Winkelkonstruktion Parallelogramm

Mit der Angabe von Winkeln lassen sich viele geometrische Grundkonstruktionen lösen. Hier erfährst du wie dies funktioniert.

1 Geradenkreuzung
Geradenkreuzung

Schneiden sich zwei Geraden, bilden sie eine Geradenkreuzung. Zeichne zwei Geraden und messe alle vier Winkel an der Geradenkreuzung.

Beschreibe Ähnlichkeiten und Zusammenhänge.

Winkelsatz:
An einer Geradenkreuzung sind gegenüberliegende Winkel gleich groß. Benachbarte Winkel haben eine Summe von 180 °.

Übrigens: Benachbarte Winkel heißen auch Nebenwinkel und gegenüberliegende Winkel Scheitelwinkel.

2 Winkelsatz an geschnittenen Parallelen
geschnittenen Parallele

Zeichne zwei parallele Geraden und dazu eine weitere Gerade, welche diese beiden schneidet. Bestimme die Winkel und beschreibe Zusammenhänge und Ähnlichkeiten.

Winkelsatz
Werden zwei parallele Geraden a und b von einer weiteren Geraden g geschnitten, so sind Stufen- und Wechselwinkel gleich groß.

3 Parallelogramm
Paralleogramm

Zeichne ein Parallelogramm.

Bestimme die Winkel. Welche Eigenschaften haben diese?

In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß und benachbarte Winkel haben eine Summe von 180 °.

Außerdem gilt: Die Summe der Innenwinkel ist 360 ° und gegenüberliegende Seiten sind parallel.

4 Unterschied zwischen Definition und Satz

Mit einer Definition bestimmen wir ein Begriff. So haben wir beispielsweise festgelegt, dass ein Viereck mit gleichlangen Seiten und Innenwinkeln von 90 ° als Quadrat bezeichnet wird.

Einen Satz (auch Lehrsatz) hingegen können wir beweisen. Bei den meisten Regeln hier handelt es sich genau um solch einen Satz.

5 Winkelsumme von Drei- und Vierecken
Dreieck und Viereck mit Winkelangabe

Dreieck
Zeichne ein Dreieck, schneide es aus. Zerteile es in drei Teile und lege die Innenwinkel aneinander. In jedem Dreieck sind die drei Innenwinkel zusammen 180 ° groß.
$\alpha + \beta + \gamma =180\:°$

Viereck
In jedem Viereck sind die Innenwinkel zusammen 360 ° groß.
$\alpha + \beta + \gamma + \delta =360\:°$

Merke: Sind die Innenwinkel bekannt, lassen sich alle Außenwinkel berechnen, da an Geradenkreuzungen benachbarte Winkel immer eine Summe von 180 ° haben.

6 Gleichschenklige und Gleichseitige Dreiecke
gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten, hat eine Symmetrieachse und zwei gleiche Winkel.

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten und drei gleiche Winkel.

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Innenwinkel mit 90 °.

7 Mittel­senkrechte und Umkreis eines Drei­ecks
Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks

Eine Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf der Seite eines Dreiecks steht und die Seite in der Mitte schneidet.

In jedem Dreieck schneiden sich die Mittel­senkrechten in dem Punkt M, dem Mittelpunkt des Umkreises. Der Umkreis geht durch die drei Eckpunkte des Dreiecks.

8 Winkel­halbierende und Inkreis eines Drei­ecks
Konstruktion des Inkreises eines Dreiecks

Eine Winkel­halbierende ist eine Gerade die durch den Eckpunkt eines Dreiecks geht und den Innenwinkel halbiert.

In jedem Dreieck schneiden sich die Winkel­halbierenden in dem Punkt W, dem Mittelpunkt des Inkreises. Der Inkreis berührt das Dreieck an allen drei Seiten.

Ideen:
H. Griesel et al., "Elemente der Mathe­mathik", Band 3, Schroedel Verlag, 2006
Schüler Klasse 7 CDSC



Aufgabe 1 Winkel an Geraden­kreuzungen und geschnittenen Parallelen

Bestimme jeweils alle fehlenden Winkel.

