Der Kondensator

Kondensatoren (engl. capacitors) sind eine der am häufigsten eingesetzten Bauelemente in elektrischen Schaltkreisen. In Abhängigkeit ihrer Kapazität (engl. capacity) können sie mehr oder weniger elektrische Energie speichern. Sie können geladen und entladen werden und somit ändert sich die gespeicherte Ladungsmenge mit der Zeit.

In diesem Artikel lernt ihr, wie Kondensatoren geladen und entladen werden und wie man sie konstruieren muß, damit sie eine große Energie speichern können. Darüber hinaus lernt ihr die Reihen- und Parallelschaltung sowie die Lade- und Entladekurve kennen.

Laden und Entladen eines Kondensators (engl. charging and discharging a capacitor)

Lade- und Entladestrom in einer Kondensatorschaltung

Ein Kondensator besteht aus zwei durch ein Dielektrikum getrennte Platten. Legt man an diese Platten eine Spannung an, fließt trotz der Stromkreisunterbrechung für eine kurze Zeit ein Ladestrom.

Elektronen wandern dabei vom Minuspol in Richtung einer Platte und von der einen Platte zum Pluspol der Quelle. So lädt sich die eine Platte negativ und die andere positiv auf. Die beiden Platten laden sich unterschiedlich auf und speichern so elektrische Energie in Form von Ladungen. Wieso? Unterschiedliche Ladungen ziehen sich an, gleiche stoßen sich ab.

Schließt man den Kondensator kurz fließt für kurze Zeit eine Entladestrom. Der Kondensator gibt so seine Energie wieder ab und diese wird in Wärme umgewandelt.

Bauform und Kapazität des Kondensators (engl. construction and capacitance of a capacitor)

Je größer die Kapazität und je größer die Spannung, desto mehr Ladungen kann ein Kondensator speichern. Die gespeicherte Ladungsmenge und Energie berechnet sich zu:

$Q=C\cdot U$ $~~~~~~~~$ $E_{el}=\frac{1}{2}CU^2$

Dabei hat jeder Kondensator eine feste Speicherkapazität. Die Höhe der Kapazität C hängt von dessen Bauform ab. Dabei gilt: Je größer die Fläche A, je kürzer der Abstand d und je besser das Dielektrikum, desto höher die Kapazität.

$C=\epsilon _0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d}$ $~~~~~~~~$ $[C]=\frac{As}{Vm}\cdot \frac{m^2}{m}=F$

Die Dielektrizitätszahl $\epsilon_r$ gibt an, wie viel mal größer die Kapazität eines Kondensators wird, wenn statt Luft ein Dielektrikum verwendet wird. Für Luft und Vakuum ist sie 1.

Die Elektrische Feldkonstante $\epsilon_0$ ist die Naturkonstante: $\epsilon_0=8,85\cdot 10^{-12}\frac{As}{Vm}$

Man unterscheidet drei Bauformen von Kondensatoren:

Folien- oder Papierkondensatoren,
Keramikkondensatoren und
Elektrolytkondensatoren.

Die am häufigsten verwendeten Kondensatoren sind Elektrolytkondensatoren und Keramikkondensatoren. Keramikkondensatoren sind für die Verarbeitung in der Leiterplattentechnologie als SMD-Bauelemente (engl. surface mounted device), wie in der Abbildung zu sehen, sehr gut geeignet.

Mit Elektrolytkondensatoren lassen sich einerseits hohe Kapazitäten auf kleinem Raum realisieren. Beim Anlegen einer Spannung baut sich eine sehr dünne Oxidschicht auf. Somit sind sie aber nur in einer Polungsrichtung nutzbar.

Polt man sie verkehrt herum baut sich die Oxidschicht ab und es fließt ein hoher Kurzschlussstrom, welcher das Elektrolyt erwärmt. Fängt dieses an zu kochen, dehnt es sich schlagartig aus und bringt den Kondensator zum explodieren. Deshalb haben große Kondensatoren einen Gummistopfen integriert, der bei zu hohem Druck rausspringt.

