Mädchen auf einem Balkon

Lineare Gleichungssysteme

Hier wird dir erklärt was ein lineares Gleichungssystem ist und wie man es mit dem Einsetzungsverfahren, dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren löst.

1 Die Frage nach dem Ort
Balkon mit Mädchen

Nehmen wir an ein Kind sei auf dem Balkon. Die Mutter ist 21 Jahre älter als das Kind. In 6 Jahren wird die Mutter 5mal älter als das Kind sein. Wieso sollte das Kind nicht auf dem Balkon sein?
(Idee: P. Wunderlich, Seminar Weingarten)

Um solche und ähnliche Fragen beantworten zu können, erstellt man aus der Aufgabenstellung zwei Gleichungen, erhält ein Gleichungssystem und löst dieses.

Hierzu gibt es drei bekannte Verfahren: Das Einsetzungs-, das Gleichsetzungs- und das Additionsverfahren.

2 Zwei Gleichungen erstellen

Die Mutter ist 21 Jahre älter als das Kind. $\Rightarrow$ Gleichung 1: $y=x+21$

jetzt Bsp. 1 Bsp. 1 allg.
Kind 1 4 x
Mutter: y 1+21 4+21 x+21

In 6 Jahren ist die Mutter 5mal älter als das Kind $\Rightarrow$ Gleichung 2: $y+6=5x+30$

in 6 Jahren Bsp. 1 Bsp. 1 allg.
Kind 1+6=7 4+6=10 x+6
Mutter: y+6 (1+6)5 (4+6)5 (x+6)5
3 Einsetzungsverfahren

Man schreibt die beiden Gleichungen untereinander zu einem Linearen Gleichungssystem (LGS):
$\left| \begin{array}{ccc} x+21 & = & y \\ 5x+30 & = & y+6 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} (1)\\ (2)\\ \end{array}$

Beim Einsetzungsverfahren setzt man ei­ne Gleichung in die andere ein und löst dann nach einer Variablen auf:
$\begin{align} 5x+30 &= (x+21)+6~~| -30-x\\ 4x &= -3~~~~~~~~~~~~~~~~~~| :4\\ x &= -0,75 \\ \end{align}$

Durch Einsetzen von $x=-0,75$ in Gleichung (1) erhält $y=20,25$.

Demnach ist die Mutter 20,25 Jahre alt und das Kind mit -0,75 Jahren noch gar nicht geboren.

Zum Lösen eines LGS benötigt man pro unbekannter Variable eine Gleichung.

4 Gleichsetzungs­verfahren
Waage

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach der identischen unbekannten Variablen oder einem Term umgestellt und dann gleichgesetzt.

$\left| \begin{array}{ccc} x+21 & = & y \\ 5x+30 & = & y+6 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} +6\\ \\ \end{array} \begin{array}{c} \Rightarrow \\ \end{array}$ $\left| \begin{array}{ccc} x+27 & = & y+6 \\ 5x+30 & = & y+6 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \\ \end{array}$
$$\Rightarrow 5x+30=x+27~~~|-x-30$$ $$x=-0,75$$
5 Additionsverfahren
Addition

Das Additionsverfahren ist häufig eines der schnellsten Verfahren und eignet sich auch gut für Gleichungssysteme mit drei oder mehr Unbekannten zu lösen.

$\left| \begin{array}{ccc} x+21 & = & y \\ 5x+30 & = & y+6 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \cdot (-1) \\ \end{array} \begin{array}{c} \Rightarrow \\ \end{array}$ $\left| \begin{array}{ccc} -x-21 & = & -y \\ 5x+30 & = & y+6 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} (1)+(2)\\ \end{array}$
$$\Rightarrow 4x+9=6~~~|-3~~|:4$$ $$x=-0,75$$
6 Addition - Matrix
Addition - Matrix

Bei dem Additionsverfahren nach Gauß wird zeilenweise so multipliziert und ad­diert, dass die Gleichungen in Dreiecks­form gebracht werden. Dazu schreibt man die Gleichungen in einer Matrix.

$\left| \begin{array}{ccc} 4x+2y+4z & = & 31 \\ 2x+3y+z & = & 17 \\ 8x+5y+z & = & 40 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \begin{array}{c} \Rightarrow \\ \end{array}$ $\left| \begin{array}{ccc} 4x+2y+4z & = & 31 \\ -4y+2z & = & -3 \\ -26z & = & -91 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \end{array}$

Durch Einsetzen erhält man die Werte der drei Variablen: $\Rightarrow z=3,5~~|~~y=2,5~~|~~x=3$.

Idee: H. Lang, Elektronikschule Tettnang



Aufgabe 1

Löse folgende Gleichungssysteme mit dem Einsetzungs- oder Geleichsetzungsverfahren. Löse falls möglich vorteilhaft indem du Terme einsetzt.


  1. $\begin{align} x+2&=y \\ -x+4 &=2y \end{align}$


  2. $\begin{align} y-2&=x \\ y+x &=1 \end{align}$


  3. $\begin{align} 2y-6x&=-10 \\ 3+2x &=2y \end{align}$


  4. $\begin{align} 10x+12y&=3 \\ 3y+2 &=10x \end{align}$


  1. $\begin{align} 5-4x&=y\\ 7-4x &=2y \end{align}$


  2. $\begin{align} 5x+3&=3y\\ y &=5x-4 \end{align}$


  3. $\begin{align} 8+3y&=x\\ 5x &=y+7 \end{align}$

  1. $L=\{0;2\}$
  2. $L=\{-0,5;1,5\}$
  3. $L=\{\frac{13}{4};\frac{19}{4}\}$
  4. $L=\{\frac{11}{50};\frac{1}{15}\}$
  5. $L=\{\frac{3}{4};2\}$
  6. $L=\{\frac{9}{5};4\}$
  7. $L=\{\frac{13}{14};-\frac{33}{14}\}$

Aufgabe 2 Additionsverfahren

Löse folgende Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren.


  1. $\begin{align} y+x&=0 \\ y-x &=2 \end{align}$


  2. $\begin{align} y-2x&=-4 \\ y+1/2x &=1 \end{align}$


  3. $\begin{align} 2y-6x&=-10 \\ y+1/3x &=5 \end{align}$


  1. $\begin{align} 10a+12b&=38 \\ 15a+2b &=19,4 \end{align}$


  2. $\begin{align} 5-4a&=b\\ 7a-3b &=51,5 \end{align}$


  3. $\begin{align} 2x-3y&=4\\ 4x+7y &=2 \end{align}$


  1. $\begin{align} 6x-3y&=12\\ 24x+9y &=3 \end{align}$

  1. $L=\{ (-1;1)\}$

  2. $L=\{ (2;0)\}$

  3. $L=\{ (3;4)\}$

  4. $L=\{ (0,98;2,35)\}$

  5. $L=\{ (3,5;-9)\}$

  6. $L=\{ (\frac{17}{13};-\frac{6}{13})\}$

  7. $L=\{ (\frac{13}{14};-\frac{15}{7})\}$


Aufgabe 3 Gleichungssystem mit 3 Variablen

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren nach Gauß.

  1. $$\begin{align} 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 &= 3 \\ -x_1 + 2x_2 + 5x_3 &= 2 \\ 4x_1 + x_2 + x_3 &= 7 \\ \end{align}$$
  2. $$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 &= 4 \\ 2x_1 - 4x_2 + 6x_3 &= 8 \\ 0,5x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ \end{align}$$
  1. $$\begin{align} 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 &= 20 \\ 3x_1 + 2x_2 + 5x_3 &= 22 \\ 4x_1 + 5x_2 + x_3 &= 17 \\ \end{align}$$
  2. $$\begin{align} x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 16 \\ 2x_1 + x_2 + 4x_3 &= 19 \\ 3x_1 + 4x_2 + x_3 &= 26 \\ \end{align}$$
  1. $$\begin{align} 3/4a - 1/2b + 4c &= 1,5 \\ 1/2a + 4/3b - 8c &= -1 \\ 3a \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: - 2c &= 1 \\ \end{align}$$
  2. $$\begin{align} -x + 3y - 2z &= -3 \\ -2x + 5y - 7z &= 13 \\ -2x - 8y + 7z &= -5 \\ \end{align}$$

  1. Verkürzte Matrixschreibweise:
    $ \Leftrightarrow \left| \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 4 & 3 \\ -1 & 2 & 5 & 2 \\4 & 1 & 1 & 7 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ I+II\cdot 2\\ I\cdot(-2)+III\\ \end{array} \\ \Leftrightarrow \left| \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 7 & 14 & 7 \\0 & -5 & -7 & 1 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \\ II\cdot 5+III\cdot 7\\ \end{array} \\ $

    Dreiecksform:
    $ \Leftrightarrow \left| \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 7 & 14 & 7 \\0 & 0 & 21 & 42 \\ \end{array} \right| \begin{array}{c} \\ \\ \\ \end{array} $

    Durch Lösen der drei Gleichungen erhält man die Lösungsmenge:
    $\begin{align} 21x_3 = 42 \Leftrightarrow x_3=2\\ 7x_2 + 14\cdot 2 = 7 \Leftrightarrow x_2=-3\\ 2x_1 + 3\cdot (-3) + 4 \cdot 2 = 3 \Leftrightarrow x_1=2\\ \end{align} \\ L=\left\{ 2;-3;2 \right\}$

  1. $L=\left\{ -6;4;6 \right\}$
  2. $L=\left\{ 1;2;3 \right\}$
  3. $L=\left\{ 4;3;2 \right\}$
  4. $L=\left\{ 2/3;2;1/2 \right\}$
  5. $L=\left\{ 1;-4;-5 \right\}$

Aufgabe 4

Vereinfache und ermittle die Lösung mit dem Additionsverfahren.