  1. $\alpha_1=30\: ^\circ$
  2. $\delta_1=2\cdot \alpha_1$
  3. $\beta_1=4\cdot \alpha_1$
  4. $\gamma_2=\delta_2 + 40\: ^\circ$
Sparren

  1. $\alpha_1=30\: ^\circ = \gamma_1 = \alpha_2 = \gamma_2$
    $\beta_1=180-30\: ^\circ=150\: ^\circ = \delta_1 = \beta_2 =\delta_2$
  2. $\alpha_1+\delta_1=180\: ^\circ \:|\delta_1=2\cdot \alpha_1$
    $\alpha_1+2\alpha_1=180\: ^\circ$
    $\alpha_1=60\: ^\circ$
    $\delta_1=180-60\: ^\circ=120\: ^\circ$
  3. $\beta_1+\alpha_1=180\: ^\circ \:|\beta_1=4\cdot \alpha_1$
    $5\alpha_1=180\: ^\circ$
    $\alpha_1=36\: ^\circ$
    $\beta_1=180-36\: ^\circ=144\: ^\circ$
  4. $\delta_2+\gamma_2=180\: ^\circ\:|\gamma_2=\delta_2 + 40\: ^\circ$
    $\delta_2+\delta_2 + 40\: ^\circ=180\: ^\circ$
    $2\delta_2=140\: ^\circ$
    $\delta_2=70\: ^\circ$
    $\gamma_2=110\: ^\circ$

Aufgabe 2 Das Parallelogramm

Zeichne ein Parallelogramm mit dem Winkel $\alpha=40\:^\circ$.

  1. Benenne drei Winkeleigenschaften in einem Parallelogramm.
  2. Berechne die beiden benachbarten Winkel von $\alpha$.
  3. Bestimme den Winkel $\gamma$.
  4. Bestimme den Außenwinkel von $\gamma$.
  1. 1. Benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180 °.
    2. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
    3. Alle Innenwinkel haben eine Summe von 360 °.
  2. $\beta=\delta=180-40\:^\circ=140\:^\circ$
  3. $\gamma=\alpha=40\:^\circ$
  4. $\gamma'=360\:^\circ-40\:^\circ=320\:^\circ$

Aufgabe 3 Der fehlende Winkel

Berechne den dritten Innenwinkel der Dreiecke.


  1. $\alpha=20~^\circ, \beta = 70~^\circ$


  2. $\beta=120~^\circ, \gamma = 50~^\circ$


  3. $\gamma=10~^\circ, \alpha = 160~^\circ$


  1. $\alpha=56~^\circ, \beta = 32~^\circ$


  2. $\beta=12~^\circ, \gamma = 60~^\circ$


  3. $\gamma=60~^\circ, \alpha = 60~^\circ$


  1. $\alpha=120,5~^\circ, \beta = 13~^\circ$


  2. $\beta=126,5~^\circ, \gamma = 44,5~^\circ$


  3. $\gamma=21,3~^\circ, \alpha = 123,7~^\circ$


  1. $\alpha=20~^\circ, \beta = 70~^\circ, \gamma= 90~^\circ$


  2. $\beta=120~^\circ, \gamma = 50~^\circ, \alpha=10~^\circ$


  3. $\gamma=10~^\circ, \alpha = 160~^\circ, \beta=10~^\circ$


  1. $\alpha=56~^\circ, \beta = 32~^\circ, \gamma=92~^\circ$


  2. $\beta=12~^\circ, \gamma = 60~^\circ, \alpha=108~^\circ$


  3. $\gamma=60~^\circ, \alpha = 60~^\circ, \beta=60~^\circ$


  1. $\alpha=120,5~^\circ, \beta = 13~^\circ, \gamma= 46,5~^\circ$


  2. $\beta=126,5~^\circ, \gamma = 44,5~^\circ, \alpha=9~^\circ$


  3. $\gamma=21,3~^\circ, \alpha = 123,7~^\circ, \beta=35~^\circ$


Entspann dich erstmal ...


Wenn du die Quersumme von 360 ° bildest erhältst du 9. Halbierst du den Winkel und nimmst davon die Quersumme erhältst du wieder 9 u.s.w.

Aufgabe 4 Gleichschenklige und gleich­seitige Dreiecke

gleichschenkliges Dreieck

  1. Konstruiere das Dreieck mit $a=5~cm,~ b = 5~cm,~ \gamma = 90~^\circ$. Entscheide ob es sich um ein rechtwinkliges oder gleichschenkliges Dreieck handelt.
  2. Konstruiere das Dreieck mit $a=5~cm,~ b = 5~cm,~ \gamma = 45~^\circ$. Entscheide ob es sich um ein gleichseitiges oder gleichschenkliges Dreieck handelt.
  3. Konstruiere ein Dreieck mit $b=7~cm,~ c = 3~cm,~ \alpha = 90~^\circ$. Benenne die Form des Dreiecks.

Innenwinkel kleiner $90~^\circ$ werden als spitze Winkel und Innenwinkel größer $90~^\circ$ als stumpfe Winkel bezeichnet.

  1. Markiere bei den drei Dreiecken alle stumpfen Winkel.

  1. Dreieckskonstruktion

    Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig.

  2. Dreieckskonstruktion

    Das Dreieck ist gleichschenklig.

