immer steiler werdende Bergwiese

Die Schweine lieben Bratwürstchen, jedoch nur aus Rindfleisch. Jetzt haben sich unter diese sechs Bratwürstchen zwei mit Schweinefleisch gemischt. Wie wahrscheinlich ist es, dass das erst Schwein eine Schweinsbratwurst isst? Mal angenommen, dass erste Schwein hatte Glück. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass das zweite eine isst?

1 Kopf oder Zahl?
Euro-Münze

Einer der einfachsten Versuche ist der Münzwurf. Wirft man einmal, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl 50 %. Will man aber nochmal eine Zahl ist es nur noch 50 % von 50 % und das ist bekanntlich $0,5 \cdot 0,5=0,25$. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit nur noch 25 %.

Um das ganze zu strukturieren hilft uns das Baumdiagramm.

2 Baumdiagramm - Pfadmultiplikations­regel
Baumdiagramm

Wie wahrscheinlich ist es 2mal Kopf zu werfen?

$$p_{2mal K}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Pfadmultiplikationsregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.

3 Baumdiagram - Pfadadditions­regel
Baumdiagramm

Wie wahrscheinlich ist es 1mal Zahl zu werfen?

$$p_{1mal Z}=p_2+p_3=2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Pfadadditionsregel:
Gehören zu einem Ereignis mehrere Pfade, werden die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert.

4 Limettenernte
Limettenbaum

Bei der jährlichen Limettenernte beträgt die Wahrscheinlichkeit eine faule Frucht zu erwischen 10 %. Die Wahrscheinlichkeit für eine gute Frucht beträgt somit $1-0,1=0,9$.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei dreimal Pflücken keine schlechte Frucht oder nur gute Früchte zu erhalten?

Auch hier hilft uns das Baumdiagramm.

5 Hochtourengehen
Hochtour

Beim Hochtourengehen gibt es etwa 0,5 % Unfälle.

Tom und Dan unternehmen jedes Jahr 2 Hochtouren. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie keinen Unfall haben?

Wie wahrscheinlich ist das nach 7 Jahren?

Ein Baumdiagramm vereinfacht die Sache und gibt den Überblick

6 Qualität der Himbeeren
Himbeeren

Eine von 20 Himbeeren ist schlecht. Mario nimmt 5 Stück. Wie wahrscheinlich ist es dass er keine schlechte Himbeere nimmt?

Nutze das Baumdiagramm.

7 Schweinerei
Schweinerei

Die Schweine lieben Bratwürstchen, jedoch nur aus Rindfleisch. Jetzt haben sich unter fünf Bratwürstchen drei mit Schweinefleisch gemischt. Wie wahrscheinlich ist es, dass das erst Schwein eine Schweinsbratwurst isst?

Mal angenommen, dass erste Schwein hatte Glück. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass das zweite eine isst?

Dieser Versuch unterscheidet sich von den Bisherigen: Die Würstchen werden nicht zurückgelegt. Es werden immer weniger und genau deshalb verändern sich die Wahrscheinlichkeiten.

8 Ziehen ohne Zurücklegen
Baumdiagramm

Merke: Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen ändert sich die Gesamtzahl und damit die Wahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeit für 2mal Rindfleisch berechnet sich zu:

$$p_{RR}=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20}= 10\:\%$$


Aufgabe 1 Würfeln

Renate würfelt mit fünf Würfeln. Zeichne das Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit für

fünf Würfel

  1. fünfmal Eins.
  2. maximal zweimal eine Eins.
  1. $\left(\frac{1}{6}\right)^5$
  2. $1-\left(\frac{1}{6}\right)^5$

Entspann dich erst mal ...


Wahrscheinlichkeiten hin und her. Hier der wahrscheinlich coolste Dozent der Welt, oder sollte ich besser sagen: "der unwahrscheinlich schlechteste Dozent"?

Aufgabe 2 Der Münzwurf

Gerd wirft siebenmal die Münze. Wie wahrscheinlich ist,

  1. keinmal Kopf,
  2. 7mal Kopf.
Euromünze

  1. $\left(\frac{1}{2}\right)^7$
  2. $\left(\frac{1}{2}\right)^7$


Aufgabe 3 Dreiecksroulette

Timo dreht das Dreieck dreimal. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für

fünf Würfel

  1. zweimal drei.
  2. keinmal drei.
  3. mindestens zweimal drei.
  1. $\left(\frac{2}{27}\right)\cdot 3=\frac{6}{27}$
  2. $\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}$
  3. $\left(\frac{2}{27}\right)\cdot 3+\frac{1}{27}=\frac{7}{27}$

Aufgabe 4 Kugeln

Von acht Kugeln sind drei blau und fünf rot. Es wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen.