Aufgabe 1 Konstruktion eines Kondensators

Autor: J. Blum, CDSC Thailand

Erkläre wie ein Kondensator konstruiert wird und nenne zwei Anwendungsbereiche.
Erkläre wann ein Ladestrom fließt und wann er aufhört.

Zwei runde parallele Metallplatten eines Plattenkondensator haben einen Radius von r = 24 cm und einen Abstand d = 1,2 mm. Es wird eine Spannung von 240 V angelegt.

Berechne die Kapazität C und die gespeicherte Ladungsmenge Q.
Berechne die gespeicherte Energie E_el.
Welchen Vorteil haben Elektrolytkondensatoren gegenüber Keramikkondensatoren?

Ein Kondensator wird aus zwei Metallflächen gebaut, welche die Distanz d haben und einem Dielektrikum dazwischen. Angewandt werden Kondensatoren zum Glätten von Spannungen, als Ladungsspeicher und bspw. im Arbeitspeicher (RAM).
Wird eine Spannung an den Kondensator gelegt,stoßen sich in der Quelle die Elektronen ab und fließen auf die Kondensatorplatten. Der Stromfluß stoppt, sobald der Kondensator geladen ist.
Kapazität: C = ϵA/d = 1.32 nF
Ladung: Q = CU = 316,8 nC
Energie: E_el = 0,5CU² = 38,02⋅10^-6 J
Elektrolytkondensatoren haben neben einer hohen Kapazität auch eine hohe Spannungsfestigkeit.

Aufgabe 2 Welche Aussage ist wahr?

Wähle die korrekten Aussagen aus.

Die gespeicherte Kondensatorladung ist proportional zu ...
Wähle zwei Antworten.

Die gespeicherte elektrische Energie ist proportional zu ...
Wähle zwei Antworten.

Für einen Kondensator gilt: Verdoppelt man ϵ, A und d, wird die Kapazität ...
Wähle eine Antwort.

2mal so groß.
3mal so groß.
4mal so groß.
gleich groß bleiben.

Für einen Kondensator gilt: Verdoppelt man ϵ, A und halbiert d, wird die Kapazität ...
Wähle eine Antwort.

2mal so groß.
4mal so groß.
8mal so groß.
gleich groß bleiben.

Nenne Kondensatorbauformen.
Wähle zwei Antworten.

Folienkondensator
Ladungskondensator
Papierkondensator
Sonnenkondensator

Nenne den Wert der Elektrischen Feldkonstante.
Wähle eine Antwort.

8,85⋅10^-12 As/Vm
8,85⋅10^-21 As/Vm
8,85⋅10^-12 Vm/As
5,85⋅10^-12 As/Vm

Parallelschaltung von Kondensatoren (engl. parallel combinations of capacitors)

Schaltet man Kondensatoren parallel zueinander vergrößert sich die Fläche und somit die Gesamtkapazität der Schaltung. Über die Gesetzmäßigkeiten der Parallelschaltung kann man die Berechnung der Gesamtkapazität herleiten. Es gilt:

$$\begin{align*} I &= I_1 + I_2 ~~~|I=Qt\\ Q &= Q_1 + Q_2 ~~~|Q=C\cdot U\\ CU&= C_1U_1 + C_2U_2 ~~~|U=U_1=U_2\\ C &= C_1+C_2\\ \end{align*}$$

Merke: Die Spannungsfestigkeit wird vom schwächsten Kondensator bestimmt.

Reihenschaltung von Kondensatoren (engl. capacitors in series)

Schaltet man Kondensatoren in Reihe verkleinert sich die Gesamtkapazität unter den Wert des kleinsten Kondensators. Es gilt:

$$\begin{align*} U &= U_1 + U_2 ~~~|U=Q/C\\ \frac{Q}{C} &= \frac{Q_1}{C_1} + \frac{Q_2}{C_2} ~~~|Q=Q_1=Q_2\\ \frac{1}{C} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\\ \end{align*}$$

Merke: Die Spannungsfestigkeit erhöht sich mit jedem Kondensator.

Aufgabe 3 Reihen- und Parallelschaltung

Knut hat Keramikkondensatoren bei Conrad mit den Werten 10 µF/25 V bestellt.

Wie muß er sechs Kondensatoren schalten, damit er die maximale Kapazität erhält? Wie hoch ist diese und wie hoch ist die Spannungsfestigkeit?
Welche Schaltungsart benötigt er für eine maximale Spannungsfestigkeit? Wie hoch ist diese bei sechs Kondensatoren und wie hoch ist die Gesamtkapazität?
Entwirf eine Schaltung für 20 µF und 50 V
Bewerte Vor- und Nachteile wenn Knut unterschiedliche Konensatoren parallel schaltet.

In Parallel: $C=6 \cdot 10~\mu F= 60~\mu F$, $U=25~V$
In Reihe: $U=6 \cdot 25~V=150~V$, $C=1/(1/C_1+~...~+1/C_6)$$=1,67~\mu F$
Jeweils 2 in Reihe ($50~V$ und $5~\mu F$) und dann 4mal parallel.
Die Gesamtkapazität wird größer, die Spannungsfestigkeit wird aber vom Kondensator mit der kleinsten Spannung bestimmt.

Ladekurve des Kondensators (engl. parallel combinations of capacitors)

Wird ein Kondensator geladen verläuft Strom und Spannung nicht linear sondern exponentiell.

Während der Strom abnimmt, nimmt die Spannung zu.

$$u_c=U_0(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$$ $$i_c=\frac{U_0}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}$$

Dabei ist $\tau =R\cdot C$ die sogenannte Zeitkonstante. Je kleiner die Zeitkonstante, desto schneller ist der Kondensator geladen. Nach $1\tau$ ist der Kondensator zu 63 % geladen, nach $5\tau$ gilt, dass der Kondensator zu 100 % geladen ist.

Aufgabe 4

Ein Kondensator mit 47 µF wird an 24 V über einen Vorwiderstand mit 2,1 kΩ angeschlossen.

Wie groß ist die Zeitkonstante und wie lange dauert der Ladevorgang?
Berechne die Kondensatorspannung nach 1,5 τ.
Nach welcher Zeit ist die Spannung am Kondensator auf 90 % angestiegen?
Wich hoch ist der maximale Einschaltstrom?
Nach welcher Zeit hat der Strom noch 30 % vom Maximalwert?
Zeichne das t-U_C- und t-I_C-Diagramm. Trage alle vorher berechneten Werte in das Diagramm ein.

Zeitkonstante: $\tau =R\cdot C = 98,7~ms$

Ladezeit: $5\tau =493,5~ms$
Zeit: $1,5\tau=148,05~ms$

Kondensatorspannung: $U_C(1,5\tau)=U_0(1-e^{-t/\tau})=$$24~V(1-e^{-1,5\tau /\tau})=18,64~V$
gesuchter Spannungswert: $U_C=90\% \cdot U_0=21,6~V$

$U_0(1-e^{-t/\tau})=U_C~~|:U_0$

$1-e^{-t/\tau}=U_C/U_0~~|-1 ~|\cdot(-1)$

$e^{-t/\tau}=1-U_C/U_0~~|ln(...)$

$-t/\tau=ln(1-U_C/U_0)~~|\cdot \tau ~|\cdot(-1)$

$t=-\tau\cdot ln(1-U_C/U_0)~~|einsetzen$

$t=227~ms$
Einschaltstrom: $I_0=U_0/R=24~V/2,1~k\Omega=$$11,42~mA$
gesuchter Stromwert: $I_C=30\% \cdot I_0=3,426~mA$

$U_0/R\cdot e^{-t/\tau}=I_C~~|\cdot (-R/U_0)$

$e^{-t/\tau}=I_C\cdot R/U_0~~|ln(...)$

$-t/\tau=ln(I_C\cdot R/U_0)~~|\cdot \tau ~~|\cdot(-1)$

$t=-\tau\cdot ln(I_C\cdot R/U_0)~~|einsetzen$

$t=118,91~ms$
Zeit-Spannungs-Strom-Diagramm:

Rätsel Energiepuffer

Idee von Schüler

Ein Lastwiderstand mit 1 kΩ wird mit 325 V versorgt. Mit Hilfe eines Kondensators soll die Last bei Stromunterbrechung noch 5 s mit mindestens 63,3 % der Spannung versorgt werden.

