Schaubilder gebrochen rationaler Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen haben Polstellen, an denen die Funktionswerte gegen $\pm \infty$ gehen.

1 Die Ableitung
Parallelschaltung von Widerständen mit gebrochen rationaler Funktion der Widerstände

Untersucht wird die gebrochen rationale Funktion:

$$f(x)=\frac{x^2}{x+1}=x^2\cdot(x+1)^{-1}$$

Die Ableitungen kann man nun mit der Produkt- oder Quotientenregel bestimmen. Man beachte, dass man für einen gemeinsammen Nenner den einen Bruch erweitert.
$f'(x)=2x\cdot(x+1)^{-1}-x^2\cdot(x+1)^{-2}$
$f'(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^{-2}}=(x^2+2x)\cdot(x+1)^{-2}$
$f''(x)=\frac{2}{(x+1)^{-3}}=2\cdot(x+1)^{-3}$

2 Die Definitionsmenge D
Bestimmung der Definitionsmenge

Teilen durch Null ist keine äquivalente Umformung. Also müssen wir Werte von x ausschließen, bei denen der Nenner Null wird.

Ansatz: Finde die $x$-Werte bei denen der Nenner Null wird.

Diese Werte finden wir heraus indem wir die Nenner in denen x vorkommt gleich Null setzen. In diesem Fall darf x alle Werte annehmen außer 0 und 6. $D=\mathbb{R} \backslash \{-1\}$

Teste dein Wissen: Wie lautet die Definitionsmenge der Bruchgleichung $\frac{9}{x+1}+\frac{3}{2(x+1)}=\frac{4}{2x}$?

3 Schnittpunkte mit den Achsen
Wagenrad

Die Nullstellen erhalten wir, indem wir $f(x)$ gleich Null setzen und den Schnittpunkt mit der y-Achse durch berechnen des Funktionswertes an der Stelle $x=0$.

Ansatz $f(x)=0$ lösen und $f(0)$ berechnen.

Hinweis: Um die Gleichung zu lösen, müssen wir manchmal jeden Term so erweitern, dass wir den einfachsten gemeinsamen Hauptnenner erhalten. Diesen bildet man, indem man alle unterschiedlichen Nenner miteinander multipliziert.

Bestimme den gemeinsamen Hauptnenner der Funktion $f(x)=\frac{9}{x+1}+\frac{3}{2(x+1)}-\frac{4}{2x}$.

4 Polstellen und Verhalten im Unendlichen
Schaubild mit 2 Polstellen

Man berechnet wie sich das Schaubild bei der Annäherung an die Definitionslücke verhält. Dazu setzt man Werte minimal größer/kleiner als die Definistionslücke ein.

$$\lim_{x \to -1+0,001} \frac{x^2}{x+1} = + \infty$$ $$\lim_{x \to -1-0,001} \frac{x^2}{x+1} = - \infty$$

Für das Verhalten im Unendlichen berechnet man den Grenzwert:

$$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x+1} = \pm \infty$$
5 Asymptoten
Schaubild einer gebrochen rationalen Funktion mit 2 Asymptoten

Senkrechte Asymptoten sind die Definitionslücken.

$$x=-1$$

Falls der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist erhält man als Asymptote: $y=0$.
Falls der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist erhält man als Asymptote: $y=a$.
Falls der Zählergrad 1 größer als der Nennergrad ist erhält man als Asymptote: $y=ax+b$.
Falls der Zählergrad 2 größer als der Nennergrad ist erhält man als Asymptote: $y=ax^2+bx+c$.
Die Asymptote berechnet man mit Hilfe der Polynomdivision.

6 Symmetrie
symmetrisches Schaubild einer gebrochen rationalen Funktion

Ansatz: Wir berechnen

$$f(-x)$$

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt: $f(-x)=f(x)$
Punktssymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: $f(-x)=-f(x)$.

$f(-x)=\frac{x^2}{-x+1}$
Da dieses Ergebnis weder gleich $f(x)$ noch $-f(x)$ liegt keine Symmetrie vor.

7 Extrempunkte
Schaubild mit Hoch- und Tiefpunkt

Ansatz:
Für einen Hochpunkt gilt $f'(x)=0$ und $f''(x)<0$
Für einen Tiefpunkt gilt $f'(x)=0$ und $f''(x)>0$

In unserem Fall lösen wir $2x\cdot(x+1)^{-1}-x^2\cdot(x+1)^{-2}=0$ und erhalten $x_1=-2$ und $x_2=0$. Einsetzen in die zweite Ableitung liefert die beiden Extrempunkte:
$\text{HP}(-2|-4)$ und $\text{TP}(0|0)$

8 Wendepunkte
Skispuren im Schnee

Ansatz:
Für einen Wendepunkt gilt $f''(x)=0$ und $f''(x)\neq 0$

In unserem Fall lösen wir $2\cdot(x+1)^{-3}=0$. Diese Gleichung besitzt keine Lösung und somit besitzt die Funktion keinen Wendepunkt.

