Linienendiagramm AC

Reihenschaltung | AC


Ideen:
M. Schmid, J. Schwarz, Elektronikschule Tettnang
J. Grehn, J. Krause, "Metzler-Physik", Schroedel Verlag, 2002


In der Reihenschaltung gilt, dass die Gesamtspannung gleich der Summe der Teilspannungen ist. Aufgrund der Phasenverschiebung zwischen Blind- und Wirkspannung müssen diese geometrisch addiert werden.

Da in der Reihenschaltung die Widerstände sich wie die Spannungen verhalten und ebenso die Leistungen, gilt auch für diese die geometrische Addition.

Auf dieser Seite werden die Grundlagen zur AC-Reihenschaltung erklärt, Aufgaben vorgestellt und der Rechenweg erklärt. Darüberhinaus werden alle relevanten Formeln aufgelistet.

RC-Reihenschaltung - RC series circuit



RC-Reihenschaltung

Die Wirkspannung $U_{W}$ wird geometrisch mit der kapazitiven Blindspannung $U_{bC}$ addiert, um die Gesamtspannung $U$ zu erhalten. Da der Strom in der Reihenschaltung konstant ist, dient er als Bezugsgröße. Er ist in Phase mit $U_W$.

Zwischen der Wirkspannung und der kapazitiven Blindspannung tritt somit eine Phasenverschiebung auf:

$$\varphi = -90\:^\circ$$

Die Zeiger $U_W$ und $U_{bC}$ werden addiert, in dem sie aneinander gehängt werden. Dabei bleibt die Phasenverschiebung $\varphi = -90\:^\circ$ immer bestehen.

Aufgrund des rechten Winkels können die Berechnungen auf Basis rechtwinkliger Dreiecke durchgeführt werden:

$U=\sqrt{U_W^2+U_{b}^2}$

$U_W=U\cdot cos\varphi$

$U_{b}=U\cdot sin\varphi$

Zeigerdiagramm

RL-Reihenschaltung - RL series circuit



RL-Reihenschaltung

Die Wirkspannung $U_{W}$ wird geometrisch mit der induktiven Blindspannung $U_{bL}$ addiert, um die Gesamtspannung $U$ zu erhalten. Auch hier dient der Strom als Bezugsgröße. Er ist in Phase mit $U_W$.

Zwischen der Wirkspannung und der induktiven Blindspannung tritt eine Phasenverschiebung auf:

$$\varphi = +90\:^\circ$$

Die Addition der Zeiger $U_W$ und $U_{bL}$ funktioniert genauso wie bei der RC-Reihenschaltung, nur dass die Phasenverschiebung $\varphi = -90\:^\circ$ beträgt.

Da in der Reihenschaltung die Widerstände sich wie die Spannungen verhalten, werden auch diese geometrisch addiert. Die Berechnung erfolgt analog:

$Z=U/I=\sqrt{R^2+X^2}$

$R=U_W/I=Z\cdot cos\varphi$

$X=U_{b}/I=Z\cdot sin\varphi$

Zeigerdiagramm der Widerstände

Blindleistung - reactive power



Liniendiagram Blindleistung

Die Blindleistung hat keinerlei Einfluss auf die Leistungsaufnahme der Last. Alle 5 ms (positive Leistung) verbraucht die Last Leistung, die nächsten 5 ms (negative Leistung) generiertdie Last Leistung und sendet sie zurück zum Erzeuger (dem Kraftwerk).

Nichts desto trotz muss der Energieerzeuger die Leistung bereitstellen und diese Leistung führt zueiner zusätzlichen Last auf den Übertragungsleitungen. Dabei kommt es zur Wärmeerzeugung der Übertragungsleitungen (Verluste).

Aus diesem einfachen Grund haben die Energieversorgungsunternehmen keinerlei Interesse an Blindleistung und lassen sich diese bezahlen, wenn man sie nicht kompensiert.

In der Reihenschaltung verhalten sich neben den Widerständen auch die Leistungen wie die Spannungen. Aufgrund des rechten Winkels können die Berechnungen ebenso auf Basis rechtwinkliger Dreiecke durchgeführt werden:

$S=U\cdot I=\sqrt{P^2+Q^2}$

$P=U_W\cdot I=S\cdot cos\varphi$

$Q_C=U_{b}\cdot I=S\cdot sin\varphi$

Aufgabe 1 RC Schaltkreis

RC-Schaltkreis

In einer Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand, wird UW = 5,21 V und UbC = 3,22 V. Der Widerstand beträgt R = 220 Ω und die Frequenz f = 250 Hz.