  1. Zeichne das Baumdiagramm
  2. Wie wahrscheinlich zieht man zweimal rot?
  3. Wie wahrscheinlich zieht man zweimal blau?
Euromünze

  1. $3\cdot \frac{60}{336}=\frac{180}{336}$
  2. $3\cdot \frac{30}{336}=\frac{90}{336}$


Aufgabe 5 Mensch ägere dich nicht

Autoren: D. Welling, J. Blum, D. Supper | DFU und binnendifferenziert

Man würfelt 3mal, bei einer Sechs kommt man raus.

Spielfiguren

  1. Bestimme die Anzahl der Stufen $n$, die Wahrscheinlichkeit $p$ und die Gegenwahrscheinlichkeit $1-p$.

    Die Anzahl der Stufen entspricht hier der Wurfanzahl. Die Wahrscheinlichkeit gibt an wie wahrscheinlich es ist bei einmal Würfeln eine 6 zu würfeln.

  2. Zeichne das mehrstufige Baumdiagramm. Beschrifte die Wahrscheinlichkeiten.

    Hinweis: Ein dreistufiges Baumdiagramm hat 8 Zweige. Startest Du von rechts nach links und beschriftest die Wahrscheinlichkeit oben, erhälst du eine saubere Struktur.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit,

  1. keinmal eine 6 zu würfeln,
  2. genau 2mal eine 6 zu würfeln,
  3. mindestens 2mal eine 6 zu würfeln,
  4. 2mal hintereinader eine 6 zu würfeln,

    Hinweis: Du musst alle Pfade suchen, in denen 2mal hintereinander eine 6 gewürfelt wird. Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade.

  5. mindestens eine 6 zu würfeln.

    Hinweis: Da alle Pfadwahrscheinlichkeiten bis auf einem addiert werden müssen, kannst du auch von 100 % die Wahrscheinlichkeit des einen Pfades abziehen.

Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es für

  1. drei grüne und eine blaue Figur?
  2. eine rote, gelbe, grüne und blaue Figur?
  1. Anzahl der Stufen $n=3$,
    Wahrscheinlichkeit $p=1/6$,
    Gegenwahrscheinlichkeit $1-p=5/6$
  2. Baumdiagramm:
    Baumdiagramm
  1. $p_{\text{0mal 6}}=\frac{125}{216}$
  2. $p_{\text{2mal 6}}=\frac{15}{216}$
  3. $p_{\text{mindestens 2mal 6}}=\frac{16}{216}$
  4. $p_{\text{2mal hintereinander 6}}=\frac{11}{216}$
  5. $p_{\text{mindestens 1mal 6}}=\frac{91}{216}$
  6. Anordnungsmöglichkeiten: $4$
  7. Anordnungsmöglichkeiten: $4!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Quiz 1 kahoot

Spiele gegen deine Mitschüler und gewinne.

  Los gehts   
kahoot

Aufgabe 6 Getränkeflaschen

Die Getränkeflaschen sollen angeordnet werden. Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es für

Flaschen

  1. eine Flasche?
  2. zwei Flaschen?
  3. drei Flaschen?
  4. vier Flaschen?
  5. fünf Flaschen?
  6. sechs Flaschen?
  7. n Flaschen?
  1. $1!$
  2. $2!$
  3. $3!$
  4. $4!$
  5. $5!$
  6. $6!$
  7. $n!$


Aufgabe 7 Farbfiguren

Es wird 2mal gezogen ohne zurückzulegen. Zeichne ein Baumdiagramm. Wie wahrscheinlich ist

  1. 2mal eine rote Figur zu ziehen?
  2. genau einmal eine rote Figur zu ziehen?
Farbfiguren

  1. $\frac{5}{17}\cdot \frac{4}{16}=\frac{5}{272}$
  2. $\frac{5}{17}\cdot \frac{12}{16}+\frac{12}{17}\cdot \frac{5}{16}=\frac{120}{272}$

Aufgabe 8 Neun Kugeln

Es wird 3mal ohne zurückzulegen gezogen. Wie wahrscheinlich ist es

❶ ❷ ❸ ❹

❺ ❻ ❼ ❽ ❾


  1. eine ❶ zu ziehen?
  2. eine ❶ ❷ ❸ zu ziehen?
  1. $p=\frac{1}{9} + \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{8} + \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{3}$
  2. $p=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{7}=\frac{1}{504}$



Wortliste und Satzbausteine



das Baum­diagramm, -e ein verzweigtes Schaubild in der Wahrschein­lichkeitsrechnung
das Experiment, -e ein Versuch
die Wahrscheinlichkeit, -en $p$ eine Einstufung von Aussagen auf deren Sicherheit
die Gegenwahrscheinlichkeit, -en $q=1-p$ die andere Wahrscheinlichkeit bei einem Experiment mit 2 Ergebnissen
die Anzahl der Experimente $n$ die Menge der hintereinander durchgeführten Versuche
die Pfadmultiplikationsregel, -n Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
die Pfadadditions­regel, -n Gehören zu einem Ereignis mehrere Pfade, werden die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert.


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