komplexe Rechnung Zeigerbild

Wechselstrom komplex rechnen


Quellen:
H. Herrmann, Y. Hirschberg, S. Jensch, B. Höger Elektronikschule Tettnang
Ch. Knievel, M. Striebel, HTWG Konstanz

Wechselstromschaltungen können mitunter komplex sein. Mit Hilfe der komplexen Rechnung kann man aber auch kompliziertere Schaltkreise berechnen.

In diesem Artikel wird die komplexe Rechnung beschrieben. Die Übertragungsfunktion für einen Hochpass wird hergeleitet und daraus der Amplituden- und Phasengang mit der Kennkreisfrequenz berechnet.

Wechselstrom komplex - Rechenvorschriften



Zeigerdiagramm einer komplexen Zahl
Abb. 1.1: Zeigerdiagramm einer komplexen Zahl.

Aufgrund der Phasenverschiebung zwischen den elektrischen Größen, lassen sich die Größen der Wechselstromtechnik mit Hilfe der komplexen Rechnung bestimmen. Der Wirkanteil ist in der komplexen Rechnung der Realteil, der Blindanteil ist der Imaginärteil. Die komplexe Rechnung definiert hierfür:

$$j^2=-1 \Leftrightarrow j=\sqrt{-1}$$

Diese imaginären Werte werden dann auf der y-Achse, die realen Werte auf der x-Achse dargestellt. Abb. 1.1 zeigt die komplexe Zahl $\underline{z}$, welche sich in zwei Schreibweisen darstellen lässt.

Komponentenform (karthesische Form):

$\underline{z}=a+jb$

$\underline{z}$: komplexe Zahl
$a$: Realteil $\text{Re}$
$b$: Imaginärteil $\text{Im}$

Exponentialform (eulersche Form):

$\underline{z}=r\cdot e^{j\varphi}$

$\underline{z}$: komplexe Zahl
$r=|z|$: Betrag von $\underline{z}$
$\varphi$: Phase oder Phasennwinkel

Umrechnen Exponentialform in Komponentenform:
$\underline{z}=|z|\cdot e^{j\varphi}=|z|\cos\varphi +j|z|\sin\varphi)$
$\underline{z}=\text{Re}+j\text{Im}$

Umrechnen Komponentenform in Exponentialform:
$|z|=\sqrt{\text{Re}^2+\text{Im}^2}$
$\varphi=\arctan\left({\frac{\text{Im}}{\text{Re}}}\right)$
Merke: Bei negativen Realteil gilt: $\varphi=180~°-\arctan\left({\frac{\text{Im}}{\text{Re}}}\right)$

$\varphi$ $0~^°$ $30~^°$ $45~^°$ $60~^°$
$\cos\varphi$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$
$\sin\varphi$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\arctan (..)$ $\frac{4}{3}$ $1$ $\frac{3}{4}$ $\frac{2}{5}$
$\varphi$ $53,13~^°$ $45~^°$ $36,87~^°$ $21,80~^°$

Aufgabe 1 komplexe Zahlen

Gegeben sind die komplexen Zahlen $\underline{z}_1$ - $\underline{z}_4$.

  1. Stellen Sie die komplexen Zahlen in Komponenten- und Exponentenform dar.
  2. Zeichnen Sie $\underline{z}_1$, $\underline{z}_2$, $\underline{z}_3$, $\underline{z}_4$.
  3. Bestimmen Sie $\underline{z}_5=\underline{z}_1+\underline{z}_2$ rechnerisch und graphisch.
  4. Bestimmen Sie $\underline{z}_6=\underline{z}_3-\underline{z}_4$ rechnerisch und graphisch.
  5. Bestimmen Sie $\underline{z}_7=\underline{z}_1/-j$. Beschreiben Sie den Winkel zwischen $\underline{z}_1$ und $\underline{z}_7$.
$$\underline{z}_1=5\cdot e^{j30^°}$$ $$\underline{z}_2=3\cdot e^{-j60°}$$ $$\underline{z}_3=-3+j4$$ $$\underline{z}_4=-5-j2$$