  1. Konstruiere und berechne die Gesamtspannung U.
  2. Konstruiere und berechne den Phasenverschiebungswinkel φ.
  3. Bestimme den Strom $I$ und den Scheinwiderstand Z.
  4. Berechne den Blindwiderstand XC und die zugehörige Kapazität C.
  5. Berechne die Wirkleistung P, die Blindleistung Q und die Scheinleistung S.
  1. Spannung $U=\sqrt{U_W^2+U_{bC}^2}=6,12\:V$
    zeigerdiagramm
  2. Phasenverschiebung $\varphi=32,97\:°$
  3. Strom $I=\frac{U_W}{R}=23,7\:mA$
    Scheinwiderstand $Z=\frac{U}{I}=258,23\:\Omega$
  4. Blindwiderstand $X_C=\frac{U_{bC}}{I}=135,9\:\Omega$
    Kapazität $C=\frac{1}{2\pi f X_C}=4,68\:\mu F$
  5. Wirkleistung $P=123,5\:mW$
    Blindleistung $Q=76,3\:mW$
    Scheinleistung $S=145\:mW$

Aufgabe 2 Welche Aussage ist wahr?

Finde die korrekten Antworten.

RC-Schaltkreis

Nenne die Bedeutung des englischen Begriffs "reactance".
Wähle eine Antwort.

  1. der Blindwiderstand
  2. der Kondensator
  3. der Wert des Blindwiderstands
  4. der Scheinwiderstand



RC-Reihenschaltung: UW = 3 V und UbC = 4 V. Bestimme U.
Wähle eine Antwort.

  1. 7 V
  2. 5 V
  3. 9 V
  4. 16 V


RC-Reihenschaltung: UW = 7 V und UbC = 2 V. Bestimme U.
Wähle eine Antwort.

  1. 2,27 V
  2. 4,91 V
  3. 7,28 V
  4. feiner Sand



Liniendiagramm Leistung

Die Abbildung zeigt das Liniendiagramm der Blindleistung. Blindleistung verursacht...
Wähle eine Antwort.

  1. Wärmeverluste auf der Übertragungsstrecke.
  2. keinerlei Wärmeverluste.
  3. Wärmeverluste am Verbraucher.
  4. Blindheit beim Endkunden.


RC-Reihenschaltung:UW = 4 V und UbC = 3 V, R = 1000 Ω, f = 100 Hz. Bestimme Z.
Wähle eine Antwort.

  1. 250 Ω
  2. 500 Ω
  3. 750 Ω
  4. 1250 Ω


RC-Reihenschaltung:UW = 4 V und UbC = 3 V, R = 1000 Ω, f = 100 Hz. Bestimme XC.
Wähle eine Antwort.

  1. 500 Ω
  2. 750 Ω
  3. 1000 Ω
  4. 1250 Ω

Aufgabe 3 RL Schaltkreis

In einer Reihenschaltung von Spule und Widerstand sind folgende Werte bekannt: L = 550 mH, f = 50 Hz, U = 230 V and R = 470 Ω.

  1. Berechne den Blindwiderstand XL,
  2. Konstruiere den Scheinwiderstand Z und die Phasenverschiebung φ.
  3. Berechne den Scheinwiderstand Z und die Phasenverschiebung φ.
  4. Berechne den Strom I.
  5. Berechne die Wirkspannung UW und die Blindspannung UbC.
  6. Berechne die Wirkleistung P, die Blindleistung Q und die Scheinleistung S.
RL-Schaltkreis

  1. Blindwiderstand: $X_L=172,8\:\Omega$
  2. Scheinwiderstand $Z$ and Phasenverschiebung $\varphi$
    Zeigerdiagram der Widerstände
  3. Scheinwiderstand $Z= 500\:\Omega$ und Phasenverschiebung $\varphi=20.2\:°$
  4. Strom $I=V/Z=459\:mA$
  5. Wirkspannung $U_W=215\:V$ und Blindspannung $U_bC=79,4\:V$
  6. Wirkleistung $P=98,2\:W$, Blindleistung $Q=36,5\:W$ und Scheinleistung $S=105,7\:W$

Entspann dich erstmal ...