9 Schaubild
Schaubild der gebrochen rationalen Funktion

Zur Unterstützung kann man noch eine Wertetabelle anlegen. Jedoch ist es in den meisten Fällen bereits möglich, mit Hilfe der berechneten Daten, das Schaubild der Funktion zu zeichnen, als auch deren Asymptoten zu zeichnen.

Quellen:
A. Schneider mathebibel.de



Aufgabe 1 Definitionsmenge und Polstellen

Bestimme die Polstellen der Funktionen.

  1. $f(x)=\frac{4}{x}+x-4$

  2. $f(x)=4x-\frac{20}{x-4}$

  3. $f(x)\frac{3}{x+2}+4-\frac{3}{x}$

  1. $f(x)=\frac{3x}{x-2}-\frac{3}{x+1}$

  2. $f(x)=\frac{3}{2x+2}-\frac{3}{x+3}$

  3. $f(x)=\frac{1}{4x-2}-\frac{3}{x}+\frac{3}{x-3}$

  1. $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$

  2. $D=\mathbb{R} \backslash \{4\}$

  3. $D=\mathbb{R} \backslash \{-2;0\}$

  4. $D=\mathbb{R} \backslash \{2;-1\}$

  5. $D=\mathbb{R} \backslash \{-1;-3\}$

  6. $D=\mathbb{R} \backslash \{1/2;0;3\}$


Aufgabe 2 Nullstellen

Bestimme die Nullstelle der Funktionen.

  1. $f(x)=\frac{4}{x}+x-4$

  2. $f(x)=4x-\frac{20}{x-4}$

  3. $f(x)=\frac{3}{x+2}+4-\frac{3}{x}$

  1. $f(x)=\frac{3x}{x-2}-\frac{3}{x+1}$

  2. $f(x)=\frac{3}{2x+2}-\frac{3}{x+3}$

  3. $f(x)=\frac{3}{x}-\frac{3}{x-3}-\frac{1}{4x-2}$

  1. Gemeinsamer Hauptnenner: $x$
    Gleichung lösen: $x^2-4x+4=0$
    Lösungsmenge: $L=\{2\}$

  2. Gemeinsamer Hauptnenner: $(x-4)$
    Gleichung lösen: $x^2-4x-5=0$
    Lösungsmenge: $L=\{-1;5\}$

  3. Gemeinsamer Hauptnenner: $x\cdot (x+2)$
    Gleichung lösen: $x^2+2x-1,5=0$
    Lösung: $x_{1/2}=-1\pm \sqrt{2,5}$

  4. Gemeinsamer Hauptnenner: $(x-2)(x+1)$
    Gleichung lösen: $3x^2+6=0$
    Lösungsmenge: $L=\{\}$

  5. Gemeinsamer Hauptnenner: $(2x+2)(x+3)$
    Gleichung lösen: $-3x+3=0$
    Lösungsmenge: $L=\{1\}$

  6. Gemeinsamer Hauptnenner: $x(4x-2)(x-3)$
    Gleichung lösen: $3(x-3)(4x-2)-3x(4x-2)$ $-x(x-3)=0$
    Lösungsmenge: $L=\{0,537;-33,537\}$

Teste deinen Lernerfolg ...

Die Definitionsmenge der Funktion $f(x)=\frac{4x}{x-1}+\frac{26}{2(x+1)}-\frac{4}{2x-4}$ lautet?



Der gemeinsame Hauptnenner der Funktion $f(x)=\frac{4x}{x-1}+\frac{26}{2(x+1)}+\frac{4}{2x-4}$ ist?



Wie lautet von $4x+\frac{2}{x+1}=0$ die vereinfachte Gleichung nachdem mit dem Hauptnenner erweitert und gekürzt wurde?




Aufgabe 3 Ableitungen

Bilde die ersten 2 Ableitungen.

  1. $f(x)=x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$

  2. $f(x)=4x-\frac{20}{x-4}$

  3. $f(x)=\frac{3x}{x-2}-\frac{3}{x+1}$

  1. $f(x)=\frac{x^2}{(x+1)}$

  2. $f(x)=\frac{x^3}{(x^2-1)}$

  1. $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$
    $f''(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{6}{x^4}$

  2. $f'(x)=4+\frac{20}{(x-4)^2}$
    $f''(x)=-\frac{40}{(x-4)^3}$

  3. $f'(x)=-\frac{3(x^2+8x-2)}{(x-2)^2(x+1)^2}$
    $f''(x)=-\frac{6(x^3+12x^2-6x+10)}{(x-2)^3(x+1)^3}$

  4. $f'(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^{-2}}$ $=(x^2+2x)\cdot(x+1)^{-2}$
    $f''(x)=\frac{2}{(x+1)^{-3}}=2\cdot(x+1)^{-3}$

  5. $f'(x)=\left(x^4-3x^2\right)\left(x^2-1\right)^{-2}$
    $f''(x)=\left(2x^4+6x\right)\left(x^2-1\right)^{-3}$


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Das Melonen-Paradox

Du hast 100 kg Wassermelonen. Der Wasseranteil beträgt 99%.

