Kirchenfenster

Bruchzahlen beschreiben Teile eines Ganzen. Hier lernst du wie man Bruchzahlen schreibt, darstellt und wie man sie vergleichen kann.

1 Brüche schreiben
Pizzastücke

Tina teilt eine Pizza für sich und ihre Freundin in zwei gleich große Stücke. Jeder von ihnen bekommt eine Hälfte.

Wie viel Pizza bekommt jeder, wenn sich 3, 4, 5 und 6 Freunde eine Pizza teilen?

Du hast zwei quadratische Kuchenstückchen und willst sie gerecht auf 18 Schülerinnen und Schüler aufteilen. Wie geht das? Zeichne.

8 Freunde teilen sich eine Pizza. Wie oft muss die Pizza geteilt werden?

2 Zähler, Nenner und Bruch­strich
3/8

Eine Bruchzahl besteht aus einem Zähler, einem Bruchstrich und dem Nenner.

Der Zähler gibt an, wie viele Stücke man bekommt und steht über dem Bruch­strich.

Der Nenner gibt an, in wie viele Stücke man etwas teilt und steht unter dem Bruch­strich.

Man sagt "drei Achtel" und schreibt $\frac{3}{8}$.

Welcher Bruch stellt neunzehn Dreiundzwansigstel dar?

3 Größe des Zählers
Brüche mit unterschiedlich grossem Zaehler

Der Zähler kann kleiner, gleich oder größer als der Nenner sein.

$\frac{3}{4}$        
$\frac{4}{4}$        
$\frac{7}{4}$                   

Brüche, deren Zähler größer als der Nenner sind, bezeichnet man als "mehr als ein Ganzes".

4 Den Anteil von etwas berech­nen
3/4 gefülltes Wasserglas

Ein Wasserglas mit 1000 ml ist zu 3/4 mit Wasser gefüllt. Wie voll ist es?

Merke: Den Bruchteil eines Ganzen bestimmt man indem man das Gesamte durch den Nenner teilt und mit dem Zähler multipliziert:

$\frac{3}{4}$ von $1000$ ml: $\frac{1000}{4}\cdot 3=250\cdot 3=750$ ml
$\frac{1}{10}$ von $1000$ ml: $\frac{1000}{10}\cdot 1=100\cdot 1=100$ ml
$\frac{2}{5}$ von $1000$ ml: $\frac{1000}{5}\cdot 2=200\cdot 2=400$ ml

Umkehraufgabe: Wie lang ist die Strecke, wenn $1/4$ der Strecke $8$ m ist? $8:4\cdot 1 = 2$ m

5 Kuchen aufteilen
Kuchen

Damit der Kuchen     gerecht auf vier Personen         aufgeteilt werden kann, muss man ihn teilen. So bekommt jede Person 1/2 Kuchen.

Nun möchte man 3 Pizzen       gerecht auf 4 Personen         aufteilen. Wie viel Pizza bekommt jeder?

Merke: Es gibt zwei Möglichkeiten. Jeder erhält 1/4 von jeder Pizza. Das ist genauso viel wie 3/4 von einer Pizza.

Häufig gibt es verschiedene Rechenmöglichkeiten. 3/4 von 12 kann man auf zwei Arten rechnen:
$(3\cdot 12):4=36:4=9$ oder $(12:4)\cdot 3=3 \cdot 3=9$

6 Gleichwertige Brüche

Schneide aus einem Blatt Papier ein Quadrat aus. Falte es einmal und markiere die Hälfte. Wie nennt man den Bruch? Falte es 2mal, 3mal und 4mal. Markiere einen Anteil farbig und benenne die entstandenen Brüche. Vergleiche die verschiedenen Brüche mit einander.

$\frac{1}{2}$    
$\frac{2}{4}$        
$\frac{4}{8}$                

Es gibt verschiedene Brüche die aber den gleichen Wert haben. Finde eine Strategie, wie man Brüche findet, welche den gleichen Anteil haben.

Durch Erweitern oder Kürzen kann man Brüche miteinander vergleichen. Dabei ändert sich der Wert des Bruches nicht.

Brüche können erweitert werden:
Dabei wird Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.
$\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{3}{6}$     $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}$

Brüche können gekürzt werden:
Dabei wird Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl geteilt.
$\frac{21}{28}=\frac{21:7}{28:7}=\frac{3}{4}$     $\frac{36}{60}=\frac{36:6}{60:6}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$

Merke: Hat ein Bruch keinen weiteren Teiler, gilt er als vollständig gekürzt.

7 Brüche auf dem Zahlen­strahl
Bruch auf dem Zahlenstrahl

Brüche können auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Der Zahlenstrahl ist ähnlich wie ein Balkendiagramm. Stelle die Werte $\frac{3}{4}$ und $\frac{1}{3}$ auf einem Zahlenstrahl dar.

Bruchzahlen deren Nenner größer als der Zähler ist, liegen immer zwischen Null und Eins und werden als echte Brüche bezeichnet. Bruchzahlen deren Zähler größer als der Nenner ist, sind gößer Eins und werden auch als gemischte Brüche dargestellt: $\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}=1\frac{1}{4}$.

Merke: Erweitert oder kürzt man Brüche, teilen sich diese den Platz auf dem Zahlenstrahl.

8 Brüche vergleichen
Kirchenfenster

Welcher Bruchteil des Kirchenfensters ist am größten? 3/4, 1/2, 5/4: Ordne die Brüche der Größe nach. Trage die Bruchzahlen auf einem Zahlenstrahl ein.

Beachte: Da 6/5 größer als 1 ist und 7/8 kleiner als 1, ist der Vergleich einfach. Zudem gilt: je größer der Nenner, desto kleiner der Wert. Willst du im Vergleich sicher gehen, bringe die Bruchzahl durch Erweitern auf den gleichen Nenner.

Quellen:
S. Hoch et al., "Bruchrechnen. Bruchzahlen & Bruchteile greifen & begreifen, TU-München, 2018
H. Griesel et al., "Elemente der Mathematik", Schroedel Verlag, 2012



Aufgabe 1 Bruchzahlen schreiben und lesen

Wie liest du den Bruch?

  1. $\frac{2}{20}$

  2. $\frac{5}{6}$

  3. $\frac{3}{9}$

  4. $\frac{1}{3}$

Wie schreibst du den Bruch?

  1. fünf Sechstel

  2. sieben Achtel

  3. fünfzehn Dreiundzwansigstel

  4. viertausend Einhunderttausendstel

Welcher Bruch ist hier dargestellt?

  1.        
  2.            
  3.              
  4.                

  1. zwei Zwansigstel
  2. fünf Sechstel
  3. drei Neuntel
  4. ein Drittel
  1. $\frac{5}{6}$
  2. $\frac{7}{8}$
  3. $\frac{15}{23}$
  4. $\frac{4.000}{100.000}$
  1. $\frac{3}{4}$
  2. $\frac{4}{6}$
  3. $\frac{3}{7}$
  4. $\frac{6}{8}$

Aufgabe 2 Darstellen von Brüchen

Stelle die Bruchzahlen in einem Kuchendiagramm dar.

  1. $\frac{7}{8}$

  2. $\frac{2}{3}$

  3. $\frac{3}{5}$

  4. $\frac{10}{16}$

Stelle die Bruchzahlen in einem Balkendiagramm dar.

  1. $\frac{2}{6}$

  2. $\frac{4}{7}$

  3. $\frac{8}{10}$

Schreibe den Balkendiagrammwert als Bruchzahl


Stelle die Bruchzahlen in einem Kuchendiagramm dar.

  1. $\frac{7}{8}$

  2. $\frac{2}{3}$

  3. $\frac{3}{5}$

  4. $\frac{10}{16}$

Stelle die Bruchzahlen in einem Balkendiagramm dar.

  1. $\frac{2}{6}$

  2. $\frac{4}{7}$

  3. $\frac{8}{10}$

Schreibe den Balkendiagrammwert als Bruchzahl

  1. $\frac{1}{2}$

  2. $\frac{1}{3}$

  3. $\frac{3}{4}$


Aufgabe 3 Anteile berechnen

Eine Pizza wiegt 400 g. Wie schwer sind ...

  1. ... $7/8$ der Pizza?
  2. ... $3/4$ der Pizza?
  3. ... $7/16$ der Pizza?
  4. ... $1/3$ der Pizza?

Wie groß ist das Ganze, wenn ...

