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Potenzgesetze Papierstabel

Potenzen kommen in der Natur bei großen, aber auch bei sehr kleinen Distanzen vor. Die Potenzgesetze helfen uns mit Ihnen zu rechnen.

Eine Potenz ist ein Produkt aus gleichen Faktoren $a$:

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten

Potenzieren von Potenzen

Erweiterte Potenzdefinition 1

Erweiterte Potenzdefinition 2

Aufgabe 1

Schreibe als Zehner-Potenz.

$10$
$1000$
$1000 000$

$0,1$
$0,001$
$0,000001$

$10^1$
$10^3$
$10^6$

$10^{-1}$
$10^{-3}$
$10^{-6}$

Aufgabe 2

Vereinfache die Potenzen.

$2^2\cdot 2^4$
$2^6:2^2$
$2^5\cdot 2^{5+2}\cdot 2$
$\frac{2^4}{2^3}$

$3^4\cdot 7^2\cdot 3\cdot 7^5$
$\frac{9~\cdot ~9^4\cdot ~9^{3-1}}{9^2}$
$\frac{6^2\cdot ~6^{-3}\cdot ~6^{3-2}}{6^{-2}}$
$\frac{5^2}{5^{-2}\cdot ~5^{-4}}$

$2^2\cdot 2^4=2^{2+4}=2^6$
$2^6:2^2=2^{6-2}=2^4$
$2^5\cdot 2^{5+2}\cdot 2=2^{5+5+2+1}=2^{13}$
$\frac{2^4}{2^3}=2^{4-3}=2^1=2$

$3^4\cdot 7^2\cdot 3\cdot 7^5=3^{4+1}\cdot 7^{2+5}=3^5\cdot 7^7$
$\frac{9~\cdot ~9^4\cdot ~9^{3-1}}{9^2}=9^{1+4+3-1-2}=9^5$
$\frac{6^2\cdot ~6^{-3}\cdot ~6^{3-2}}{6^{-2}}=6^{2-3+3-2-(-2)}=6^2$
$\frac{5^2}{5^{-2}\cdot ~5^{-4}}=5^{2-(-2-4)}=5^8$

Aufgabe 4

Vereinfache die Potenzen.

$x^2\cdot x^4$
$(2^{n+2}\cdot 2^5):(2^m)$
$(5^{2m+1}\cdot 5^{4m-2}):(5^m\cdot 5^3)$
$\frac{8^{-m}\cdot ~8^{5+m}}{8^5}$

$(2^m\cdot 2^4\cdot 2^{2m}):(2^m)$
$(7^{2n}\cdot 7^{2+n}\cdot 7^{-4n}):(7^{2n+2})$
$\frac{5^{-m}}{5^{-2+m}}$
$(x^{n+1}):(x^{n-1})$

$x^6$
$2^{n+7-m}$
$5^{5m-4}$
$1$

$2^{2m+4}$
$7^{-3n}$
$5^2/5^{2m}$
$x^2$

Aufgabe 6

Vereinfache mit den Potenzgesetzen und rechne soweit wie möglich.

$$7^4 \cdot 7^2 \cdot 7$$
$$(-3)^4 \cdot (-3)^3 \cdot (-3)$$
$$\frac{(-5)^3\cdot(-5)}{(-5)^3}$$
$$a^{2m+1}\cdot b^{4m-2}\cdot a^m \cdot b^{-3}$$
$$\frac{12^{-m}\cdot ~12^{5+m}}{12^{-5}}$$

$$2\cdot(2^2)^3$$
$$4\cdot((-4)^2)^3$$
$$4\cdot(-4^2)^3$$
$$\frac{8a^{-m}}{2a^{-2+m}}$$
$$(a^{x+1})^{x-1}$$

$7^7$
$(-3)^8=3^8$
$-5$
$a^{3m+1}\cdot b^{4m-5}$
$12^{10}$

$2^7$
$4^7$
$-4^7$
$4a^{-2m+2}$
$a^{x^2-1}$

Wortliste und Satzbausteine

die Potenz, -en	Eine Potenz ist ein Produkt aus gleichen Faktoren $a$: $a \cdot a \cdot ... = a^n$
der Exponent, -en	Der Exponent $n$ gibt an wie oft eine Zahl mit sich multipliziert wird.
die Basis $a$, Basen	Die Basis $a$ einer Potenz gibt an welche Zahl mit sich selbt multipliziert wird.
potenzieren, er/sie potenziert	$3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4$
die Produktschreibweise, -	$3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
die Potenzschreibweise, -	$3^4$

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis	Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Division von Potenzen mit gleicher Basis	Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten	$a^m\cdot b^m=(a\cdot b)^m$, $\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m$
das Potenzieren von Potenzen	$\left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}$
Erweiterte Potenzdefinition 1	$a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ $\text{mit}~n \in \mathbb{Z}$
Erweiterte Potenzdefinition 2	$a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$ $\text{mit}~n \in \mathbb{R}$

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