Spielfiguren in Reih und Glied

Reihen- und Parallelschaltung


Ideen:
J. Schwarz Elektronikschule Tettnang, 2006


In einem Stromkreis befinden sich oft mehrere Verbraucher. Sie wer­den entweder in Reihe hintereinander oder parallel geschaltet.

Hier wird die Funktionsweise der Reihen- und Parallelschaltung in der Elektrotechnik erklärt. Begriffe wie Gesamtspannung, Gesamtwiderstand und Gesamtstrom sowie Verhältnisse aus Widerstand, Spannung und Strom werden erklärt.

Die Reihen­schaltung und Parallel­schaltung



Lichterkette

In der Reihenschaltung werden die Verbraucher in Reihe hintereinander geschaltet, wie bei einer Lichterkette. Fällt ein Verbraucher aus, fließt durch keinen mehr Strom. In der Parallelschaltung hingegen, werden die Verbraucher nebeneinander angeschlossen. Fällt hier ein Verbraucher aus funktionieren die anderen noch.

Nun könnte man ja meinen, dass in diesem Fall die Reihenschaltung gar kein Sinn mehr macht. Dem ist aber nicht so. In diesem kurzen Tutorial erfahrt ihr wieso. Ausserdem werden die verschiedenen mathematischen Zusammenhänge zwischen den elektrischen Größen erklärt.

Die Reihenschaltung



Der deutsche Physiker Gustav Kirchhoff untersuchte die Schaltung genauer und fand heraus, dass der Strom in der gesamten Schaltung konstant ist,

$$I=konstant$$

die Gesamtspannung ist die Summe der Teilspannungen,

$$U=U_1+U_2$$

der Gesamtwiderstand ist die Summe der Einzelwiderstände.

$$R=R_1+R_2$$

So lassen sich, bei geringen Materialverbrauch, Leuchtmittel hintereinander schalten.

Reihenschaltung von zwei Widerständen

Die Maschenregel - Kirchhoff 2



Maschenregel

Er verallgemeinerte das Summengesetz der Spannungen zur Maschenregel:
Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich Null. $$\Sigma U=0$$

Weiter stellte er einen wichtigen Zusammenhang zwischen Widerständen und Spannungen her:
Die Widerstände verhalten sich wie die Spannungen. $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{U_1}{U_2},~\frac{R}{R_1}=\frac{U}{U_1}$$

Aufgabe 1 Reihen­schaltung

Eine Lichterkette aus 24 in Reihe geschalteten Leuchtmitteln gleicher Leistung liegt an einer Spannung von 230 V.

  1. Welche Spannung liegt an jedem Leuchtmittel?

Für 4 durchgebrannte Leuchtmittel werden Drahtbrücken eingelegt.

  1. Um wie viel % erhöht sich die Spannung an jedem Leuchtmittel?
  2. Wie hoch ist der Spannungsfall an einem durchgebrannten Leuchtmittel ohne Drahtbrücke?
  3. Bewerte: Ist es gefährlich eine Drahtbrücke unter Spannung einzusetzen?
Lichterkette
  1. $U_1=9,58~V$

  2. $U_1=11,5~V,~~~20,04~\%$

  3. $U_1=230~V$


Aufgabe 2

Reihenschaltung

Zwei Widerstände sind in Reihe an U0 = 24 V geschaltet. Es fließt ein Strom von 120 mA. Berechne

  1. den Gesamtwiderstand R,
  2. den Widerstand R1, wenn der Spannungsfall hier 7 V betragen soll.
  1. $R=\frac{U}{I}=\frac{24~V}{120~mA}=200~\Omega$

  2. $R_1=R\cdot\frac{U_1}{U}=58,33~\Omega$


Die Parallelschaltung



Gustav Kirchhoff, der übrigens 1824 geboren wurde, untersuchte auch die Parallelschaltung. Hier zeigte er, dass die Spannung in der gesamten Schaltung konstant ist,

$$U=konstant$$

der Gesamtstrom in einem Punkt sich aus der Summe der Teilströme zusammensetzt,

$$I=I_1+I_2$$

und der Gesamtwiderstand sich über dessen Kehrwert bestimmen lässt.