  1. Komponenten- und Exponentenform:
    $\underline{z}_1=5\cdot e^{j30^°}=4,33+j2,5$
    $\underline{z}_2=3\cdot e^{-j60°}=2-j-3,46$
    $\underline{z}_3=-3+j4=5\cdot e^{j128,7°}$
    $\underline{z}_4=-5-j2=\sqrt{29}\cdot e^{-j158,2°}$

  2. Zeigerbild:

    Zeigerdiagramm

  3. Zeigeraddition:
    $\underline{z}_5=\underline{z}_1+\underline{z}_2=6.33-j0,96$

  4. Zeigersubtraktion:
    $\underline{z}_6=\underline{z}_3-\underline{z}_4=2+j6$

  5. Zeigerdivision:
    $\underline{z}_7=\underline{z}_1/(-j)=-2,5+j4,33$
    Der Zeiger $\underline{z}_7$ eilt dem Zeiger $\underline{z}_1$ um 90° voraus.

Aufgabe 2 Welche Aussage ist wahr?

Wähle die korrekten Aussagen aus.

Bestimme den Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Winkel von $z_1=4+3j$. Wähle eine Antwort.

  1. $\text{Re}=3$, $\text{Im}=4$, $|Z|=25$, $\varphi = 45~^\circ$
  2. $\text{Re}=4$, $\text{Im}=3$, $|Z|=5$, $\varphi = 36,87~^\circ$
  3. $\text{Re}=4$, $\text{Im}=3$, $|Z|=5$, $\varphi = 63,78~^\circ$
  4. $\text{Re}=4$, $\text{Im}=3$, $|Z|=3$, $\varphi = 36,87~^\circ$


Gegeben ist $z_1=4+3j$. Bestimme die Kurvenform, wenn der Zeiger kontinuierlich rotiert. Wähle eine Antwort.

  1. Tangens
  2. Sinus
  3. Quadratisch
  4. Linear



Geben Sie $z_1=4+3j$ in der Exponentialform an.
Wähle eine Antwort.

  1. $-5\cdot e^{j36,87~°}$
  2. $-5\cdot e^{-j36,87~°}$
  3. $5\cdot e^{j36,87~°}$
  4. $5\cdot e^{-j36,87~°}$


Bestimme die allg. Exponen­tial und Kompo­nenten­form einer komplexen Zahl. Wähle eine Antwort.

  1. $z=r\cdot e^{j\varphi}$, $z=r(\cos\varphi +j\sin\varphi)$
  2. $z=\varphi \cdot e^{jr}$, $z=r(\cos\varphi +j\sin r)$
  3. $z=r\cdot e^{j\varphi}$, $z=r\cos\varphi +j\sin\varphi$
  4. $r=z\cdot e^{j\varphi}$, $z=r\cos\varphi +jr\sin \varphi$


Bestimme $z_1 \cdot z_2$, mit $z_1=4+3j$ und $z_2=4-3j$. Wähle eine Antwort.

  1. $z=49$
  2. $z=16-9j$
  3. $z=\sqrt{3/2}$
  4. $z=25$


Worauf muss bei der Winkelberechnung geachtet werden, falls der Realteil negativ ist? Wähle eine Antwort.

  1. $\varphi - 180~^{\circ}$
  2. auf nichts
  3. $\varphi - 360~^{\circ}$
  4. $\varphi + 90~^{\circ}$



Entspann dich erstmal ...



Der Lehrer führt die komplexe Rechnung ein und fragt seine Schülerinnen und Schüler wer denn schon komplex gerechnet hätte. Zwei Schüler strecken die Hand und erhalten andächtige Anerkennung. Darauf hin Lars: "Ist rechnen nicht immer komplex?"

Übertragungsfunktion - RC-Hochpass



Schaltung RC-Hochpass
Abb. 2.1: Schaltbild eines RC-Hochpasses.

