinander.

6 Kongruenzsatz 4 SWS
Dreieckskonstruktion

Zeichne ein Dreieck mit $b=4,6~cm$, $c=5,2~cm$ und $\alpha=35~^\circ$.

Versuche einen Kongruenzsatz zu definieren?

Stimmen zwei Dreiecke in zwei ihrer Seiten (S) und dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel (W) überein, so sind sie kongruent zueinander.

Ideen:
H. Griesel et al., "Elemente der Mathe­mathik", Band 4, Schroedel Verlag, 2006
Schüler Klasse 8 CDSC



Aufgabe 1 Kongruenzsatz 1+2

  1. Konstruiere das Dreieck:
    $a=4,4~cm,~ b = 6,2~cm,~ c = 3,5~cm$

  2. Konstruiere das Dreieck:
    $a=6,4~cm,~ \alpha = 34~^\circ,~ \beta = 52~^\circ$

  3. Ein Satteldach soll 8,4 m breit werden. Die Dachneigungen betragen 35 ° und 42 °.

    Wie lang sind jeweils die Dachsparren mit 1 m Überstand?

Sparren


  1. Dreieckskonstruktion


  2. Dreieckskonstruktion


  3. Dreieckskonstruktion

    Antwort: Die Dachsparren haben auf der einen Seite eine Länge von 7,75 m und auf der anderen Seite eine Länge von 7 m. Hinweis: Es sind zwei Lösungen möglich, da die Winkel vertauscht werden können.

Aufgabe 2 Kongruenzsatz 3

Konstruiere die Dreiecke.


  1. $a=6,4~cm,~ b = 5,2~cm,~ \beta = 32~^\circ$


  2. $b=3,4~cm,~ c = 4,2~cm,~ \gamma = 32~^\circ$


  1. Dreieckskonstruktion


  2. Dreieckskonstruktion


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Aufgabe 3 Kongruenzsatz 4

Sparren

  1. Für den Bau eines Tunnels soll dessen Länge ermittelt werden. Dazu wird der Ein- und Ausgang von einem Punkt C angepeilt. Die Entfernung zur Tunnelöffnung A beträgt 3,4 km, zur Tunnelöffnung B 5,2 km. Der eingeschlossene Winkel ist 54 ° groß.
    Konstruiere die Tunnellänge.
  2. Konstruiere das Dreieck mit $a=3,4~cm,~ b = 5,2~cm,~ \gamma = 42~^\circ$.
  3. Konstruiere das Dreieck mit $b=7,4~cm,~ c = 3,2~cm,~ \alpha = 25~^\circ$.

  1. Dreieckskonstruktion


  2. Dreieckskonstruktion


  3. Dreieckskonstruktion

Aufgabe 4 Anwendungsaufgabe

Ein Flugzeug der Thai Airways hebt mit 88 m/s unter einem Winkel von 30 ° ab.

Bestimme die Höhe des Flugzeugs nach 5 s, wenn es mit gleichbleibender Geschwindigkeit und Winkel weiter fliegt.

Flugzeug

Zurückgelegte Strecke in 5 s: $88 \cdot 5 = 440~m$

Konstruktion der Höhe


Wortliste und Satzbausteine



das gleichschenklige Dreieck, -e ein Dreieck mit 2 gleichlangen Seiten
das rechtwinklige Dreieck, -e ein Dreieck mit einem 90 ° Winkel
das Satteldach, -"er ein Dach mit 2 Dachflächen
das Pultdach, -"er ein Dach mit einer Dachfläche
der Dachsparren, ~ einer der schrägen Balken, die das Dach eines Hauses stützen
die Pfette, -n waagerechter, tragender Dachbalken, an dem die Sparren befestigt sind
die Kongru­enz, keine Mehrzahl die Deckungs­gleichheit, Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie identische Formen und Maße haben.
der Winkel, ~ Ein Winkel gibt den Flächenanteil zwischen zwei Seiten eines Dreiecks an.

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