Welche Kapazität benötigt der Kondensator?

Berechnen der Spannungshöhe: $\frac{100~\%}{325~V}=\frac{63,3~\%}{U_C}$, $U_C=205,725~V$

Berechnen der Zeitkonstante: $\tau=\frac{t}{-ln(U_C/U_0)}=10,934~s$

Berechnen von C: $C=\tau /R=10,934~mF$

Alternativ abschätzen aus Diagram: $0,633 ~\hat{=}~ 0,5~\tau$

Aufgabe 6 Welche Aussage ist wahr?

Wähle die korrekten Aussagen aus.

In der Reihenschaltung ist die Gesamtkapazität ...
Wähle eine Antwort.

so groß wie die kleinste Kapazität
größer als die einzelnen Kapazitäten
so groß wie die größte Kapazität
kleiner als die kleinste Kapazität

"Die Gesamtkapazität ist die Summe der Einzelkapazitäten."
Wähle eine Antwort.

Reihenschaltung
Parallelschaltung
weder noch
gemischte Schaltung

Wählt man die Ladezeit 10mal kleiner als die Signalzeit ...
Wähle eine Antwort.

ist U_C identisch zur Signalspannung.
ist U_C halb so groß wie die Signalspannung.
ist U_C gleich Null.
ist U_C entgegengesetzt zur Signalspannung.

Beim Entladen fließt der Strom ...
Wähle eine Antwort.

in identische Richtung wie beim Laden.
in entgegengesetze Richtung wie beim Laden.
doppelt so schnell wie beim Laden.
überhaupt nicht.

Der Maximalstrom beim Laden berechnet sich zu...
Wähle eine Antwort.

U₀ ∕R
R ∙U₀
unendlich
0,1 ∙U₀ ∕R

Die Ladezeit eines Kondensators beträgt ...
Wähle eine Antwort.

das 5fache der Zeitkonstante.
die Hälfte der Zeitkonstante.
das Gleiche wie die Zeitkonstante.
das 10fache der Zeitkonstante.

Die Abbildung zeigt die Entladekurve (Zeit in s, Spannung in V) eines Kondensators.

Bestimme die Zeitkonstante $\tau$ und Widerstand R bei einer Kapazität von 2 mF. Wähle zwei Antworten.

0,5 s
2 s
0,5 kΩ
1 kΩ

Die Abbildung zeigt die Ladekurve (Zeit in s, Spannung in V) eines Kondensators.

Bestimme die Zeitkonstante $\tau$ und Kapazität C bei einem Widerstand von 1500 Ω. Wähle zwei Antworten.

4 s
2 s
4,12 mF
2,67 mF

Wortliste und Satzbausteine

der Kondensator, -en	Ein Kondensator besteht aus zwei Metallflächen, mit der Distanz d und einem Dielektrikum dazwischen. Er speichert elektrische Ladungen.
der Ladestrom, "e	fließt für kurze Zeit, sobald der Kondensator an eine Spannung gelegt wird: $i_c=\frac{U_0}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}$
der Entladestrom, "e	fließt für kurze Zeit, sobald der Kondensator kurzgeschlossen wird: $i_c=-\frac{U_0}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}$
die Kapazität, -en	Ein Maß, wie viele Ladungen ein Kondensator bei einer bestimmten Spannung speichern kann. Es gilt: Je größer die Fläche, je kleiner der Abstand der Metallflächen und je größer die Dielektrizitätszahl, desto größer die Kapazität.

Parallelschaltung von Kondensatoren	die Kapazität vergrößert sich: $C=C_1+C_2+...$
Reihenschaltung von Kondensatoren	die Kapazität verringert sich, die Spannungsfestigkeit wird größer: $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+...$
die Zeitkonstante $\tau$, -n	die Zeit nach der ein Kondensator zu 63 % geladen/entladen ist
die Ladezeit, -en	das fünfache der Zeitkonstante
die Ladespannung, -en	$u_c=U_0(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$
die Entladespannung, -en	$u_c=U_0e^{-\frac{t}{\tau}}$