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Drehstrom komplex - Rechenvorschriften

Dreiphasenwechselstrom besteht aus drei gleichfrequenten Wechselspannungen mit identischer Amplitude und einer Phasenverschiebung von jeweils 120 Grad. Dieses sogenannte Dreiphasensystem zeichnet sich durch einen wirtschaftlichen Aufbau der Generatoren, der Übertragungsstrecke und der Verbraucherschaltungen aus.

Die Sternschaltung wird bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung eingesetzt. Die drei Strangströme ergeben geometrisch addiert den Neutralleiterstrom, welcher bei symmetrischer Last Null ist.

Strangspannungen:
$U_{1N}=230~V$, $U_{2N}=230~Ve^{-j120~°}$, $U_{3N}=230~Ve^{-j240~°}$

Außenleiterspannungen:
$\underline{U} = \sqrt{3}\cdot \underline{U}_{Str}$
$\underline{U}_{12}=\underline{U}_{1N}-\underline{U}_{2N},\quad $ $\underline{U}_{23}=\underline{U}_{2N}-\underline{U}_{3N},\quad $$ $$\underline{U}_{31}=\underline{U}_{3N}-\underline{U}_{1N}$

Ströme:
$\underline{I}=\underline{I}_{Str}$
$I_1=\frac{U_{1N}}{Z_1}$, $I_2=\frac{U_{2N}}{Z_2}$, $I_3=\frac{U_{3N}}{Z_3}$
$\underline{I}_{1}+\underline{I}_{2}+\underline{I}_{3}=\underline{I}_{N} $

Leistung:
$\underline{S}_{Str}=\underline{U}_{Str}\cdot \underline{I}_{Str}^*$

Umrechnen Exponentialform in kartesische Form:
$\underline{z}=|z|\cdot e^{j\varphi}=|z|\cos\varphi +j|z|\sin\varphi)=\text{Re}+j\text{Im}$

Umrechnen kartesische Form in Exponentialform:
$|z|=\sqrt{\text{Re}^2+\text{Im}^2}$
$\varphi=\arctan\left({\frac{\text{Im}}{\text{Re}}}\right)$
Merke: Bei negativen Realteil gilt: $\varphi=180~°-\arctan\left({\frac{\text{Im}}{\text{Re}}}\right)$

$\varphi$	$0~^°$	$-120~^°$	$-240~^°$
$\cos\varphi$	$1$	$-0,5$	$-0,5$
$\sin\varphi$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\arctan (..)$	$-\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\varphi$	$-60~^°$	$60~^°$	$30~^°$

Sowohl Ströme als auch Spannungen werden aufgrund der Phasenverschiebung komplex berechnet. Der Neutralleiter ist bei symmetrischer Belastung stromlos und darf weder gesichert noch geschaltet werden.

Aufgabe 1 Saunaofen

Ein Saunaofen mit 7,5 kW wird in Sternschaltung an das 230/400 V Netz angeschlossen. Jede Heizspirale ist gleich groß, so dass es sich um eine symmetrische Last handelt.

Berechne die Leistung, den Strom und den Widerstandswert einer jeden Heizspirale.
Berechne komplex die Summe der drei Strangspannungen.
Wie hoch ist die Außenleiterspannung U₂₃. Löse komplex.
Berechne komplex den Neutralleiterstrom.
Berechne komplex den Neutralleiterstrom, falls die Heizspirale 3 ausfällt.

