mylime - Mathe

Eine Biene sitzt auf einer Alpenrose. Beim genauen Hinschauen bewundern wir deren Körperbau. Der Hinter- und Vorderleib scheinen ein ganz bestimmtes Größenverhältnis zueinander zu haben.

Wir messen nach:

Der lange Hinterleib $l=0,89~cm$, der kurze Voderleib $k=0,55~cm$, Gesamtlänge $g=1,44~cm$.

Nun bildet man aus diesen Werten Verhältnisse:

$$\frac{l}{k}=\frac{0,89}{0,55}=1,62~~~~~\text{und}~~~~~\frac{g}{l}=\frac{1,44}{0,89}=1,62$$

Erstaunlich, nicht wahr? Wir wollen es genauer wissen:

$\begin{align} \frac{l}{k} &= \frac{g}{l} &&|g=l+k\\ \frac{l}{k} &= \frac{l+k}{l} &&|\text{umformen}\\ \frac{l}{k} &= 1+\frac{k}{l} &&|\frac{l}{k}=x\\ \end{align}$

$\begin{align} x &= 1+\frac{1}{x} &&|\cdot x\\ x^2 &= x+1\\ \end{align}$

Wir erhalten die quadratische Gleichung $x^2-x=1$. Wie löst man diese? Ganz einfach: Man nutzt die Kenntnis der binomischen Formel: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.

Quadratische Ergänzung:

Vergleichen wir $x^2-1x=1$ mit $a^2-2ab+b^2$ folgt: $1=2b$.

Da es keine negativen Längen gibt, gibt es nur eine Lösung. Es ist die Goldene Zahl.

Nur die positivie Lösung ist gültig:

$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618...$$

In der Natur kommt der goldene Schnitt nicht nur bei Bienen oder Hummeln vor. Auch das Pferd bildet, wenn man seine Länge bei den Vorderbeinen teilt, den goldenen Schnitt. Neben dem Menschen erkennt man den goldenen Schnitt auch an der Winkelanordnung der Blütenblätter bei Wildrosen.

So hat der goldene Schnitt auch in der Architektur Einzug gefunden. Viele alte Bauwerke, wie Tempel oder die Bundeslade, haben in bestimmten Größenverhältnissen den Goldenen Schnitt. Liegt das Verhältnis höher als 1,62, wie bspw. bei dem Bildformat 16:9, wird es vom Menschen als modern wahrgenommen. Liegt das Verhältnis darunter wirkt es eher traditionell.

span> Die Integralrechnung

Die Integralrechnung

Die Integralrechnung