  1. ... $3/4$ des Ganzen 9 ist?
  2. ... $7/8$ des Ganzen 21 ist?
  3. ... $15/7$ des Ganzen 30 ist?
  4. ... $4/6$ des Ganzen 12 ist?

  1. $350$ g
  2. $300$ g
  3. $175$ g
  4. $133+\frac{1}{3}$ g
  1. $12$
  2. $24$
  3. $14$
  4. $18$

Aufgabe 4 Unterschiedliche Rechenwege.

Rechne falls möglich mit zwei unterschiedlichen Rechenwegen.

  1. $\frac{2}{5} \: \text{von} \: 10 =$
  2. $\frac{7}{8} \: \text{von} \: 32 =$
  3. $\frac{2}{6} \: \text{von} \: 9 =$
  4. $\frac{2}{14} \: \text{von} \: 28 =$
  1. $\frac{7}{9} \: \text{von} \: 36 =$
  2. $\frac{2}{3} \: \text{von} \: 9 =$
  3. $\frac{6}{5} \: \text{von} \: 5 =$
  4. $\frac{2}{9} \: \text{von} \: 45 =$
  1. Eine Packung Gummibärchen wiegt 200 g. Berechne das Gewicht von 3/6.
  2. Ein Baumstamm ist 33 m lang. Berechne 2/6 der Baumstamm­länge.

  1. $\frac{2}{5} \: \text{von} \: 10 =(2\cdot 10):5=20:5$
  2. $\frac{7}{8} \: \text{von} \: 32 =(32:8) \cdot 7=4\cdot 7$
  3. $\frac{2}{6} \: \text{von} \: 9 =(2\cdot 9):6=18:6$
  4. $\frac{2}{14} \: \text{von} \: 28 =(28:14)\cdot 2 = 2\cdot 2$
  1. $\frac{7}{9} \: \text{von} \: 36 =(36:9)\cdot 7=4\cdot 7$
  2. $\frac{2}{3} \: \text{von} \: 9 =(2\cdot 9):3=18:3$
  3. $\frac{6}{5} \: \text{von} \: 5 =(5:5)\cdot 6=1\cdot 6$
  4. $\frac{2}{9} \: \text{von} \: 45 =(2\cdot 45):9=90:9$
  1. Anteil an Gummibärchen: $(200\cdot 3):6=600:6=100\:\text{g}$
  2. Anteil des Baumstamms: $(33\cdot 2) : 6 = 66:6=11\:\text{m}$

Entspann dich erst mal ...

Bogenschütze

Jonas beim Bogenschießen: "Jeder zweite Pfeil ist ein Volltreffer; ach, ich glaube, es sind noch viel mehr, mindestens jeder dritte oder sogar jeder vierte."

Quiz 1 kahoot

kahoot

Spiele gegen deine Mitschüler und gewinne.

  Quiz 1   

  Quiz 2   

Aufgabe 5 Kürzen und Erweitern

Merke: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Erweitere mit 7.

  1. $\frac{3}{4}$
  2. $\frac{7}{8}$
  3. $\frac{4}{23}$
  4. $\frac{17}{18}$

Kürze mit 3 oder 5 oder 7.

  1. $\frac{15}{45}=\frac{}{}$
  2. $\frac{7}{49}$
  3. $\frac{9}{36}$
  4. $\frac{56}{84}$

Erweitere mit 12.

  1. $\frac{8}{12}$
  2. $\frac{6}{120}$
  3. $\frac{8}{8}$
  4. $\frac{14}{111}$

Kürze.

  1. $\frac{12}{810}$
  2. $\frac{81}{123}$
  3. $\frac{171}{729}$
  4. $\frac{414}{3762}$

Erweitere mit 7.

  1. $\frac{3}{4}=\frac{21}{28}$
  2. $\frac{7}{8}=\frac{49}{56}$
  3. $\frac{4}{23}=\frac{28}{161}$
  4. $\frac{17}{18}=\frac{119}{126}$

Kürze mit 3 oder 5 oder 7.

  1. $\frac{15}{45}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
  2. $\frac{7}{49}=\frac{1}{7}$
  3. $\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
  4. $\frac{56}{84}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Erweitere mit 12.

  1. $\frac{8}{12}=\frac{96}{144}$
  2. $\frac{6}{120}=\frac{72}{1440}$
  3. $\frac{7}{8}=\frac{84}{96}$
  4. $\frac{14}{111}=\frac{168}{1332}$

Kürze.