In Abb. 2.1 wird der Schaltplan einer RC-Schaltung als Vierpol dargestellt. Das Verhältnis von Ein- zu Ausgangsspannung wird als Übertragungsfunktion $\underline{H}(\omega)$ bezeichnet. Die Übertragungsfunktion (auch Frequenzgang) beinhaltet den Betrag des Spannungsverhältnisses und den Phasenwinkel in Abhängigkeit der Frequenz. Für den RC-Hochpass kann die Übertragungsfunktion wie folgt hergeleitet werden:

$\underline{H}(\omega)=\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1}=\frac{R}{R-jX_C}=\frac{1}{\frac{R-jX_C}{R}}$

$$\underline{H}(\omega)=\frac{1}{1-j\frac{1}{\omega RC}}$$
Amplitudengang und 3dB-Kennkreisfrequenz

Betrachtet man den Betrag, also ohne Berücksichtigung der Phasenverschiebung, erhält man den Amplitudengang $|H(\omega)|$:

$|H(\omega)|=\frac{U_2}{U_1}=\frac{R}{Z}=\frac{1}{\frac{Z}{R}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{R^2+X_C^2}}{\sqrt{R^2}}}$

$$|H(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{ 1+\frac{1}{\left(\omega RC\right)^2}}}$$

Für $R=X_C$ gilt:
$|H(\omega)|=\frac{U_2}{U_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=0,707$
Da dieser Wert 3dB entspricht, spricht man von der 3dB-Kennkreis­frequenz: Die Ausgangsspannung beträgt 70,7 % der Eingangsspannung. Stellt man diese Gleichung nach $\omega$ um erhält man mit $\omega_{3dB}RC=1$:

$$\omega_{3dB}=\frac{1}{RC}$$
$\omega$ $0$ $1/(RC)$ $\infty$
$|H(\omega)|$ $0$ $0,707$ $1$
Phasenwinkel zwischen Ein- und Ausgangsspannung

Zur Bestimmung des Phasenwinkels muss man von der Übertragungsfunktion den Real- und Imaginärteil ermitteln. Hierzu erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Teil:
$\underline{H}(\omega)=\frac{1}{1-j\frac{1}{\omega RC}}=\frac{1+j\frac{1}{\omega RC}}{1+\frac{1}{\left(\omega RC\right)^2}}$
$\underline{H}(\omega)=\frac{1}{1+\frac{1}{\left(\omega RC\right)^2}}+j\frac{\frac{1}{\omega RC}}{1+\frac{1}{\left(\omega RC\right)^2}}$
$\underline{H}(\omega)=\arctan\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right)$

$$\varphi(\omega)=\arctan\left(\frac{1}{\omega RC}\right)$$

$\omega$ $0$ $1/(RC)$ $\infty$
$\arctan (..)$ $\infty$ $1$ $0$
$\varphi$ $90~^°$ $45~^°$ $0~^°$

Die Ausgangsspannung eilt der Eingangsspannung voraus, da der Winkel positiv ist.

Aufgabe 3 RC-Tiefpass Übertragungs­funktion

Schaltung RC-Tiefpass
Abb. 3.1: Schaltbild eines RC-Tiefpasses.

Ein RC-Tiefpass ist zu untersuchen. Der Widerstand beträgt $R=100~k\Omega$ und die Kapazität $C=10~\mu F$.

  1. Zeigen Sie, dass die Übertragungsfunktion $\underline{H}(\omega)=\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1}=\frac{1}{1+j\omega RC}$ ist.
  2. Leiten Sie die Formel für den Amplitudengang her.
  3. Leiten Sie die Formel für die 3dB-Kennkreisfrequenz her und berechnen Sie diese.
  4. Berechnen Sie den Amplitudengang und den Phasenwinkel für folgende Werte:
    $\omega$ in 1/s $0,1$ $1$ $10$ $100$ $1k$
    $|H(\omega)|$
    $\varphi$
  5. Zeichnen Sie den Amplitudengang und den Phasenwinkel in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz.

  1. Übertragungsfunktion:
    $\underline{H}(\omega)=\frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1}=\frac{1}{1+j\omega RC}$

  2. Amplitudengang:
    $|H(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{ 1+\left(\omega RC\right)^2}}$

  3. 3dB-Kennkreisfrequenz:
    $\omega_{3dB}=\frac{1}{RC}=10~1/s$

  4. Wertetabelle:
    $\omega$ in 1/s $0,1$ $1$ $10$ .. $1k$
    $|H(\omega)|$ 1 0,707 0
    $\varphi$ 0 -45 ° -90
  5. Amplituden- und Phasengang:
    Amplitudengang Tiefpass Phasengang Tiefpass