Hier wird die Effizienz von Resonanz gezeigt.

RLC-Reihenschaltung - RLC series circuit



RLC-Reihenschaltung

Die Wirkspannung $U_{W}$ wird geometrisch mit der kapazitiven Blindspannung $U_{bC}$ und $U_{bL}$ addiert, um die Gesamtspannung $U$ zu erhalten. Da der Strom in der Reihenschaltung konstant ist, dient er als Bezugsgröße. Er ist in Phase mit $U_W$.

Zwischen der Wirkspannung und den Blindspannungen tritt eine Phasenverschiebung von $\varphi = 90\:^\circ$ auf, zwischen der kapazitiven und induktiven Blindspannung eine Phasenverschiebung von $\varphi = 180\:^\circ$.

Die Zeiger $U_W$ und $U_{bC}$ werden addiert, in dem sie aneinander gehängt werden. Man beachte, dass $U_{bC}$ und $U_{bL}$ aufgrund der Phasenverschiebung $\varphi = 180\:^\circ$ subtrahiert werden, indem die beiden Spitzen aneinander gehängt werden.

$U_W=U\cdot cos\varphi$

$U_{b}=\left|U_{bL}-U_{bC}\right|=U\cdot sin\varphi$

$U=\sqrt{U_W^2+U_{b}^2}$

Zeigerdiagramm

RLC-Schwingkreis - resonant circuit



RLC-Schwingkreis

Bei Resonanz sind in einem RLC-Schwingkreis die beiden Blindwiderstände gleich groß, $X_L=X_C$.

$$f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}}$$

Einmal geladen, wird der Kondensator ständig ge- und entladen. Während der Entladung ändert sich der Strom, welcher in der Spule ein Magnetfeld aufbaut. Solange der Stromfluss positiv ist, baut sich das Magnetfeld auf und die Spannung $U_{bC}$ fällt. Nach vollständiger Entladung des Kondensators ist die gesamte Energie im Magnetischen Feld gespeichert.

Wenn das magnetische Feld zusammenbricht, lädt die induzierte Spannung wieder den Kondensator. Solange der Stromfluss negativ ist, wird der Kondensator geladen und $U_{bC}$ steigt. Die Energie wird nun im elektrischen Feld gespeichert.

$$\frac{1}{2}LI_{max}^2=\frac{1}{2}CU_{max}^2$$
Energie RLC-Schwingkreis

Aufgabe 4 RLC-Schaltkreis

In der Schaltung beträgt R = 2 kΩ, XL = 3 kΩ, XC = 4 kΩ, der Strom I = 2 mA und die Frequenz f = 50 Hz.

  1. Bestimme zeichnerisch und rechnerisch den Scheinwiderstand Z und die Phasenverschiebung φ.
  2. Berechne die Spannungen U, UbC, UbL and Ub.
  3. Bestimme die Induktivität L und Kapazität C.
RLC-Reihenschaltung
  1. Reaktanz $X=1\:k\Omega$,
    Impedanz $Z=2.24\:k\Omega$
    Phasenverschiebung $\varphi = 26,56\:°$
    Zeigerdiagramm
  2. Spannung $U=Z\cdot I= 4,48\:V$
    Wirkspannung $U_R=4\:V$,
    induktive Spannung $U_{XL}=6\:V$,
    kapazitive Spannung $U_{XC}=8\:V$,
  3. Induktivität $L=9,5492\:H$
    Kapazität $C=7,9\cdot 10^{-7}\:F$

Aufgabe 5 RLC-Reihenschaltung

RLC-Schaltung

In der Schaltung beträgt R = 250 Ω, L = 191 mH, die Spannung U = 10 V und die Frequenz f = 500 Hz.

