Der goldene Schnitt - Quadratische Gleichungen
Eine Biene sitzt auf einer Alpenrose. Beim genauen Hinschauen bewundern wir deren Körperbau. Der Hinter- und Vorderleib scheinen ein ganz bestimmtes Größenverhältnis zueinander zu haben.
Wir messen nach:
Der lange Hinterleib $l=0,89~cm$, der kurze Voderleib $k=0,55~cm$, Gesamtlänge $g=1,44~cm$.
Nun bildet man aus diesen Werten Verhältnisse:
$$\frac{l}{k}=\frac{0,89}{0,55}=1,62~~~~~\text{und}~~~~~\frac{g}{l}=\frac{1,44}{0,89}=1,62$$
Erstaunlich, nicht wahr? Wir wollen es genauer wissen:
Wir erhalten die quadratische Gleichung $x^2-x=1$. Wie löst man diese? Ganz einfach: Man nutzt die Kenntnis der binomischen Formel: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
Quadratische Ergänzung:
Vergleichen wir $x^2-1x=1$ mit $a^2-2ab+b^2$ folgt: $1=2b$.
Da es keine negativen Längen gibt, gibt es nur eine Lösung. Es ist die Goldene Zahl.
Nur die positivie Lösung ist gültig:
$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618...$$In der Natur kommt der goldene Schnitt nicht nur bei Bienen oder Hummeln vor. Auch das Pferd bildet, wenn man seine Länge bei den Vorderbeinen teilt, den goldenen Schnitt. Neben dem Menschen erkennt man den goldenen Schnitt auch an der Winkelanordnung der Blütenblätter bei Wildrosen.
So hat der goldene Schnitt auch in der Architektur Einzug gefunden. Viele alte Bauwerke, wie Tempel oder die Bundeslade, haben in bestimmten Größenverhältnissen den Goldenen Schnitt. Liegt das Verhältnis höher als 1,62, wie bspw. bei dem Bildformat 16:9, wird es vom Menschen als modern wahrgenommen. Liegt das Verhältnis darunter wirkt es eher traditionell.
Goldener Schnitt
Der Hinter- und Vorderleib der Biene scheinen ein ganz bestimmtes Größenverhältnis zueinander zu haben. Es sieht sehr harmonisch aus, aber steckt da mehr dahinter?
Wir messen nach:
Der lange Hinterleib $l=0,89~cm$, der kurze Voderleib $k=0,55~cm$, Gesamtlänge von $g=1,44~cm$.
Nun bildet man aus diesen Werten Verhältnisse:
$$\frac{l}{k}=\frac{0,89}{0,55}=1,62$$ und $$\frac{g}{l}=\frac{1,44}{0,89}=1,62$$
Erstaunlich, nicht wahr? Wir wollen es genauer wissen:
Wir wollen es genauer wissen:
$\begin{align} \frac{l}{k} &= \frac{g}{l} &&|g=l+k\\ \frac{l}{k} &= \frac{l+k}{l} &&|\text{umformen}\\ \frac{l}{k} &= 1+\frac{k}{l} &&|\frac{l}{k}=x\\ x &= 1+\frac{1}{x} &&|\cdot x\\ x^2 &= x+1\\ \end{align}$
Wir erhalten die quadratische Gleichung $x^2-x=1$. Wie löst man diese? Ganz einfach: Man nutzt die Kenntnis der binomischen Formel: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
Man stellt die Gleichung so um, dass man auf der linken Seite der Gleichung eine binomische Formle hat.
Quadratische Ergänzung
Vergleichen wir $x^2-1x=1$ mit $a^2-2ab+b^2$ folgt: $1=2b$.
Da es keine negativen Längen gibt, gibt es nur eine Lösung. Es ist die Goldene Zahl.
Nur die positivie Lösung ist gültig:
In der Natur kommt der goldene Schnitt nicht nur bei Bienen oder Hummeln vor. