mylime - Mathe

1 Relativer und absoluter Vergleich

Anteile gibt man oft in Prozent an. Die Prozentangabe bedeutet :

$$0,2=\frac{20}{100}=20\:\%$$

Wieviel Liter Fett $W$ sind in $G=1\:l$ Milch?

$$W=G\cdot p=1\:l \cdot 3,5\:\%=0,035\:l$$

Die 35 ml bezeichnet man als absoluten Anteil oder Wert $W$, die 3,5 % als relativen Anteil oder Prozentsatz $p$.

2 Berechne den Prozentsatz

In einem 600 g Jogurtbecher sind 10 g Calcium enthalten. Berechne den prozentualen Anteil.
$p = \frac{10}{600}=\frac{1}{60}\approx 1,67\:\%$

Bei manchen Nahrungsmitteln wird statt dem Prozentsatz $p$, der absolute Wert $W$ angegeben. Um nun den Prozentsatz $p$ zu berechnen, teilen wir den absolute Wert $W$ durch den Grundwert $G$:

$$p = \frac{W}{G}$$

3 Berechne den Grundwert

Ein Paar Schuhe wird mit 60 EUR beworben. Der Nachlass auf den ursprünglichen Wert beträgt 40 Prozent. Wie viel hat das Paar Schuhe ursprünglich gekostet?

$$G = \frac{60\:\text{EUR}}{40\:\%}=150\:\text{EUR}$$ $$G = \frac{W}{p}$$

4 Prozentuale Abnahme

Auf die Laufschuhe mit einem Grundpreis $GP=50\:\text{EUR}$ wird ein Rabatt $R$ von $p=20\:\%$ gewährt: $R=20\:\% \cdot 50= 10\:\text{EUR}$

Es ergibt sich also ein neuer Preis $NP$ von: $NP=50-10=40\:\text{EUR}$

Alternativ kann man auch rechnen: $NP=50 \cdot (1-0,2) =40\:\text{EUR}$

$$NP=GP \cdot (1-p)$$

5 Prozentuale Erhöhung

Der Preis von Tomaten steigt aufgrund von Ernteausfällen von $\text{GP}=2\:\text{EUR/kg}$ um $p=30\:\%$. Die Erhöhung $E$ berechnet man: $E=30\:\% \cdot 2 = 0,60\:\text{EUR/kg}$

Es ergibt sich also ein neuer Preis $NP$ von: $NP=2+0,6=2,60\:\text{EUR/kg}$

Alternativ kann man auch rechnen: $NP=2 \cdot (1+0,3) =2,60\:\text{EUR/kg}$

$$NP=GP \cdot (1+p)$$

6 Zinsrechnung

Für einen Hausbau mit einem Kapital $K=100.000\:\text{EUR}$ bietet eine Bank einen Zinssatz von $p=2,4\:\%$. Berechne die Höhe der jährlichen Zinsen $Z$.

$$Z=100.000 \cdot 2,4\:\% = 2400\:\text{EUR}$$

In einem Jahr werden 2.400 EUR Zinsen fällig.

7 Zinsen für mehrere Jahre

Legt man bei einer Bank Geld im Wert von $K=100.000\:\text{EUR}$ über 2 Jahre an und erhält einen Zinssatz von $p=2,4\:\%$ so gibt es im zweiten Jahr höhrer Zinsen. Dies nennt man den Zinseszins.

$K_0=100.0000\:\text{EUR}$
$K_1=K_0+K_0 \cdot p =K_0(1+p)$ $=100.0000 \cdot 1,024 $ $= 102.400,00\:\text{EUR}$
$K_2=K_1+K_1 \cdot p =K_1(1+p)$ $=K_0(1+p)(1+p) $ $= 104.857,60\:\text{EUR}$

Aufgabe 1 Absoluter und relativer Vergleich

Berechne den absoluten, bzw. relativen Anteil

1 l Orangensaft - Fruchtgehalt 100 %
0,33 l Bierdose - Alkoholgehalt 5 %
2 l Limonade - Honig 5 %
500 ml Oishi - 0,0025 % Honig; 85,2 % grüner Tee; 9,5 % Fruktose
300 g T-Bone Steak - 35 g Knochen
1050 THB Casio FX Taschenrechner - 19 % MwSt.
Einer Badewanne mit 500 l werden 40 ml Shampoo zugesetzt.
In einer Schafherde mit 320 Schafen sind 60 schwarze Schafe.

Absouluter Fruchtgehalt im Orangensaft:
$W=G\cdot p=1\:l \cdot 100\:\% = 1\:l \cdot 1 = 1\:l$
Absouluter Alkoholgeahlt im Bier:
$W=G\cdot p=0,33\:l \cdot 5\:\% = 0,33\:l \cdot 0,05 = 0,0165\:l=16,5\:ml$
Absouluter Honiganteil in der Limonade:
$W=G\cdot p=2\:l \cdot 0,05 = 0,1\:l = 100\: ml$
Absouluter Honiganteil im Oishi-Tee:
$W=G\cdot p=500\:ml \cdot 0,000025 = 0,0125\:ml$
Absouluter Anteil an grünem Tee im Oishi-Tee:
$W=G\cdot p=500\:ml \cdot 0,852 = 412,5\:ml$
Absouluter Anteil an Fruktose im Oishi-Tee:
$W=G\cdot p=500\:ml \cdot 0,095 = 47,5\:ml$

Relativer Knochenanteil am T-Bone Steak:
$p=\frac{W}{G}=\frac{35}{300}\approx 0,1667 = 11,67\:\%$
Absoluter MwSt-Anteil am Taschenrechner:
$W=G\cdot p=1050\:\text{THB} \cdot 0,19 = 199,5\:\text{THB}$
Relativer Shampooanteil am Badewasser:
$p=\frac{W}{G}=\frac{0,04}{500}= \frac{1}{12500} = 0,008\:\%$
Relativer Anteil schwarzer Schafe in einer Herde:
$p=\frac{W}{G}=\frac{60}{3200}= \frac{3}{16} = 18,75\:\%$

Aufgabe 2 Grundwert

Berechne jeweils den Grundwert.

Bei der Klassensprecherwahl wird verkündigt: "Noah hat 6 Stimmen bekommen und das sind 37,5 %. Wie viele Schülerinnnen und Schüler haben gewählt?
In einem Muffin sind 10 % Schokolade und das sind 12 g. Wie schwer ist der Muffin?
In eine Limonade werden 0,2 l Honig gemischt. Dies entspricht 5 %. Wie groß ist die Limonade?
Nach einer Preisermäßigung kosten die Schuhe nur noch 80 % vom ursprünglichen Preis. Dies macht dann: 2300 THB. Berechne den ursprünglichen Preis.

Klassensprecherwahl:
$G=\frac{W}{p}=\frac{6}{0,375}=16$
Muffin:
$G=\frac{W}{p}=\frac{12\:g}{0,1}=120\:g$
Limonade:
$G=\frac{W}{p}=\frac{0,2\:l}{0,05}=4\:l$
Schuhe:
$G=\frac{W}{p}=\frac{2300}{0,8}=2875\:THB$

Aufgabe 3 Café mit Treuerabatt

In einem Café gewährt der Inhaber folgenden Treuevorteil: Für jede 150 THB bekommt man einen Treuestempel. Für 10 Stempel erhält man ein Freigetränk für 75 THB.

Berechne den notwendigen Einkaufswert für ein Freigetränk.
Berechne den prozentualen Anteil der 75 THB am Einkaufswert.
Simon kauft Kuchen im Wert von 280 THB. Beurteile die folgende Aussage: "Er sollte für 20 THB mehr einkaufen, dann spart er Geld."
Begründe wieso für das Café der Treuvorteil wirtschaftlicher ist als ein genereller Rabatt von 5 %.

Einkaufswert:
$W=10\cdot 150 = 1500\: THB$
prozentualer Anteil:
$p=\frac{75}{1500}=\frac{1}{20}=0,05=5\:\%$
Der Nachlass auf 150 THB beträgt $W=150\cdot 5\:\%=7,50\:THB$. Geld sparen tut Simon nur wenn er weniger als 7,50 THB zusätzlich ausgibt.
Vorteile eines Treuerabatt:
Um einen Rabatt zu bekommen, muss der Kunde häufiger kommen.
Fehlt im noch ein kleiner Betrag bis zum nächsten Stempel, gibt er mehr aus als er eigentlich möchte.
Da es nur einen Stempel in 150 THB-Schritten gibt und er eventuell ein günstigeres Freigetränk nimmt, fällt der Rabatt noch geringer aus.

Quiz 1 Ameise Aladin und Marienkäfer Marvin

Berechne den relativen Anteil der Distanz.

Ameise Aladin ist vom linken Ende 2/3 der Stablänge nach rechts gekrabbelt.

Marienkäfer Marvin ist vom rechten Ende 3/4 der Stablänge nach links gekrabbelt.

Berechne den relativen Anteil der Distanz zwischen ihnen.

Ameise Aladin und Marienkäfer Marvin auf einem Stock

Relativer Abstand von Ameise Aladin zur Hälfte: $d_{Ameise}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{12}$

Relativer Abstand von Marienkäfer Marvin zur Hälfte: $d_{Marienkäfer}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{12}$

Relative Gesamtdistanz: $d=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$

Aufgabe 4 Prozentuale Abnahme und Erhöhung

Berechne jeweils den neuen Preis.

Vermindere um 20%: 12 EUR, 25 EUR, 40 min, 260 m
Daniel Vater erhält bei einer Rechnung über 150 EUR 2% Skonto.
Ein Fußball kostet 25 EUR. Da es sich um ein Ausstellungsstück handelt bekommt Tina 30% Rabatt.
Erhöhe um 25%: 12 EUR, 25 EUR, 40 min, 260 m
Ein Burgerresteraunt hat vor kurzen eine neue leckere Variante im Angebot. Im Vergleich zum Standardburger mit 2,50 EUR ist dieser allerdings 39% teurer.
Eine Uhr kostet 30 EUR. Der Preis steigt um 11%.

Für einen Hausbau werden Kreditangebote miteinander verglichen. Welches Angebot über einen Kredit von 100.000 € ist am günstigsten?

Sparbank

Zinssatz: 2,4 %

Bearbeitungsgebühr: 350 €

Günstigbank

Zinssatz: 2,7 %

Bearbeitungsgebühr: 0,2 %

Kapitalbank

Zinssatz: 3,0 %

Bearbeitungsgebühr: 0 €

Zum Lösen solcher Aufgaben gibt es drei Strategien die im Folgenden vorgestellt werden. Dabei werden folgende Abkürzungen verwendet: $K$ Kapital, $p$ Zinssatz, $Z$ Zins.

Wichtiger Hinweis: Die Angabe 2,4 % ist identisch zu 2,4/100 = 0,024.

Strategie 1 Zinsformel:

$\begin{align} &Z=K\cdot p \\ &Z=100000~€\cdot 0,024\\ &Z=2400~€\\ \end{align}$

Strategie 2:

$\begin{align} 100000~€~&\widehat{=}~100~\% ~~|:100 \\ 1000~€~&\widehat{=}~1~\% ~~~~~~|\cdot 2,4\\ 2400~€~&\widehat{=}~2,4~\% \\ \end{align}$

Strategie 3 Verhältnisse:

$\begin{align} \frac{Z}{K}&=\frac{p}{100~\%} ~~|\cdot K\\ Z&=p/100~\% \cdot K = 2400~€ \\ \end{align}$

Die Jahresgebühr ergibt sich dann zu: $2400~€+350~€=2750~€$

Der Vorteil an Gleichungen ist, dass man diese nach gesuchten Größen sehr einfach umstellen kann. So lässt sich bspw. der Zinssatz einfach zu $p=Z/K$ berechnen.

Aufgabe 4

1 Berechne jeweils den Zins.

Kapital	2400 €
Zinssatz	2,4 %
Zins

Kapital	7800 €
Zinssatz	1,8 %
Zins

Kapital	132.000 €
Zinssatz	1,62 %
Zins

2 Berechne jeweils den Prozentsatz.

Kapital	2420 €
Zinssatz
Zins	120 €

Kapital	24.200 €
Zinssatz
Zins	460 €

Kapital	1.200.000 €
Zinssatz
Zins	7800 €

3 Berechne jeweils das Kapital.

Kapital
Zinssatz	12,5 %
Zins	120 €

Kapital
Zinssatz	2,5 %
Zins	1200 €

Kapital
Zinssatz	7,25 %
Zins	12.000 €