  1. $\frac{12}{810}=\frac{4}{270}=\frac{2}{135}$
  2. $\frac{81}{123}=\frac{27}{41}$
  3. $\frac{171}{729}=\frac{19}{81}$
  4. $\frac{414}{3762}=\frac{46}{418}$

Aufgabe 6 Brüche auf dem Zahlenstrahl

Gib den markierten Bruch an.

Zahlenstrahl

Markiere die Brüche auf einem Zahlenstrahl.

  • $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{7}{3}$
  • $\frac{2}{5}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{9}{5}$
  • $\frac{2}{8}$, $\frac{4}{8}$, $\frac{7}{8}$
  • $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{8}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{1}{8}$

Gib den markierten Bruch an.

Zahlenstrahl

Markiere die Brüche auf dem Zahlenstrahl.

Zahlenstrahl


Aufgabe 7 Vergleiche von Bruchzahlen

Setze das passende Zeichen ein.

Mehr oder weniger als 1.

  1. $\frac{7}{6} \:\Box\: \frac{3}{4}$

  2. $\frac{7}{9} \:\Box\: \frac{4}{3}$

  3. $\frac{12}{13} \:\Box\: \frac{14}{13}$

  4. $\frac{8}{9} \:\Box\: \frac{5}{4}$

Mehr oder weniger als die Hälfte.

  1. $\frac{4}{5} \:\Box\: \frac{3}{8}$

  2. $\frac{12}{24} \:\Box\: \frac{5}{6}$

  3. $\frac{7}{15} \:\Box\: \frac{6}{11}$

  4. $\frac{1}{3} \:\Box\: \frac{7}{8}$

Der Nenner ist kleiner oder größer.

  1. $\frac{1}{3} \:\Box\: \frac{1}{4}$

  2. $\frac{5}{8} \:\Box\: \frac{5}{9}$

  3. $\frac{1}{4} \:\Box\: \frac{1}{5}$

  4. $\frac{7}{8} \:\Box\: \frac{7}{4}$

Erweitern.

  1. $\frac{7}{15} \:\Box\: \frac{2}{5}$

  2. $\frac{7}{16} \:\Box\: \frac{3}{4}$

  3. $\frac{3}{4} \:\Box\: \frac{2}{3}$

  4. $\frac{4}{9} \:\Box\: \frac{37}{81}$


Mehr oder weniger als 1.

  1. $\frac{7}{6} > \frac{3}{4}$

  2. $\frac{7}{9} < \frac{4}{3}$

  3. $\frac{12}{13} > \frac{14}{13}$

  4. $\frac{8}{9} < \frac{5}{4}$

Mehr oder weniger als die Hälfte.

  1. $\frac{4}{5} > \frac{3}{8}$

  2. $\frac{12}{24} < \frac{5}{6}$

  3. $\frac{7}{15} < \frac{6}{11}$

  4. $\frac{1}{3} < \frac{7}{8}$

Der Nenner ist kleiner oder größer.

  1. $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$

  2. $\frac{5}{8} > \frac{5}{9}$

  3. $\frac{1}{4} > \frac{1}{5}$

  4. $\frac{7}{8} < \frac{7}{4}$

Erweitern.

  1. $\frac{7}{15} > \frac{2}{5}$

  2. $\frac{7}{16} < \frac{3}{4}$

  3. $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$

  4. $\frac{4}{9} <\frac{37}{81}$


Wortliste und Satzbausteine



die Bruch­zahl, -en besteht aus zwei Zahlen die durch einen Bruch­strich ge­trennt werden
der Bruch, -”e Kurz­form von Bruch­zahl
der Nenner,~ gibt an, in wie viele Stücke man etwas teilt und steht unter dem Bruch­strich
der Zähler, ~ gibt an, wie viele Stücke man bekommt und steht über dem Bruch­strich
der Bruch­strich, -e stellt das Divisionszeichen zwischen Zähler und Nenner dar
ein echter Bruch Ein Bruch dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, wird als echter Bruch be­zeichnet.
der An­teil, -e Teil eines Ganzen
einen Bruch erwei­tern Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multi­pliziert werden.
einen Bruch kü­zen Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl divi­diert werden.
der Zahlen­strahl, -en eine Skala mit Werten

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