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$
Parallelschaltung von zwei Widereständen

Knotenregel - Kirch­hoff 1



Maschenregel

Er verallgemeinerte das Summengesetz der Ströme zur Knotenregel:
Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich Null.

$$\Sigma I=0$$

Auch hier stellte er einen wichtigen Zusammenhang zwischen Widerständen und Strömen her:
Die Widerstände verhalten sich umgekehrt wie die Ströme.

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{I_2}{I_1},~\frac{R}{R_1}=\frac{I_1}{I}$$

Aufgabe 3 Parallelschaltung

Parallelschaltung

Drei Widerstände R1 = 10 kΩ, R2 = 7 kΩ und R3 = 15 kΩ sind parallel geschaltet. Der Strom beträgt I = 3,71 mA.

  1. Berechne den Ersatzwiderstand der Schaltung.
  2. Wie groß sind die Teilströme I1, I2 und I3? Rechne über das Verhältnis.
  3. Berechne den Gesamtstrom I, wenn R3 ausfällt?
  1. $R=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}=3230,77~\Omega$

  2. $I_1=I\cdot\frac{R}{R_1}=1,20~mA$

    $I_2=I\cdot\frac{R}{R_2}=1,71~mA$

    $I_3=I\cdot\frac{R}{R_3}=0,798~mA$

  3. $I=I_1+I_2=2,91~mA$


Aufgabe 4 Gemischte Schaltung

Durch die gemischte Schaltung fließt der Strom I2 = 75 mA und I3 = 25 mA. Der Widerstand R1 beträgt 2,2 kΩ, R2 beträgt 1 kΩ.

  1. Berechne R3.
  2. Berechne den Ersatzwiderstand.
  3. Wie groß ist die Spannung U?
Gemischte Schaltung

Lösungshinweise:

  1. $\frac{R_3}{R_2}=\frac{I_2}{I_3}$

  2. $R=R_1+\frac{1}{\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}$

  3. $U=R\cdot (I_2+I_3)$


Aufgabe 5 Welche Aussage ist wahr?

Wähle die korrekten Aussagen zur gegebenen Schaltung aus.

gemischte Schaltung

Nenne die beiden Widerstände, die zuerst zusammengefasst werden müssen.
Wähle eine Antwort.

  1. $R_2$ und $R_3$
  2. $R_3$ und $R_4$
  3. $R_1$ und $R_2$
  4. $R_4$ und $R_5$


Berechne den Ersatzwiderstand $R_{123}$.
Wähle eine Antwort.

  1. $0,5\:\text{k}\Omega$
  2. $1\:\text{k}\Omega$
  3. $2\:\text{k}\Omega$
  4. $4\:\text{k}\Omega$

Berechne den Ersatzwiderstand $R_{1234}$.
Wähle eine Antwort.

  1. $0,5\:\text{k}\Omega$
  2. $1\:\text{k}\Omega$
  3. $2\:\text{k}\Omega$
  4. $4\:\text{k}\Omega$


Berechne den Ersatzwiderstand $R_{1235}$.
Wähle eine Antwort.

  1. $0,5\:\text{k}\Omega$
  2. $1\:\text{k}\Omega$
  3. $2\:\text{k}\Omega$
  4. $4\:\text{k}\Omega$

Berechne den Ersatzwiderstand $R_{1234567}$.
Wähle eine Antwort.

  1. $0,5\:\text{k}\Omega$
  2. $1\:\text{k}\Omega$
  3. $2\:\text{k}\Omega$
  4. $4\:\text{k}\Omega$


Die Schaltung wird auf 99 Widerstände erweitert. Berechne den Ersatzwiderstand $R_{1...99}$.
Wähle eine Antwort.

