mylime - Mathe

1 Das rechtwinklige Dreieck

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a = 4 cm, b = 3 cm und c = 5 cm.

Zeichne an jede Seitenlänge ein passendes Quadrat und berechne deren Flächeninhalte. Welchen Zusammenhang besteht zwischen den Flächeninhalten?

enaktiv

2 Scherenschnitt

Schneide dir drei Quadrate mit den Kantenlängen a = 4 cm, b = 3 cm und c = 5 cm aus und weise nach, dass das größte Quadrat den Flächeninhalt von den beiden kleineren hat.

Zeige rechnerisch, dass die Flächen gleich groß sind.

ikonisch und numerisch

3 Der Satz des Pythagoras

Merke: Hat ein Dreieck die Seitennamen a, b und c und einen rechten Winkel gegenüber von c, dann hast du gleich zur Berechnung eine Formel parat. Es gilt:

$$a^2+b^2=c^2$$

symbolisch

4 Der Höhensatz des Euklids

Unterteilt man ein rechtwinkliges Dreieck $c^2=a^2+b^2$ mit der Höhe $h$ in zwei rechtwinklige Dreiecke $a^2=h^2+p^2$ und $b^2=h^2+q^2$ erhält man:

$\begin{align} (p+q)^2 &= a^2+b^2\\ p^2+2pq+q^2 &= 2h^2+p^2+q^2\\ h^2 &= p \cdot q\\ \end{align}$

Merke: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche $h^2$ genauso groß wie die Fläche $p \cdot q$.

5 Trigonometrie - Sinus

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 2 cm. Unterteile den Kreis in 30 ° Abständen. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck für 30 ° ein. Markiere die Gegenkathete $y$.

Die Gegenkathete $y$ erhält man, indem man den Radius $r$ mit dem Sinus des Winkels multipliziert.

$$y=r\cdot sin(\alpha )$$

6 Trigonometrie - Kosinus

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 2 cm. Unterteile den Kreis in 30 ° Abständen. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck für 30 ° ein. Markiere die Ankathete $y$.

Die Ankathete $y$ berechnet man, indem man den Radius $r$ mit dem Kosinus des Winkels multipliziert.

$$y=r \cdot cos(\alpha )$$

Tipp: Die Ankathete liegt am Winkel $\alpha$, die Gegenkathete gegenüber $\alpha$ und die Hypotenuse gegenüber des rechten Winkels.

7 Sinus- und Kosinussatz

Mit Hilfe des Sinussatzes (hier schön erklärt von DorFuchs) und des Kosinussatzes lassen sich Winkel und Kantenlängen von beliebigen Dreiecken berechnen.

$$\frac{\sin \: \alpha}{a}=\frac{\sin \: \beta}{b}=\frac{\sin \: \gamma}{c}$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$$

Ideen:
A. Wernli, Christliche Deutsche Schule Chiang Mai
H. Griesel et al., "Elemente der Mathematik", Band 5, Schroedel Verlag, 2015

Aufgabe 1 Rechtwinklige Dreiecke

In der Figur findest du mehrere rechtwinklige Dreiecke. Wie viele sind es?

Gib für jedes Dreieck den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen nach dem Satz des Pythagoras an.

Es sind 5 rechtwinklige Dreiecke.

$a_1^2=b_1^2+a_2^2$
$d^2=b_2^2+a_2^2$
$b^2=d^2+a^2$
$(b_1+b_2)^2=a_1^2+d^2$
$(a_1+a)^2=(b_1+b_2)^2+b^2$

Aufgabe 2 Dreieck

Berechne die dritte Seite, den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

$a=7$ cm, $b=5$ cm, $\gamma = 90$ °
$a=6$ cm, $c=10$ cm, $\gamma = 90$ °
$a=7$ cm, $b=3$ cm, $\alpha = 90$ °

$c=\sqrt{a^2+b^2}$
$b=\sqrt{c^2-a^2}$
$c=\sqrt{a^2-b^2}$

Aufgabe 3 Steigungsangaben und Höhen

An einer geradlinigen Straße wird eine Steigung von 16,67 % angegeben. Das bedeutet auf 100 m horizontal gemessener Entfernung ist ein Höhenunterschied von 16,67 m zu bewältigen.

