Der Malermeister
Ein Malermeister erhält die Aufgabe eine Wand zu streichen.
Er beginnt bei einem Meter auf einer Höhe von einem Meter. Verdoppelt er den Abstand auf 2 m wird die Höhe 4mal kleiner. Verdreifacht er den Abstand, wird die Höhe 9mal kleiner u.s.w.
Das Besondere: die Wand ist unendlich lang. So ist der Malermeister etwas irritiert, weil er keine Ahnung hat für wie viel Quadratmeter er Farbe kaufen soll. Müsste er nicht sogar unendlich viel Farbe kaufen, da die Wand unendlich lang ist? Können Sie ihm helfen?
... welche die Fläche in der Höhe begrenzt, ist umgekehrt quadratisch proportional.
Die Fläche unter der Kurve berechnet sich wie folgt:
$$A=\int f(x) dx=\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = \lim_{x\to\infty}\left( -\frac{1}{x}\right) - \left( -\frac{1}{1}\right) =0+1=1 $$Der Malermeister benötigt somit nur Farbe für eine Fläche von einem Quadratmeter. Und dennoch: Er wird wohl nie fertig werden.
Idee von P. Wunderlich, Seminar Weingarten
Schon erstaunlich, dass Flächen die ins unendliche reichen endlich sein können. Genau so kann man eine endliche Strecke unendlich oft unterteilen, indem man die Strecke halbiert, davon wieder die Hälfte nimmt u.s.w.
Vielleicht verstehen wir jetzt Albert Einstein besser, der an der Unendlichkeit des Universums Zweifel hatte:
"Zwei Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit, aber bei dem Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher."