Waage

Terme und Gleichungen

Hier erfährst du alles über Terme und Gleichungen mit Variablen.

1 Terme
Zahlenmengen

Zeichne die Pyramide in dein Heft und berechne die benötigte Drahtlänge für $x=5$ und $y=7$.

Drahtlänge $l$: $4x+4y=4 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 48$

Ein Term ist ein Rechenweg für Variablen und Zahlen. Ersetzt man die Variablen durch Zahlen, kann man den Wert des Terms bestimmen. Eine Variable wird als Buchstabe geschrieben und ist ein Platzhalter für eine beliebige Zahl.

Hinweis: Kommt in einem Term eine Variable mehrfach vor, muss überall dieselbe Zahl eingesetzt werden. Für $x=2$ gilt: $x+3+2x=2+3+4=9$

2 Rechenregeln für Terme
Rechenregeln für Terme anschaulich erklärt

Hier werden die Vorrangregeln für die Berechnung von Termen am Beispiel $x=2$ und $y=1$ gezeigt. Hinweis: Malzeichen dürfen u.U. entfallen: $4x=4\cdot x$.

  1. Wenn nichts anderes geregelt ist, rechnet man von links nach rechts:
    $x+y+4= 2 + 1 + 4 $ $= 7$
  2. Das innere einer Klammer wird zuerst berechnet.
    $3(x+y)=3(2+1) $ $=3 \cdot 3 =9$
  3. Wo keine Klammer steht gilt Potenz-, vor Punkt- vor Strichrechnung:
    $3+x^2\cdot y=3+2^2 \cdot 1 $ $=3+4\cdot 1 = 3+4=7$

KlaPoPuS: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich.

3 Termumformung - Addition und Subtraktion
Rechteck

Länge des Rechtecks: $2x+x+2x+x=6x$

Merke: Man addiert/subtrahiert gleichartige Glieder, indem man die Zahlfaktoren (Koeffizienten) addiert/subtrahiert.

$7x-x-2x+10x=14x \quad \quad $ $2x^2+2-x^2=x^2+2$
$2x-y+3x-2y=5x-3y \quad \quad $ $2x+3y+2=2x+3y+2$

Merke: Aufeinander folgende Additionsschritte darf man beliebig vertauschen, nicht jedoch die Vorzeichen: $x+2x^2-3x=x-3x+2x^2$

Beachte: $x^2=x\cdot x \quad 2x^2=2\cdot x \cdot x \quad $ $(3x)^2=3^2\cdot x^2=9x^2$

4 Terme und Klammern
Rechteck

Alternative Längenberechnung: $2\left(2x+x\right)=2\cdot 2x+ 2\cdot x=6x$

Merke: Beim Ausmultiplizieren wird der Koeffizient vor der Klammer mit jedem Glied in der Klammer multipliziert, beim Ausklammern entsprechend dividiert.

$-3(x-2x)=-3x-3(-2x) $ $=-3x+6x=3x$
$-3(x-2x)=-3\cdot (-x) $ $=3x$
$4(2x+3)=4\cdot 2x+4\cdot 3 $ $=8x+12$
$2x(x-4)=2x^2-8x$

5 Terme multipli­zieren und divi­dieren
$$2x\cdot y \quad\quad x\cdot(2x) \quad\quad 4x : 2$$ $$\quad\quad (x+3)\cdot 3 \quad$$ $$x^2\cdot x \quad\quad\quad (x+2)(x+1)$$

Wie schon bei den Klammern ersichtlich können Terme miteinander multipliziert oder auch dividiert werden. So ist $2x\cdot y=2xy$ oder $x\cdot(2x)=1/2$.

Verwechsle nicht die Multiplikation mit der Addition: $x^2=x\cdot x \quad$ $2x^2=2\cdot x \cdot x \quad $ $(3x)^2=3^2\cdot x^2=9x^2 \quad$ $2x=x+x$

Eine Besonderheit stellt ein Term mit der Multiplikation zweier Summen dar. Beachte, dass hierbei jedes Element mit jedem Element multipliziert werden muss: $(2x+2)(x+1)=$ $2x\cdot x + 2x\cdot 1 + 2\cdot x + 2\cdot 1$.

6 Gleichungen - Das Prinzip der Waage
Waage

Die Waage mit einem Gewicht von 2 Äpfeln auf jeder Seite veranschaulicht den Umgang mit mathematischen Gleichungen $2x=2x$. Für das Gleichgewicht gilt:

  • Addiert man auf der einen Seite eine Birne, muß auf der anderen Seite auch eine Birne addiert werden: $2x+y=2x+y$.
  • Vervierfacht man die eine Seite wird auch die andere Seite mit dem Faktor $4$ multipliziert: $8x+4y=4(2x+y)$
  • Halbiert man die eine Seite, ändert sich auch die andere Seite um den Faktor $0,5$: $4x+2y=0,5(8x+4y)$.
  • Subtrahiert man einen Apfel auf der linken Seite, zieht man auf der rechten Seite auch einen ab: $4x+2y-x=3x+2y$.



    • Aufgabe 1 Der Wert eines Terms

    Berechne den Wert des Terms $3 \cdot x - x \cdot y$ für

    1. $x=2 \quad y=1$
    2. $x=3 \quad y=0$
    3. $x=-2 \quad y=3$
    1. $x=-2 \quad y=-3$
    2. $x=0,5 \quad y=1$
    3. $x=-1/3 \quad y=6$
    1. $4$
    2. $9$
    3. $0$
    1. $-12$
    2. $1$
    3. $1$

    Aufgabe 2 Term aufstellen

    Stelle einen Term auf für

    1. den Umfang der gelben Fläche,
    2. den Flächeninhalt der gelben Fläche,
    3. den Umfang der gelben Fläche,
    4. den Flächeninhalt der gelben Fläche.
    geometrische Figuren

    1. $u_{gelb}=2a+2b$
    2. $A_{gelb}=ab$
    3. $u_{grün}=2y+8x$
    4. $A_{grün}=3xy-x^2$

    Aufgabe 3 Terme vereinfachen

    Vereinfache die Terme soweit als möglich.

    1. $2x+3-x+7$
    2. $x+7y+3-2y+8x$
    3. $2-4x^2+x-7x+2$
    1. $3x^2+7x+2$
    2. $x^2y+xy^2+x^2y$
    3. $4x^2+2x-7y+2x-3x^2$
    1. $x+10$
    2. $9x+5y+3$
    3. $-4x^2-6x+4$
    1. $3x^2+7x+2$
    2. $2x^2y+xy^2$
    3. $x^2+4x-7y$


    Entspann dich erst mal ...

    What a wonderful world.

    Aufgabe 4 Ausklammern und Ausmultiplizieren

    1. $3(x+y)$
    2. $7(2x+xy)$
    3. $2x(x+4)$
    4. $2x(x^2+4x+1)$
    5. $9(x+2y)$
    6. $2a(b+4)$
    1. $3xy+3x+3y$
    2. $x^2y+xy^2+xy$
    3. $4x^2+2x$
    4. $7abc+14ab+21bc$
    5. $6x+6y$
    6. $6x+12y$
    1. $2a(2b+9)$
    2. $-5c(2a+y)$
    3. $-10a+5a$
    4. $2b(-4+3)$
    5. $8a(4x+3)$
    6. $-2a+8a-6$
    1. $3(x+y)=$ $3x+3y$
    2. $7(2x+xy)=$ $14x+7xy$
    3. $2x(x+4)=$ $2x^2+8x$
    4. $2x(x^2+4x+1)=$ $2x^3+8x^2+2x$
    5. $9(x+2y)=$ $9x+18y$
    6. $2a(b+4)=$ $2ab+8a$
    1. $3xy+3x+3y=$ $3(xy+x+y)$
    2. $x^2y+xy^2+xy=$ $xy(x+y+1)$
    3. $4x^2+2x=$ $2x(2x+1)$
    4. $7abc+14ab+21bc=$ $7b(ac+2a+3c)$
    5. $6x+6y=$ $6(x+y)$
    6. $6x+12y=$ $6(x+2y)$
    1. $2a(2b+9)=$ $4ab+18a$
    2. $-5c(2a+y)=$ $-10ac-5cy$
    3. $-10a+5a=$ $5a(-2+1)=-5a$
    4. $2b(-4+3)=$ $-8b+6b$
    5. $8a(4x+3)=$ $16ax+24a$
    6. $-2a+8a-6=$ $2(-a+4a-3)$

    Aufgabe 5 Begriffe lernen - DFU

    Gib die Terme mit einer Variablen $x$ bzw. mit zwei Variablen $x$ und $y$ an.

    1. Addiere zu einer Zahl 7 und multipliziere das Ergebnis mit der um 2 verkleinerten Zahl.
    2. Dividiere die Differenz zweier Zahlen durch das vierfache ihrer Summe.
    3. Dividiere die Summer zweier Zahlen durch das doppelte ihrer Differenz. Addiere zu diesem Quotienten das Produkt der beiden Zahlen und quadriere das Ergebnis.
    1. Ein Quader hat die Länge $2x$, die Breite $3x$ und die Höhe $x$. Gib den Term an, mit dessen Hilfe sich die Kantenlänge des Quaders berechnen läßt.
    1. $(x+7)(x-2)$
    2. $\frac{x-y}{4(x+y)}$
    3. $\left( \left(\frac{x-y}{4(x+y)}\right)+xy\right)^2$
    1. $4\cdot 2x + 4\cdot 3x + 4\cdot x$

    Aufgabe 6 KlaPoPuS

    Berechne.

    1. $(4x-x)^2 \cdot 3x-x$
    2. $(4x-x)^2 \cdot (3x-x)$
    1. $4x-x^2 \cdot 3x-x$
    2. $4x-(x^2 \cdot 3x-x)$
    1. $=9x^2\cdot 3x-x=27x^3-x$
    2. $=9x^2\cdot 2x=18x^3$
    1. $=4x-3x^3-x=3x-3x^2$
    2. $=4x-3x^3+x=5x-3x^2$

    Quiz 1 Teste dich!

    Wenn du gerade das Thema Gleichungen in Mathe hast, kannst Du hier testen wie fit du bist.

    $2x+3=x-2$
    $9x=7x-4$
    $6x-10=2x+14$
    $5x+4=3x+7$



    Aufgabe 7 Gleichungen lösen

    Löse die Gleichungen durch Umstellen nach $x$ auf.

    1. $x+3=-2x+9$
    2. $x-3=2x+9$
    1. $-x+3=-2(x+9)$
    2. $(x+3)\cdot3=-4x+23$
    1. $(x+3)(x+2)=$ $x^2-2x+9$
    2. $(x+3)(2x-2)=$ $2x^2-3x+9$
    1. $x=2$
    2. $x=-12$
    1. $x=-21$
    2. $x=2$
    1. $x=3/7$
    2. $x=15/7$


    Wortliste und Satzbausteine



    der Term, -e Mathematischer Ausdruck aus Zahlen und Rechenzeichen, wie $1+4$ oder $x+2$
    die Variable, -n Eine Variable wird als Buchstabe geschrieben und ist ein Platzhalter für eine beliebige Zahl.
    die Gleichung, -en zwei Terme werden gleichgesetzt: $x+3=2x-4$
    die Rechenregel, -n Eine Rechenregel (auch Algorithmus) ist eine Vorschrift beim Rechnen: $3+4=7$
    KlaPoPuS Die Rechenregel für Terme: KlaPoPuS - Klammer vor Potenz, vor Punkt, vor Strich
    der Koeffizient, -en In dem Term $7x$ wird die Zahl $7$ als Koeffizient bezeichnet.
    das Ausmulti­plizieren, - Beim Ausmultiplizieren wird der Koeffizient vor der Klammer mit jedem Glied in der Klammer multipliziert: $2(x+2)=2\cdot x+2\cdot 2$ $=2x+4$
    das Aus­klammern, - Beim Aus­klammern wird ein Koeffizient ausgeklammert. Dazu wird jeder Term durch diesen Koeffizienten geteilt. $2x+4=2(2x/2+4/2)$ $=2(x+2)$
    Multiplikation von Termen $x\cdot x=x^2$
    $2\cdot x\cdot x=2x^2$
    $2^2\cdot x^2=(2x)^2=4x^2$
    Addition von Termen $x+ x=2x$
    $2x+3x=5x$
    $x^2+2x^2=3x^2$
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