  1. $\begin{align} 6x+y &=-2y-3 \\ -2x-4y &=2x-4 \end{align}$


  2. $\begin{align} 11x-7y&=3x+2y+22 \\ 8x+3y &=5x+8y+5 \end{align}$


  1. $\begin{align} 2(x+3y)-6y&=-4 \\ 15y-3(x+5y)&=6 \end{align}$


  2. $\begin{align} 3(4x+3y)&=2x+7y+11 \\ 4x-8y &=-2(-2x+9y)+40 \end{align}$


  1. $\begin{align} 35y+10x&=-7x+157\\ 21y+17x &=-10y+141 \end{align}$

  1. $L=\{ -2|3\}$

  2. $L=\{ 5|2\}$

  3. $L=\{ -2|y\}$

  4. $L=\{ 0,3|4\}$

  5. $L=\{ 1|4\}$


Entspann dich erst mal ...

Pfauenauge

Der Superschmetterling

Zwei Züge fahren mit jeweils 20 km/h aufeinander zu. Sie haben einen Abstand von 200 km. Zwischen ihnen fliegt ein Superschmetterling mit 50 km/h ständig hin und her. Wie viele km legt der Schmetterling zurück, bis er schließlich von den beiden Zügen zerquetscht wird?

Aufgabe 5 Anwendungsaufgabe

Zwei Schnecken haben einen Abstand von 36,4 cm. Die eine legt 9,3 cm pro Minute, die andere lediglich 3,7 cm pro Minute zurück. Sie kriechen in die identische Richtung und die langsame von ihnen hat den Vorsprung. Wann treffen sich die beiden?

Schnecke

$\begin{align} y &=9,3x \\ y &=3,7x+36,4 \end{align}$

Sie treffen sich nach 6,5 Minuten bei einer Distanz von 60,45 cm.


Aufgabe 6 Anwendungsaufgabe

Stromzähler

Ein Stromversorger bietet zwei Tarife an:

Tarif Basic Advanced
Monatlicher Grundpreis 4,50 EUR 10,50 EUR
Arbeitspreis je kWh 0,25 EUR 0,18 EUR

Ab welchem monatlichen Verbrauch lohnt sich ein Wechsel vom Tarif Basic zu Tarif Advanced?

$\begin{align} y &=0,25x + 4,5 \\ y &=0,18x+10,5 \end{align}$

Ab einem monatlichen Verbrauch von mehr als 85,71 kWh lohnt sich der Wechsel.


Aufgabe 7 weitere Anwendungsaufgaben

Ideen von Schülern der Klasse 8 CDSC

  1. Freddi und Seniorita Patrica planen ein Autorennen. Seniorita Patrica schummelt mit einem Vorsprung von 60 m. Freddi ist dafür aber schneller und legt pro Minute 30 m zurück. Seniorita Patrica hingegen schafft nur 15 m/min. Das Rennen dauert 7 Minuten. Wird Freddi Seniorita Patrica noch überholen? Wenn ja, wann treffen sich die beiden? Nils
  2. Herr Frodo und Herr Sam essen Tüften. Während Herr Frodo 16 Tüften pro Minute schafft, isst Herr Sam 13 Tüften pro Minute. Dafür hat Herr Sam 42 Tüften Vorteil. Bei der wievielten Tüfte holt Herr Frodo Herr Sam ein? Geonwoo
  3. Timmi wird von einem verrückten Lehrer gejagt. Timmi nimmt ein Fahrrad und fährt mit 30 km/h und hat einen Vorsrprung von 4 km. Der Lehrer raßt ihm mit 130 km/h hinterher. Nach wie viel km sollte sich Timmi in Sicherheit gebracht haben? Akin
  4. Ein Mercedes Benz SLK und ein Bugatti Veyron machen ein Rennen. Der Mercedes Benz mit 235 km/h hat einen Vorsprung von 500 km. Der Bugatti raßt mit 431,07 km/h hinter her. Wann wird der Mercdes vom Bugatti überholt? Jonathan
  5. Zwei Kinder essen je einen Hamburger. Max hat schon 16 % seines Hamburgers gegessen. Für einen Hamburger benötigt er 9  Minuten. Timo beginnt jetzt erst zu essen, ist jedoch 1,7mal schneller. Wer ist früher fertig, Max oder Timo? Vanessa
  6. Ein Ferrari und ein Lamborghini machen ein Wettrennen. Der Ferrari erhält 5 Minuten Vorsprung. Der Lamborghini fährt mit 330 km/h und der Ferrari mit 280 km/h. Wann treffen sie sich? Seth
  7. Die Hauptstädte von Syrien und Israel haben einen Abstand von 363,33 km. Syrien feuert eine Rakete mit 760 km/h ab. 5 Minuten später hat der Radar die Rakete erfasst und Israel feuert eine Abwehrrakete ab, welche 1000 km/h fliegt. Wann und wo treffen sich beide Raketen? Hinweis: Sie fliegen sich entgegen. Josia
Autorennen Skizze