Leistung: $P_{Str}=\frac{P_{ges}}{3}=2500~W$

Strom:
$I_1=(P_{Str}/U_{Str1})^*=(2500~W/230~V)^*=10,9~A$
$I_2=(P_{Str}/U_{Str1})^*=(2500~W/230~Ve^{-j120~°})^*=10,9~Ae^{-j120~°}$
$I_3=(P_{Str}/U_{Str1})^*=(2500~W/230~Ve^{-j240~°})^*=10,9~Ae^{-j240~°}$

Widerstand:
$Z_1=Z_2=Z_3=R=U_{Str}/I=230~V/10,9~A=(230~V)^2/2500~W=21,1~\Omega$
Summe der drei Strangspannungen:
$\underline{U}_{1N}+\underline{U}_{2N}+\underline{U}_{3N}$
$=230(1+j0)+230(-0,5-j\sqrt{3}/2)+230(-0,5+j\sqrt{3}/2)$
$=230-115-115+j(230\sqrt{3}/2-230\sqrt{3}/2)=0$
Außenleiterspannung:
$\underline{U}_{23}=\underline{U}_{2N}-\underline{U}_{3N}$
$=230~Ve^{-j120~°}-230~Ve^{-j240~°}$
$=230(-0,5-j\sqrt{3}/2)-230(-0,5+j\sqrt{3}/2)$
$=-115-j115\sqrt{3}+115-j115\sqrt{3}$
$=0-j230\sqrt{3}~V$
$=400~Ve^{-j90~°}$
Neutralleiterstrom
$\underline{I}_{N}=\underline{I}_1+\underline{I}_2+\underline{I}_3$
$=10,9~A+10,9~Ae^{-j120~°}+10,9~Ae^{-j240~°}$
$=10,9(1)+10,9(-0,5-j\sqrt{3}/2)+10,9(-0,5+j\sqrt{3}/2)$
$=10,9-5,45-5,45+j(0-5,45\sqrt{3}+5,45\sqrt{3})=0$
Neutralleiterstrom
$\underline{I}_{N}=\underline{I}_1+\underline{I}_2$
$=10,9~A+10,9~Ae^{-j120~°}$
$=10,9(1)+10,9(-0,5-j\sqrt{3}/2)$
$=10,9-5,45+j(0-5,45\sqrt{3})$
$=5,45-j5,45\sqrt{3}=10,9~Ae^{-j60~°}$

Aufgabe 2 Welche Aussage ist wahr?

Wähle die korrekten Aussagen aus.

Bestimme den Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Winkel von $z_1=4+3j$. Wähle eine Antwort.

$\text{Re}=3$, $\text{Im}=4$, $|Z|=25$, $\varphi = 45~^\circ$
$\text{Re}=4$, $\text{Im}=3$, $|Z|=5$, $\varphi = 36,87~^\circ$
$\text{Re}=4$, $\text{Im}=3$, $|Z|=5$, $\varphi = 63,78~^\circ$
$\text{Re}=4$, $\text{Im}=3$, $|Z|=3$, $\varphi = 36,87~^\circ$

Gegeben ist $z_1=4+3j$. Bestimme die Kurvenform, wenn der Zeiger kontinuierlich rotiert. Wähle eine Antwort.

Tangens
Sinus
Quadratisch
Linear

Geben Sie $z_1=4+3j$ in der Exponentialform an.
Wähle eine Antwort.

$-5\cdot e^{j36,87~°}$
$-5\cdot e^{-j36,87~°}$
$5\cdot e^{j36,87~°}$
$5\cdot e^{-j36,87~°}$

Bestimme die allg. Exponential und Komponentenform einer komplexen Zahl. Wähle eine Antwort.

$z=r\cdot e^{j\varphi}$, $z=r(\cos\varphi +j\sin\varphi)$
$z=\varphi \cdot e^{jr}$, $z=r(\cos\varphi +j\sin r)$
$z=r\cdot e^{j\varphi}$, $z=r\cos\varphi +j\sin\varphi$
$r=z\cdot e^{j\varphi}$, $z=r\cos\varphi +jr\sin \varphi$

Bestimme $z_1 \cdot z_2$, mit $z_1=4+3j$ und $z_2=4-3j$. Wähle eine Antwort.

$z=49$
$z=16-9j$
$z=\sqrt{3/2}$
$z=25$

Worauf muss bei der Winkelberechnung geachtet werden, falls der Realteil negativ ist? Wähle eine Antwort.

