Photovoltaikanlage

Analytische Geometrie - Abstände und Winkel

Der kürzeste Abstand eines Punktes von einer Ebene oder Geraden, der Abstand zwischen Geraden, die Hesse'sche Normalform und Winkel zwischen Geraden und Ebenen werden erklärt.

1 Sicherheitsabstände

Für den Ofen einer Sauna, beim Fliegen oder für Raketen gelten besondere Sicherheitsabstände. Zum Berechnen des kürzesten Abstandes im Raum zu einem Objekt hilft uns die analytische Geometrie. Geht die Flugbahn einer Rakete nahe an einem Objekt vorbei bleibt die Frage: Wie knapp?

Hierzu nähern wir die Flugbahn durch eine Gerade g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + t\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ mit $t\in \mathbb{R}$ und geben den Objektpunkt mit P(2|2|2) an.

2 Abstand eine Punktes von einer Geraden
kürzester Abstand eines Punktes zur Ebene

Der kürzeste Abstand ist im Lotfußpunkt erreicht und den errechnen wir wie für den Parameter $t$, wenn gilt:

$$\left[\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + t \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0$$

Auflösen der Gleichung ergibt: $t=0,5$.
Einsetzen in die Gerade g liefert den Lotfußpunkt L=(2,5|1|1,5). Berechnet man den Richtungsvektor $\vec{PL}$, kann man mit $|\vec{PL}|$ den Abstand mit $d=\sqrt{1,5}$ bestimmen.

3 Abstand zueinander windschiefer Geraden
Kondensstreifen von Flugzeugen

Windschiefe Geraden laufen aneinander vorbei und kreuzen sich nicht. Der kürzeste Abstand zwischen den Geraden g und h besteht in den Lotpunkten G und H der beiden Geraden. Dabei steht die Verbindungsgerade $\vec{GH}$ senkrecht auf der Geraden g und h:

$\vec{GH}\cdot \vec{v_g}=0$ und $\vec{GH}\cdot \vec{v_h}=0$

Den Vektor $\vec{GH}$ berechnet man indem man die Gerade g von h abzieht, das Skalarprodukt berechnet und für die beiden Gleichungen so die beiden Parameter bestimmt. Durch Einsetzen der Parameter in g und h erhält man die beiden Lotpunkte G und H.

4 Abstand eines Punktes von einer Ebene
Möwe über dem Bodensee

Die Möwe ist am Punkt P=(2|1|1) extrem knapp über dem Wasser. Für die Wasserebene gilt E: $2x_1+x_2-x_3=2$.

  1. Normalenvektor und Lotgerade aufstellen:
    $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\:\:$ g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)$
  2. Schnitt von g mit E: $2(2+2t)+1+1t-(1-1t)$$=2 \:\:\Rightarrow t=...$
  3. Einsetzen von $t$ in Geradengleichung g, liefert den Lotpunkt L und somit kann der Abstand bestimmt werden.
5 Hesse'sche Normalform

Die Ebene $ax_1+bx_2+cx_3+d=0$ hat die Hesse'sche Normalform (HNF):

$$\frac{ax_1+bx_2+cx_3+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0$$
6 Winkel zwischen Gerade und Ebene
Fotovoltaikanlage

Die Sonnenstrahlen treffen unter einem bestimmten Winkel auf die Fotovoltaikpanels. Dabei ist der opitimale Winkel maßgebend für die Effizienz der Anlage.

Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform, z.B. $x_1+2x_2+3x_3=4$ und dem damit bekannten Normalenvektor $\vec{n}$. Die Gerade in Parameterform hat den Richtungsvektor $\vec{v}$. Da der Normalenvektor 90 ° versetzt zur Ebene liegt, berechnen wir den Winkel wie folgt:

$$\sin \varphi = \frac{\vec{n}\cdot \vec{v}}{|\vec{n}|\cdot |\vec{v}|}$$
7 Winkel zwischen zwei Ebenen

In dem Video wird eine Übersicht zur Winkelberechnung zwischen: zwei Richtungsverktoren, zwei Geraden, Gerade und Ebene sowie zwei Ebenen gegeben.

Ideen:
D. Jung, danieljung.education
H. Griesel et al, "Elemente der Mathematik", Bildungshaus Schulbuchverlage, 2010



Aufgabe 1 Abstand Punkt zu Gerade

Berechne den kürzesten Abstand und gib den Lotfußpunkt an.

  1. g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, P(4|1|4)
  2. g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$, P(2|1|1)

Berechne die fehlende Koordinate $x$ und gib den Lotfußpunkt an.

  1. g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$, P(2|2|$x$), $d=4$

Berechne den kürzesten Abstand und gib den Lotfußpunkt an.

  1. L(4|1|1), $d=3$
  2. L$\left(\frac{22}{9}|\frac{11}{9}|\frac{4}{9}\right)$, $d=\sqrt{\frac{45}{81}}$

Berechne die fehlende Koordinate $x$ und gib den Lotfußpunkt an.

  1. P(2|2|$\pm \sqrt{24}$), L($2+0,5x$|4|$0,5x$)


Aufgabe 2 Abstand windschiefer Geraden

Kondensstreifen

Gegeben sind die beiden Geraden g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ und h: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$.
  1. Zeige, dass die beiden Geraden windschief sind.
  2. Bestimme den kürzesten Abstand der beiden Geraden.
  3. Bestimme die beiden Lotpunkte G und H.
  1. 2 Geraden sind windschief zueinander, wenn sie sich weder schneiden noch parallel sind. Durch Gleichsetzen der Geraden erhält man eine falsche Aussage ($s=-2$ und $s=10$) und außerdem sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen voneinander. Somit sind die Geraden windschief zueinander.
  2. Durch Abziehen der beiden Geraden voneinander erhält man den Gemeinlotvektor $\vec{GH}$ in Abhängigkeit der Parameter $s$ und $t$:
    $\vec{GH}=\left(\begin{array}{c} -5+t+s \\ -3-t+s \\ -7+t \end{array}\right)$
    Durch lösen der Gleichung $\vec{GH}\cdot \vec{v_g}=0$ und $\vec{GH}\cdot \vec{v_h}=0$ erhält man für die Parameter den Wert: $s=4$ und $t=3$.
    Der Abstand beträgt somit: $|\vec{GH}|=\sqrt{24}$
  3. Durch Einsetzen von $s$ und $t$ in die Geradengleichung erhält man die Lotpunkte: G(2|1|7), H(4|-1|3)

Aufgabe 3 Abstand windschiefer Geraden - Der Stuhl

  1. Stelle die Geradengleichung für g und h auf.
  2. Zeige, dass die beiden Geraden windschief sind.
  3. Bestimme den kürzesten Abstand der beiden Geraden mit Hilfe des Skalarprodukts
  4. Bestimme die beiden Lotpunkte G und H.
Skizze Stuhl

  1. g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 60 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -40 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ und h: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 50 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 0 \\ 40 \\ 0 \end{array}\right)$
  2. Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen erhält man die unwahre Aussage: $60=50$. Da auch die Richtungsverktoren keine Vielfachen voneinander sind, gelten die beiden Geraden als windschief.
  3. Durch Abziehen der beiden Geraden voneinander erhält man den Gemeinlotvektor $\vec{GH}$ in Abhängigkeit der Parameter $s$ und $t$:
    $\vec{GH}=\left(\begin{array}{c} 40s \\ 40t \\ -10 \end{array}\right)$
    Durch lösen der Gleichung $\vec{GH}\cdot \vec{v_g}=0$ und $\vec{GH}\cdot \vec{v_h}=0$ erhält man für die Parameter den Wert: $s=0$ und $t=0$.
    Der Abstand beträgt somit: $|\vec{GH}|=10$
  4. Durch Einsetzen von $s$ und $t$ in die Geradengleichung erhält man die Lotpunkte: G(0|0|60), H(0|0|50)

Entspann dich erstmal ...


Hier eine Flugzeugaufgabe.

von Daniel Jung


Aufgabe 4 Abstand Punkt zu Ebene

Der Saunaofen hat seinen höchsten Punkt an der Stelle P=(1|1|1,5). Der Verlauf der Decke wird mit der Ebene E: $x_1-x_2-2x_3=0,5$ beschrieben.
  1. Bestimme den Normalenverktor der Ebene.
  2. Stelle die Lotgerade auf.
  3. Bestimme den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Decke. Wie nennt man diesen Punkt?
  4. Berechne den Abstand.
Sauna

  1. Normalenvektor: $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right)$
  2. Lotgerade g: $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1,5 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right)$
  3. Lotpunkt: L(||)
  4. Abstand: $d=$



Aufgabe 5 kürzester Abstand von Punkt und Ebene in Parameterform

Gegeben ist der Punkt P(4|3|2) und die Ebene E: $\vec{x}=\left(\hspace{-0.5mm}\hspace{-0.5mm}\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\hspace{-0.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$.

  1. Bestimme die Normalenform der Ebene.
  2. Bestimme die Koordinatenform der Ebene.
  3. Bestimme die Gleichung für die Lotgerade, die durch den Punkt P geht.
  1. Bestimme den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene: den Lotpunkt l.
  2. Bestimme den kürzesten Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene.
  1. Normalenvektor:
    $\vec{n}=\left(\hspace{-0.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\hspace{-0.5mm}\right) \times \left(\hspace{-0.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\hspace{-0.5mm}\right)=\left(\hspace{-0.5mm}\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\hspace{-0.5mm}\right)$
    Normalenform:
    E: $\left[\vec{x}-\left(\hspace{-0.5mm}\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\hspace{-0.5mm}\right)\right] \cdot \left(\hspace{-0.5mm}\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\hspace{-0.5mm}\right)=0$
  2. Lösen der Normalenformgleichung liefert die Koordinatenform:
    E: $x_1+2x_2-4x_3=1$
  3. Lotgerade:
    g: $\vec{x}=\left(\hspace{-0.5mm}\hspace{-0.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}\hspace{-0.5mm}\right) + r\cdot \left(\hspace{-0.5mm}\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -4 \end{array}\hspace{-0.5mm}\right)$
  1. Lotpunkt: L$\left(\frac{83}{21}|\frac{61}{21}|\frac{46}{21}\right)$
  2. Abstand: $|\vec{LP}|=\frac{7}{21}$


Wortliste und Satzbausteine



der Lotfußpunkt Punkt auf einer Ebene in der eine schneidende Gerade senkrecht steht
Hesse'sche Normalform Eine weitere Darstellungsform für eine Ebene, aus der der Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt berechnet werden kann.
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