  1. Mathematisieren: x ist die Zeit in Minuten, y ist die Strecke in m.

    $\begin{align} y &=15x + 60 \\ y &=30x \end{align}$

    Antwort: Freddi überholt Seniorita Patrica nach 4 Minuten bei 120 m.

  2. Mathematisieren: x ist die Zeit in Minuten, y ist die Anzahl an Tüften.

    $\begin{align} y &=13x + 42 \\ y &=16x \end{align}$

    Antwort: Herr Frodo holt Herr Sam bei der 224 Tüfte ein.

  3. Mathematisieren: x ist die Zeit in Stunden, y ist die Strecke in km.

    $\begin{align} y &=30x + 4 \\ y &=130x \end{align}$

    Antwort: Nach 5,2 km sollte sich Timmi in Sicherheit gebracht haben. Er dafür 2,4 Minuten Zeit.

  4. Antwort: Sie treffen sich nach 2,55 Stunden und 1099 km.

  5. Mathematisieren: x ist die Zeit in Minuten, y ist die Menge in %.

    $\begin{align} y &=1/9x + 0,16 \\ y &=17/90x \end{align}$

    Antwort: Tim holt Max bei 68/175, das sind 38,9 % ein. Somit ist Tim früher fertig. Er benötigt dafür 72/35 Minuten.

  6. Mathematisieren: x ist die Zeit in Stunden, y ist die Strecke in km. Vorsprung: 5 Minuten = 5/60 Stunden, das entspricht einer Strecke von 70/3 km.

    $\begin{align} y &=280x + 70/3 \\ y &=330x \end{align}$

    Antwort: Der Lamborghini überholt den Ferrari nach 7/15 Stunden. Das sind 28 Minuten bei 154 km.

  7. Mathematisieren: x ist die Zeit in Stunden, y ist der Abstand in km. Vorsprung: 5 Minuten = 5/60 Stunden, das entspricht bei einer Geschwindigkeit von 760 km/h einem Vorsprung von 63,33 km. Somit schrumpft der Abstand auf 300 km. Man achte auf das Vorzeichen, da die syrische Rakete in die umgekehrte Richtung fliegt.

    $\begin{align} y &=-760x + 300 \\ y &=1000x \end{align}$

    Antwort: Die beiden Raketen treffen sich nach 0,17 Stunden, das entspricht 10,2 Minuten. Sie sind dabei 170 km von der israelischen Hauptstadt entfernt.


Aufgabe 8 Rätsel

Schafe

Treffen sich zwei Schäfer. Sagt der eine:" Wenn Du mir ein Schaf gibst, habe ich doppelt so viele wie du." Erwidert der andere: "Ist doch Quatsch. Gib Du mir eins von Deinen, dann haben wir beide gleich viel." Wie viele Schafe haben beide? Idee: T. Wolf

$\begin{align} x+1 &= 2(y-1) \\ x-1 &=y+1 \end{align}$

Durch Lösen des Gleichungssystem findest Du die Antwort.


Wortliste und Satzbausteine



das Gleichungs­system, -e Ein Gleichungs­system besteht aus mindesetens zwei Gleichungen mit zwei unbekannten Variablen. Um die unbekannten Variablen bestimmen zu können, benötigt man in einem Gleichungssystem pro unbekannter Variable eine Gleichung.
das Einsetzungs­verfahren, ~ Beim Einsetzungs­ver­fahren wird eine Gleichung nach einer unbekannten Variable oder einem passenden Term umgestellt und dann in die andere Gleichung eingesetzt.
Gleichsetzungs­verfahren, ~ Beim Gleichsetzungs­verfahren werden beide Gleichungen nach der identischen unbekannten Variablen oder einem Term umgestellt und dann gleichgesetzt.
das Additions­verfahren, ~ Beim Additions­verfahren werden beide Gleichungen so miteinander addiert, dass eine Variable entfällt. Mit diesem Verfahren lassen sich auch Gleichungssysteme mit drei oder mehr Variablen strukturiert lösen.
das Gaußsche Eliminations­verfahren, ~ Das Gaußsche Eliminations­verfahrenein (auch Additionsverfahren nach Gauß) ist ein systematisches Additions­verfahren
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