  1. $0,5\:\text{k}\Omega$
  2. $1\:\text{k}\Omega$
  3. $2\:\text{k}\Omega$
  4. $4\:\text{k}\Omega$

Maschen­strom­verfahren 



Maschenstromverfahren

Gegeben ist $I_{01}=10\:mA$, $I_{02}=7\:mA$, $R_1=R_2=R_3=1\:k\Omega$.
Gesucht ist $I_3$.

1. Wähle die Masche ohne Stromquellen
$R_2I_2+R_3I_3=R_1I_1$

2. Nicht gesuchte Ströme ersetzen
$I_2=I_3-I_{02}$ und $I_1=I_{01}-I_2=I_01-I_3+I_{02}$
$R_2(I_3-I_{02}+R_3I_3=R_1(I_{01}-I_3+I_{02})$

3. Gleichung nach gesuchter Größe (hier $I_3$) umstellen
$R_2(I_3-I_{02})+R_3I_3=R_1(I_{01}-I_3+I_{02})$
$R_2I_3-R_2I_{02}+R_3I_3=R_1I_{01}-R_1I_3+R_1I_{02}$
$R_2I_3+R_3I_3+R_1I_3=R_1I_{01}+R_1I_{02}+R_2I_{02}$
$I_3(R_2+R_3+R_1)=R_1I_{01}+R_1I_{02}+R_2I_{02}$

$$I_3=\frac{R_1I_{01}+R_1I_{02}+R_2I_{02}}{R_2+R_3+R_1}=8\:mA$$

Aufgabe 6 Maschenstromverfahren

Gemischte Schaltung

Mit dem Maschenstromverfahren ist der Strom und die Spannung am Widerstand R2 zu bestimmen.

Folgende Werte sind bekannt:
R1 = 120 Ω, R2 = 470 Ω, I01 = 12 mA und U01 = 24 V.

Masche über beide Widerstände und Spannungsquelle:

Gemischte Schaltung

$U_{01}+U_1-U_2=0$

$U_{01}+R_1I_1-R_2I_2=0~~~~|I_1=-I_{01}-I_2$

$U_{01}-R_1I_{01}-R_1I_2-R_2I_2=0$

$I_2(-R_1-R_2)=R_1I_{01}-U_{01}$

$I_2=\frac{R_1I_{01}-U_{01}}{(-R_1-R_2)}$

$I_2=38,24~mA$

$U_2=R_2I_2=17,97~V$


Aufgabe 7 Welche Aussage ist wahr?

Wähle die korrekten Aussagen zur gegebenen Schaltung aus.

In der folgenden Schaltung sind $U_{01}=10\:V$, $I_{01}=10\:mA$, $R_1=R_2=1\:k\Omega$. Gesucht ist der Strom $I_2$.

gemischte Schaltung

Stelle die korrekte Masche auf.

  1. $I_1R_1+I_2R_2=U_{01}$
  2. $I_2R_2+I_1R_1=0$
  3. $I_2R_2+I_1R_1+I_3R_3$=0
  4. $I_2+I_3=R_1$


Gib den zu ersetzenden Strom an.
Wähle eine Antwort.

  1. $I_1=I_2+I_{01}$
  2. $I_2=I_1+I_{01}$
  3. $I_{01}=I_2-I_1$
  4. $I_1=I_2-I_{01}$

Gib die Formel zur Berechnung von $I_2$ an.
Wähle eine Antwort.

  1. $I_2=\frac{U_{01}-R_1I_{01}}{R_1+R_2}$
  2. $I_2=\frac{U_{01}+R_1I_{01}}{R_1+R_2}$
  3. $I_2=\frac{U_{01}+R_1I_{01}}{R_1-R_2}$
  4. $I_2=\frac{U_{01}R_1I_{01}}{R_1+R_2}$


Berechne $I_2$
Wähle eine Antwort.

  1. $6\:mA$
  2. $10\:mA$
  3. $14\:mA$
  4. $22\:mA$


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