Nun trocknest du die Melonen in der Sonne, bis der Wasseranteil nur noch 98% beträgt. Bestimme das neue Gewicht der Wassermelonen.

... und los geht's

Hinweis 1: Die meisten Menschen denken, dass das neue Gewicht in etwa 98 kg beträgt. Doch dieser Wert stimmt überhaupt nicht.

Hinweis 2: In der Mathematik ist das Problem als Potato-Paradox bekannt.

Obststand

Aufgabe 4 Kurvendiskussion

Gegeben sind die Funktionen:

$$f(x)=\frac{x^3}{(x^2-1)}$$ $$f(x)=\frac{x^4+x^2+2}{(x^2-1)}$$
  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion.
  2. Bestimme die Definitionsmenge.
  3. Berechne die Schnittpunkte mit den Achsen.
  4. Bestimme das Verhalten der Funktionswerte um die Polstellen und im Unendlichen.
  5. Bestimme die Asymptoten.
  6. Untersuche die Symmetrieeigenschaften des Graphen der Funktion.
  7. Berechne die Extrempunkte.
  8. Bestimme die Wendepunkte.
  9. Zeichne das Schaubild der Funktion inkl. der Asymptoten.
$$f(x)=\frac{x^3}{(x^2-1)}$$
  1. Ableitungen:
    $f(x) =\left(x^3\right)\left(x^2-1\right)^{-2}$
    $f'(x) =\left(x^4-3x^2\right)\left(x^2-1\right)^{-2}$
    $f''(x)=\left(2x^4+6x\right)\left(x^2-1\right)^{-3}$
  2. Definitionsmenge:
    $\text{D}=x \in \mathbb{R} \backslash \{-1;1\}$
  3. Schnittpunkte mit den Achsen:
    $\text{N}(0|0)$
  4. Verhalten um die Polstellen:
    $\lim_{x \to -1+0,001} \frac{x^3}{x^2-1} = + \infty$
    $\lim_{x \to -1-0,001} \frac{x^3}{x^2-1} = - \infty$
    $\lim_{x \to +1+0,001} \frac{x^3}{x^2-1} = + \infty$
    $\lim_{x \to +1-0,001} \frac{x^3}{x^2-1} = - \infty$
    Verhalten im Unendlichen:
    $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^3}{x^2-1} = + \infty$
    $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^3}{x^2-1} = - \infty$
  5. Asymptoten:
    Polstellen: $x=-1$, $x=1$
    schräge Asymptote: $g(x)=x$
  6. Symmetrieeigenschaften:
    $f(-x)=-\frac{x^3}{x^2-1} \Rightarrow$ Punktsymmetrie zum Ursprung
  7. Extrempunkte:
    $\text{S}(0|0)$
    $\text{HP}(-\sqrt{3}|-3/2\cdot \sqrt{3})$
    $\text{TP}(\sqrt{3}|3/2\cdot \sqrt{3})$
  8. Wendepunkte:
    $\text{W}(0|0)$
  9. Schaubild der Funktion:
    Schaubild der gebrochen rationalen Funktion
$$f(x)=\frac{x^4+x^2+2}{(x^2-1)}$$
  1. Ableitungen:
    $f(x)=\frac{x^4+x^2+2}{(x^2-1)}$
    $f'(x) =\frac{2x^5-4x^3-6x}{(x^2-1)^2}$
    $f''(x)=\frac{2x^6-6x^4+30x^2+6}{(x^2-1)^3}$
  2. Definitionsmenge:
    $\text{D}=x \in \mathbb{R} \backslash \{-1;1\}$
  3. Schnittpunkte mit den Achsen:
    $\text{N_y}(0|2)$
  4. Verhalten um die Polstellen:
    $\lim_{x \to -1-0,001} \frac{x^3}{x^2-1} = + \infty$
    $\lim_{x \to -1+0,001} \frac{x^3}{x^2-1} = - \infty$
    $\lim_{x \to +1-0,001} \frac{x^3}{x^2-1} = - \infty$
    $\lim_{x \to +1+0,001} \frac{x^3}{x^2-1} = + \infty$
    Verhalten im Unendlichen:
    $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^3}{x^2-1} = + \infty$
    $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^3}{x^2-1} = - \infty$
  5. Asymptoten:
    Polstellen: $x=-1$, $x=1$
    Parabel als Asymptote:
    Polynomdidvision: $f(x)=x^2+2+4/(x^2-1)$
    $g(x)=x^2+2$
  6. Symmetrieeigenschaften:
    $f(-x)=\frac{(-x)^4+(-x)^2+2}{(-x)^2-1} = \frac{x^4+x^2+2}{x^2-1} \Rightarrow$ y-Achsensymmetrie
  7. Extrempunkte:
    $\text{HP}(0|0)$
    $\text{TP}(-1.73|7)$
    $\text{TP}(1.73|7)$
  8. Wendepunkte:
    keine Wendepunkte
  9. Schaubild der Funktion:
    Schaubild der gebrochen rationalen Funktion