Berechne den Steigungswinkel $\alpha$.
Berechne den Höhenunterschied nach 2 km mit gleichbleibender Steigung.
Berechne den Winkel bei 100 % Steigung und die Steigung bei einem Winkel von 90°.
Berechne den Flächeninhalt des Verkehrsschildes bei einer Kantenlänge von 40 cm.

$\tan \alpha = 16,67/100$
$h=2000\cdot \sin \alpha$
100 % Steigung: $\alpha = 45^\circ$
90° Winkel: Die Steigung ist unendlich.
Tip: Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt kann man das Dreieck einfach in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen.

Aufgabe 4 Turmhöhe

Glurns im Vinschgau (Südtirol - Italien) ist eine der kleinsten Alpenstädte. Die Besonderheit: Die Stadtmauern von Glurns sind vollständig erhalten.

Du stehst 100 m entfernt vom Turmmittelpunkt und peilst die Turmspitze unter einem Winkel von 8 ° an.

Fertige eine Skizze an und trage die bekannten Maße ein.
Berechne die Höhe des Turms.
Genaugenommen peilst du den Turm aus 2 m Höhe an und der Abstand von 100 m ist nicht bis zum Mittelpunkt, sondern nur bis zur Turmmauer gemessen. Allerdings konntest du herausfinden das der Turm einen Durchmesser von 4 m hat. Bestimme die exakte Höhe.

Skizze:
Turmhöhe: 14,1 m
Turmhöhe: 14,34 + 2 = 16,34 m

Aufgabe 5 Fehlende Größen

Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks.

Ankathete a	Winkel α	Gegenkathete b	Hypothenuse c
	30°		5
2		8
	40°	9
	60°	7
	4°	12.5

Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks.

Ankathete a	Winkel α	Gegenkathete b	Hypothenuse c
	30°		5
2		8
	40°	9
	60°	7
	4°	12.5

Aufgabe 6 Sinus- und Kosinussatz

Die Entfernung $x$ zwischen Zug- und Alpspitze soll bestimmt werden. Dazu werden von den Standorten A und B folgende Größen bestimmt: $\alpha_1=109\:^\circ$, $\beta_1=48\:^\circ$, $\alpha_2=42\:^\circ$, $\beta_2=88\:^\circ$, $c=3,2\:km$.

Bestimme die Winkel $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
Bestimme die Seitenlängen $b_1$ und $b_2$.
Bestimme den Abstand $x$ zwischen Zug- und Alpspitze.

Wortliste und Satzbausteine

das rechtwinklige Dreieck, -e	ein Dreieck mit einem 90 ° Winkel
der Satz des Pythagoras	Hat ein Dreieck die Seiten $a$, $b$ und $c$ und einen rechten Winkel gegenüber von $c$, dann gilt: $c^2=a^2+b^2$
der Höhensatz des Euklid	Unterteilt man ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe $h$ in zwei rechtwinklige Dreiecke so gilt: $h^2=p\cdot q$
die Gegenkathede $G$, -n	die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck gegenüber dem Winkel $\alpha$
die Ankathede $A$, -n	die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck am Winkel $\alpha$
die Hypotenuse $H$, -n	die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck gegenüber dem rechten Winkel

der Sinus eines Winkels $\alpha$	$\sin \alpha=\frac{G}{H}=\frac{a}{c}$
der Cosinus eines Winkels $\alpha$	$\cos \alpha=\frac{A}{H}=\frac{b}{c}$
der Tangens eines Winkels $\alpha$	$\tan \alpha=\frac{G}{A}=\frac{a}{b}$
der Sinussatz	$\frac{\sin \: \alpha}{a}=\frac{\sin \: \beta}{b}=\frac{\sin \: \gamma}{c}$
der Kosinussatz	$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos \gamma $

sin	cos	tan	cot
G	A	G	A
H	H	A	G

Satz des Pythagoras - Trigonometrie