  3. Dreieckskonstruktion

  4. Da alle Innenwinkel kleiner oder gleich 90 ° sind gibt es keine stumpfen Winkel.

Aufgabe 5 Anwendungsaufgabe

Ein Flugzeug der Thai Airways hebt unter einem Winkel von 30 ° ab.

  1. Bestimme zeichnerisch die Höhe des Flugzeugs nach 400 m zurückgelegter Strecke, wenn es mit gleichbleibendem Winkel weiter fliegt. Hinweis: Wähle einen geeigneten Maßstab.
  2. Bestimme alle übrigen Innenwinkel des Dreiecks.
  3. Benenne die Form des Dreiecks und die Art der Innenwinkel.
Flugzeug

  1. Höhe des Flugzeugs nach 400 m zurückgelegter Strecke:

    Konstruktion der Höhe

    Das Flugzeug hat eine Höhe von 200 m.
  2. Innenwinkel des Dreiecks:
    $\alpha=30\:^\circ$
    $\gamma=90\:^\circ$
    $\beta=180-90-30=60\:^\circ$
  3. Form des Dreiecks: Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit 2 spitzen Winkeln.

Quiz 1 kahoot

kahoot

Spiele gegen deine Mitschüler und gewinne.

  Los gehts   

Aufgabe 6 Um- und Inkreis

Konstruiere den Um- und Inkreis des Dreiecks ABC. Gib den Mittelpunkt M und W sowie den Durchmesser an.

  1. A(1|1) - B(6|2) - C(3|5)
  2. A(1|3) - B(10|4) - C(6|8)
  3. A(0|1) - B(6|1) - C(2|5)
  4. A(0|1) - B(5|1) - C(3|3)
Dreieckskonstruktion

  1. In- und Umkreiskonstruktion
  2. In- und Umkreiskonstruktion
  3. In- und Umkreiskonstruktion
  4. In- und Umkreiskonstruktion

Aufgabe 7 Anwendungsaufgabe

Skizze Straßenkreuzung mit Hochhaus

Zwischen den drei Straßenkreuzungen A, B und C soll ein Hochhaus mit maximalem Durchmesser errichtet werden.

  1. Konstruiere den maximalen Durchmesser.
  2. Berechne den Durchmesser, wenn der Abstand zur Straße betragen muss.
  1. Konstruktion des maximalen Durchmesser (Inkreis):

    Konstruktion des Durchmessers

    Der maximale Durchmesser beträgt 170 m.
  2. Maximaler Durchmesser unter Berücksichtigung des Straßenabstandes:
    $d=170\:m-10\:m=160\:m$

Wortliste und Satzbausteine



der Winkel, ~ Ein Winkel gibt den Flächenanteil zwischen zwei Seiten eines Dreiecks an.
der Stufen­winkel, ~ ein gegen­über­liegende Winkel
der Neben­winkel, ~ ein benach­barter Winkel
das Paralle­logramm, -e ein Viereck bei dem die gegenüber­liegenden Seiten parallel sind
die Definition, -n Bestimmung eines Begriffs
der Satz, -"e eine beweisbare Rechenregel
der Winkel­satz Paralle­lo­gramm, -"e gegenüber­liegende Winkel sind gleich groß und die Nebenwinkel bilden eine Summe von 180 °
der Winkel­satz Drei­eck, -"e In jedem Dreieck sind die drei Innenwinkel zusammen 180 ° groß.
$\alpha + \beta + \gamma =180\:°$
der Winkel­satz Vier­eck, -"e In jedem Viereck sind die Innenwinkel zusammen 360 ° groß.
$\alpha + \beta + \gamma + \delta =360\:°$
ein gleich­seitiges Drei­eck ein Dreieck bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel 60 ° betragen
ein gleich­schenkliges Drei­eck ein Dreieck bei dem zwei Seiten gleich lang sind
ein recht­winkliges Drei­eck ein Dreieck mit einem Innenwinkel von 90 °
die Mittel­senkrechte, -n Eine Mittel­senkrechte ist eine Gerade, die senkrecht auf der Seite eines Dreiecks steht und die Seite in der Mitte schneidet.
der Umkreis, -e In jedem Dreieck schneiden sich die Mittel­senkrechten in einem Punkt, dem Mittel­punkt des Umkreises. Der Umkreis geht durch die drei Eckpunkte des Dreiecks.
die Winkel­halbierende, -n Eine Winkel­halbierende ist eine Gerade die durch den Eckpunkt eines Dreiecks geht und den Innen­winkel halbiert.
der Inkreis, -e In jedem Dreieck schneiden sich die Winkel­halbierenden in einem Punkt, dem Mittel­punkt des Inkreises. Der Inkreis berührt das Dreieck an allen drei Seiten.

© mylime.info