e-Funktion

Donald Duck leiht sich Geld mit 100 % Zinsen pro Jahr. Allerdings werden die Zinsen nicht jährlich verlangt sondern monatlich, täglich oder gar stündlich. Der Zinsertrag steigt dadurch allerdings nicht unendlich sondern nähert sich einem Grenzwert.

$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$

Dieser Grenzwert ist die Eulersche Zahl $e$. Sie ist eine irrationale Zahl, die sich weder durch Bruch noch Wurzelausdruck beschreiben lässt.

Bei der e-Funktion die $e$ als Basis: $f(x)=e^x$.

Die e-Funktion $f(x)=e^x$ kann wie jede Exponentialfunktion verschoben oder gestreckt werden. Eine Spiegelung an der x-Achse erreicht man bspw. mit $f(x)=e^{-x}$.

Durch einen Vorfaktor $k$ kann der sogenannte Startwert von Zerfallsreihen oder anderen Naturereignissen angegeben werden: $f(x)=ke^x$.

Eine Besonderheit der e-Funktion kommt der Asymptote zu. Diese wird durch den Funktionsterm hinter dem $e^x$ bestimmt. Während der y-Achsenabschnitt der Funktion $f(x)=2e^{-x}-x$ bei 2 liegt nähert sich die Funktion im Unendlichen der Funktion $t(x)=-x$.

Zur Bestimmung der Ableitung bestimmen wir den Differenzenquotienten:

$\begin{align} m_T &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x_0+\Delta x}-e^{x_0}}{\Delta x}\\ &= e^{x_0}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} = e^{x_0}\\ \end{align}$

$\Delta x$	0,1	0,001
$\left(e^{\Delta x}-1\right)/\Delta x$	1,0517	1,005

Der exakte Nachweis, dass $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$ gelingt folgendermaßen:
Wir ersetzen $e=\lim_{\Delta x \to \infty} \left(1+\frac{1}{\Delta x}\right)^{\Delta x}$ $ =\lim_{\Delta x \to 0} \left(1+\Delta x\right)^{\frac{1}{\Delta x}}$:

$\begin{align} \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\left(\left(1+\Delta x\right)^\frac{1}{\Delta x}\right)^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1+\Delta x -1}{\Delta x}=1\\ \end{align}$ $$f(x)=e^x \Leftrightarrow f'(x)=e^x$$

Die Ketten- und Produktregel:

$$h\left(i(x)\right)'=i'(x) \cdot h'\left(i(x)\right)$$ $$f'(u(x)\cdot v(x))=u'v+uv'$$

Hier einige Beispiele:
$f(x)=e^{2x} \Rightarrow f'(x)=2e^{2x}$
$f(x)=e^{2x}+x \Rightarrow f'(x)=2e^{2x}+1$
$f(x)=xe^{-2x} \Rightarrow $ $f'(x)=e^{-2x}-2xe^{-2x}$ $=e^{-2x}(1-2x)$

1. Satz vom Nullprodukt:
$ℯ^{-x}\cdot (2x-1)=0 $ $\Leftrightarrow ℯ^{-x}=0 \vee 2x-1=0$
Daraus ergibt sich eine Nullstelle bei $x=0,5$.

2. Substitution:
$\begin{align} e^{2x}-6e^x+8&=0 |Subst. z=e^x\\ z^2-6z+8 &=0\\ z_1=2 &\vee z_2=4 |Rücks. e^x=z\\ e^x=2 &\vee e^x=4\\ x_1=ln(2) &\vee x_1=ln(4)\\ \end{align}$

Mit $f_t(x)=xe^{-tx}$ und der 1. Ableitung $f'(x)=e^{-tx}\left(1-tx\right)$ lässt sich der Hochpunkt HP($1/t$|$1/(et)$) bestimmen.

Die Ortskurve bestimmt man indem man die $x$-Koordinate nach dem Parameter $t$ auflöst. Das Ergebnis wird in die Gleichung für die $y$-Koordinate eingesetzt.

$\begin{align} y &= 1/(et) |t=1/x\\ y &= x/e\\ \end{align}$

Quellen:
H. Griesel et.al., "Elemente der Mathematik", Schroedel Verlag, 2010
H. Lang, Elektronikschule Tettnang
P. Wunderlich, Studienseminar Weingarten