  1. Berechne den Strom I wenn des Spannungsfall über Widerstand und induktiven Blindwiderstand 5 V beträgt.
  2. Bestimme die kapazitive Blindspannung UbC und die Kapazität C.
  3. Bestimme die Frequenz f so, dass der Strom maximal wird. Berechne die resultierende Spannung am Wirkwiderstand und induktiven Blindwiderstand.
  4. Bestimme die Spannung an der Spule für eine Frequenz f → ∞ and f → 0?
  1. Induktiver Blindwiderstand $X_L=600\:\Omega$,
    Impedanz $Z_{RX_L}=650\:\Omega$,
    Strom $I=\frac{5\:V}{650\:\Omega}=7,69 mA$.
  2. Wirkspannung $U_W=1,925\:V$,
    induktive Blindspannung $U_{bL}=4,62\:V$,
    kapazitive Blindspannung $U_{bC}=\sqrt{U-U_W^2}+U_{bL}=14,43\:V$,
    kapazitiver Blindwiderstand $X_C=1874,3\:\Omega$,
    Kapazität $C=169,83\:nF$.
  3. Resonanzfrequenz $f_R=883,24\:Hz$,
    Wirkspannung $U_W=U=10\:V$,
    Strom $I=40\:mA$,
    induktive Blindspannung $U_{bL}=42,4\:V$,
    Spannungsfall über Widerstand und induktiven Blindwiderstand $U_{RX_L}=43,56\:V$.
  4. induktive Spannung für f → ∞: $U_{bL}=10\:V$,
    induktive Spannung für f → 0: $U_{bL}=0\:V$.

Aufgabe 6 RLC-Schwingkreis

In einem RLC-Schwingkreis wird der Kondensator geladen und dann der Stromkreis geschlossen. Die Resonanzfrequenz beträgt 1 Hz und die Induktivität 3,37 H. Die maximale Spannung beträgt is 1,48 V.

  1. Beschreibe den Energietransfer zwischen Induktivität und Kapazität.
  2. Zeichne das Lininendiagramm für UbC und Strom I.
  3. Berechne die Kapazität C.
  4. Berechne den maximalen Strom im Schwingkreis
  5. Berechne die neue Resonanzfrequenz, wenn die Kondensatorfläche halbiert wird.
  6. Beschreibe wieso bei Resonanz die Blindspannung höher sein kann als die angelegte Spannung.
Spannungs- und Stromresonanz
  1. Energietransfer:
    Einmal geladen, wird der Kondensator ständig entladen und wieder geladen. Während der Entladung ändert sich der Strom in der Spule wodurch ein magnetisches Feld aufgebaut wird. So lange der Strom positiv ist, wird das Magnetfeld aufgebaut und die kapazitive Blindspannung $U_{bC}$ fällt. Sobald der Kondensator entladen ist, ist die gesamte Energie im magnetischen Feld gespeichert.
    Wenn das Magnetfeld zusammenbricht, wird eine Spannung induziert, welche den Kondensator lädt. Solange der Strom negativ ist, wird der Kondensator geladen und die kapazitive Blindspannung $U_{bC}$ steigt. Die Energie wird im elektrischen Feld gespeichert. $$\frac{1}{2}LI_{max}^2=\frac{1}{2}CU_{max}^2$$
  2. Liniendiagramm für UbC und Strom I
    Spannungs- und Stromrliniendiagramm
  3. Kapazität $C = \frac{1}{4\pi^2 f_r^2L} = 7,52\:mF$
  4. gespeicherte Energie: $\frac{1}{2}LI_{max}^2=\frac{1}{2}CU_{max}^2$
    Maximalstrom: $I_{max}=\sqrt{\frac{C}{L}}\cdot U_{max}=0,07\:A$
  5. Kapazität: $C=7,52/2=3,76\:mF$,
    Resonanzfrequenz: $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = 1,425\:Hz$
  6. Da der Resonanzstrom nur durch die angelegte Spannung und Wirkwiderstand bestimmt wird, aber der Blindwiderstand durch Kapazität und Induktivität sowie Frequenz, erhöht sich die Blindspannung mit dem Strom.

Englische und deutsche Wörter



real power $P$ Wirkleistung $P$
reactive power $Q$ Blindleistung $Q$
apparent power $S$ Scheinleistung $S$
power factor $cos \varphi$ Wirkleistungsfaktor $cos \varphi$
reactive factor $sin \varphi$ Blindleistungsfaktor $sin \varphi$
real voltage $V_R$ Wirkspannung $U_W$
reactive voltage $V_X$ Blindspannung $U_b$
apparent voltage $V$ Scheinspannung $U$
resistance $R$ ohmscher Widerstand $R$
capcitive reactance $X_C$ kapazitiver Blindwiderstand $X_{bC}$
inductive reactance $X_L$ induktiver Blindwiderstand $X_{bL}$
impedance $Z$ Scheinwiderstand $Z$