$\varphi=- 180~^{\circ}$
auf nichts
$\varphi=- 360~^{\circ}$
$\varphi= 90~^{\circ}$

Aufgabe 3 Der Herd

In einem 400 V-Drehstromnetz wird ein Herd unsymmetrisch belastet. Beim messen der drei Leiterströme ergeben sich folgende Werte:

$\underline{I}_1=4~A$
$\underline{I}_1=3~Ae^{-j120~°}$
$\underline{I}_1=2~Ae^{-j240~°}$

Berechne die Leistungsaufnahme in jedem Strang.
Ermittle komplex die Stromstärke im Neutralleiter.

Leistung:
$P_{Str1}=U_{Str}\cdot I_1^*=920~W$
$P_{Str2}=U_{Str}\cdot I_2^*=690~W$
$P_{Str3}=U_{Str}\cdot I_3^*=460~W$
Neutralleiterstrom:
$\underline{I}_{N}=\underline{I}_1+\underline{I}_2+\underline{I}_3$
$=4~A+3~Ae^{-j120~°}+2~Ae^{-j240~°}$
$=4(1)+3(-0,5-j\sqrt{3}/2)+2(-0,5+j\sqrt{3}/2)$
$=4-1,5-1+j(-3\sqrt{3}/2+2\sqrt{3}/2)$
$=1,5-j\sqrt{3}/2=\sqrt{3}~Ae^{-j30~°}$

Aufgabe 4 induktive und kapazitive Last

Ein Drehstromnetz wird mit einem Wirkwiderstand, einer Spule und einem Kondensator belastet. In den Leitern werden folgende Stromstärken gemessen:

I₁ = 30 A,

I_w2 = 16 A, I_bL2 = 36,7 A,

I_w3 = 27 A, I_bC3 = 13,1 A.

Ermittele komplex die Leiterströme.
Ermittele komplex die Stromstärke im Neutralleiter.

Außenleiterstrom:
$I_{1}=30~A$
$I_{2}=40,04~Ae^{j-66,44-120~°}=40,04~Ae^{-j186,44~°}$
$I_{3}=30,01~Ae^{j+25,88-240~°}=30,01~Ae^{-j214,12~°}$
Neutralleiterstrom:
$\underline{I}_{N}=\underline{I}_1+\underline{I}_2+\underline{I}_3$
$=30~A+40,04~Ae^{-j186,44~°}+30,01~Ae^{-j214,12~°}$
$=30+40,04(-0,994+j0,112)+30,01(-0,828+j0,561)$
$=30-39,8-24,848+j(4,484+16,836)=-34,648~A+j21,32~A$
$=40,68~Ae^{-211,58~°}$

Aufgabe 5 Ordne zu

Ordne die korrekte Antwort zu.

Gegeben ist $I_1=4~A$, $I_2=4~Ae^{-120~°}$, $I_3=2~Ae^{-240~°}$. Bestimme $I_N$. Wähle eine Antwort.

$I_N=4~A+j4~A$
$I_N=2~Ae^{-60~°}$
$I_N=4~Ae^{-120~°}$
$I_N=2~A-j2~A$

Gegeben ist $Z_2=4~\Omega+3j~\Omega$. Bestimme $I_2$. Wähle eine Antwort.

$I_2=46~A-j42~A$
$I_2=5~Ae^{36,87~°}$
$I_2=4~A+j3~A$
$I_2=46~Ae^{-60~°}$

Gegeben ist $I_1=4~A$, $I_2=2~Ae^{-120~°}$, $I_3=4~Ae^{-240~°}$. Bestimme $I_N$. Wähle eine Antwort.

$I_N=4~A+j4~A$
$I_N=2~Ae^{-60~°}$
$I_N=2~Ae^{-240~°}$
$I_N=2~A-j2~A$

Gegeben ist $Z_3=30~\Omega+40j~\Omega$. Bestimme $I_3$. Wähle eine Antwort.

$I_3=-4,57~A-j0,55~A$
$I_3=4,6~Ae^{36,87~°}$
$I_3=4,6~A+j3~A$
$I_3=46~Ae^{-60~°}$

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