Halong-Bucht

Eine Biene sitzt auf einer Alpenrose. Beim genauen Hinschauen bewundern wir deren Körperbau. Der Hinter- und Vorderleib scheinen ein ganz bestimmtes Größenverhältnis zueinander zu haben.


Wir messen nach:

Der lange Hinterleib $l=0,89~cm$, der kurze Voderleib $k=0,55~cm$, Gesamtlänge $g=1,44~cm$.

Nun bildet man aus diesen Werten Verhältnisse:

$$\frac{l}{k}=\frac{0,89}{0,55}=1,62~~~~~\text{und}~~~~~\frac{g}{l}=\frac{1,44}{0,89}=1,62$$

Erstaunlich, nicht wahr? Wir wollen es genauer wissen:

$\begin{align} \frac{l}{k} &= \frac{g}{l} &&|g=l+k\\ \frac{l}{k} &= \frac{l+k}{l} &&|\text{umformen}\\ \frac{l}{k} &= 1+\frac{k}{l} &&|\frac{l}{k}=x\\ \end{align}$
$\begin{align} x &= 1+\frac{1}{x} &&|\cdot x\\ x^2 &= x+1\\ \end{align}$

Wir erhalten die quadratische Glei­chung $x^2-x=1$. Wie löst man diese? Ganz einfach: Man nutzt die Kenntnis der binomischen Formel: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.


Quadratische Ergänzung:

Quadratische Ergänzung

Vergleichen wir $x^2-1x=1$ mit $a^2-2ab+b^2$ folgt: $1=2b$.

Da es keine negativen Längen gibt, gibt es nur eine Lösung. Es ist die Goldene Zahl.

Nur die positivie Lösung ist gültig:

$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618...$$

In der Natur kommt der goldene Schnitt nicht nur bei Bienen oder Hummeln vor. Auch das Pferd bil­det, wenn man seine Länge bei den Vorderbeinen teilt, den goldenen Schnitt. Neben dem Menschen erkennt man den goldenen Schnitt auch an der Winkelanordnung der Blütenblätter bei Wild­rosen.


So hat der goldene Schnitt auch in der Architektur Einzug gefunden. Viele alte Bauwerke, wie Tempel oder die Bundeslade, haben in bestimmten Größenverhältnissen den Goldenen Schnitt. Liegt das Verhältnis höher als 1,62, wie bspw. bei dem Bildformat 16:9, wird es vom Menschen als modern wahrgenommen. Liegt das Verhältnis darunter wirkt es eher traditionell.

Integralrechnung

Die Halong-Bucht in Nordvietnam wurde 1994 von der UNESCO zum Weltnatur­erbe erklärt. Neben den 1969 faszi­nie­ren­den Kreideflesen hat die Halong-Bucht wunderschöne schwimmende Dörfer in denen die Bewohner in Aquakulturen Fische züchten.

Die weltweite Überfischung gilt als eines der großen Probleme für die Gesundheit der Weltmeere. Hierzu legt die FAO alle 2 Jahre einen Bericht vor. Aquakulturen sind eine echte Alternative, da sie bei steigendem Fischkonsum den Fischbestand der Meere schonen.

Im Diagramm ist die weltweite Fisch­fang­quote mit und ohne der Fischmenge aus Aquakulturen abgebildet.

fischfangquote

Wir messen nach: 134.000.000 t Fisch wurden im Jahr 2004 verarbeitet.

Außerdem: Der Fischkonsum nimmt in den letzten 10 Jahren kontinuierlich zu. Aber es stecken noch mehr Infos in dem Diagramm ...

Von der Quote zur Menge

Die Fläche unter dem Graph gibt die Summe der Fischmenge in einem Zeitraum an.

fischfangquote

Die Integralrechnung summiert die Flä­chen unter einer Funktion. Man schreibt:

$$A=\int_{2004}^{2014} f(x) \: dx$$

Flächen unter Kurven

Bei seinem 39.045 m Sprung aus der Stra­tossphäre flog Felix Baumgarnter bis zu 370 m/s. Welche Bedeutung hat die Fläche unter der Kurve?

Vertikalgechwindigkeit

In unserem vorigen Beispiel konnten wir die Fläche noch einfach abschätzen. Nun aber müssen wir definitiv approximieren, d.h. nähern.

Pumpspeicherkraftwerk: negative Flächen

Mal wird Wasser dem Speichersee zugeführt, mal abgeführt.

Zuflussgeschwindigkeit

Die positive/negative Fläche gibt die zu- und abgeführte Wassermenge an.

$$A\hspace{-1mm}=\hspace{-3mm} \int_{0}^{25}\hspace{-4mm}f(x)dx + \hspace{-3mm} \int_{25}^{40}\hspace{-4mm} f(x)dx\hspace{-1mm} = \hspace{-1mm} A_1\hspace{-1mm} +\hspace{-1mm} (-A_2)$$

Neu zugelassene Motorräder in Hanoi

Die Anzahl der neu zugelassenen Motorräder in Hanoi ist in den letzten Jahren stark gestiegen. Bestimme die Summe der Motorräder in den letzten 10 Jahren.

Neuzulassungen

Wasserverbrauch Halbzeitpause

Wie hoch ist der Wasserbedarf in der Halbzeitpause?

Zuflussgeschwindigkeit

Stromverbrauch

Wie hoch ist der Energiebedarf in 20 ms?

elektrische Leistung über Zeit

Hubschrauberflug

Nach 25 s landet der Hubschrauber. Begründe wieso der Landeplatz auf einem Hügel liegt.

vertikale Fluggeschwindigkeit

Der Mond

Notiere die Fläche als Integral.

Kreisfläche

Quellen:
V. Adam et. al., "Integralrechnung - Rekonstrukion von Best.", LISUM 2009
T. Unkelbach, "Materialien zum selbständigen Arbeiten", ne.lo-net2.de 
H. Griesel et.al., "Elemente der Mathematik", Schroedel Verlag, 2010