Aufgabe 5 Kurvendiskussion

Gegeben sind die Funktionen:

$$f(x)=\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^5}$$ $$f(x)=\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2}$$
  1. Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion.
  2. Bestimme die Definitionsmenge.
  3. Berechne die Schnittpunkte mit den Achsen.
  4. Bestimme das Verhalten der Funktionswerte um die Polstellen und im Unendlichen.
  5. Bestimme die Asymptoten.
  6. Untersuche die Symmetrieeigenschaften des Graphen der Funktion.
  7. Berechne die Extrempunkte.
  8. Bestimme die Wendepunkte.
  9. Zeichne das Schaubild der Funktion inkl. der Asymptoten.
$$f(x)=\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^5}$$
  1. Ableitungen:
    $f(x) =\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^5}$
    $f'(x) =\frac{-2x^4-30x^2+15}{6x^6}$
    $f''(x)=\frac{2x^4+60x^2-45}{6x^7}$
    $f'''(x)=\frac{-2x^4-100x^2+105}{x^8}$
  2. Definitionsmenge:
    $\text{D}=x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$
  3. Schnittpunkte mit den Achsen:
    $\text{N}_1(-0,53|0)$
    $\text{N}_2(0,53|0)$
  4. Verhalten um die Polstellen:
    $\lim_{x \to 0+0,001} \frac{2x^4+10x^2-3}{6x^5} = - \infty$
    $\lim_{x \to 0-0,001} \frac{2x^4+10x^2-3}{6x^5} = + \infty$
    Verhalten im Unendlichen:
    $\lim_{x \to + \infty} \frac{2x^4+10x^2-3}{6x^5} = 0$
    $\lim_{x \to - \infty} \frac{2x^4+10x^2-3}{6x^5} = 0$
  5. Asymptoten:
    Polstellen: $x=0$
    x-Achse: $g(x)=0$
  6. Symmetrieeigenschaften:
    $f(-x)=\frac{2(-x)^4+10(-x)^2-3}{6(-x)^5}$ $=-\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^5} \Rightarrow$ Punktsymmetrie zum Ursprung
  7. Extrempunkte:
    $\text{HP}(0,7|2,36)$
    $\text{TP}(-0,7|-2,36)$
  8. Wendepunkte:
    $\text{W}_1(-0,86|-1,96)$
    $\text{W}_2(0,86|1,96)$
  9. Schaubild der Funktion:
    Schaubild der gebrochen rationalen Funktion
$$f(x)=\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2}$$
  1. Ableitungen:
    $f(x)=\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2}$
    $f'(x) =\frac{2x^4+3}{3x^3}$
    $f''(x)=\frac{2x^4-9}{3x^4}$
    $f'''(x)=\frac{12}{x^5}$
  2. Definitionsmenge:
    $\text{D}=x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$
  3. Schnittpunkte mit den Achsen:
    $\text{N}_1(-0,53|0)$
    $\text{N}_2(0,53|0)$
  4. Verhalten um die Polstellen:
    $\lim_{x \to 0-0,001} \frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2} = - \infty$
    $\lim_{x \to 0+0,001} \frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2} = - \infty$
    Verhalten im Unendlichen:
    $\lim_{x \to + \infty} \frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2} = + \infty$
    $\lim_{x \to - \infty} \frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2} = + \infty$
  5. Asymptoten:
    Polstellen: $x=0$
    Parabel als Asymptote:
    Polynomdidvision: $f(x)=1/3x^2+10/6-3/(6x^2)$
    $g(x)=\frac{1}{3}x^2+\frac{10}{6}$
  6. Symmetrieeigenschaften:
    $f(-x)=\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2}=$ $\frac{2x^4+10x^2-3}{6x^2} \Rightarrow$ y-Achsensymmetrie
  7. Extrempunkte: -
  8. Wendepunkte:1,46
    $\text{W}_1(-1,46|2,14)$
    $\text{W}_2(1,46|2,14)$
  9. Schaubild der Funktion:
    Schaubild der gebrochen rationalen Funktion


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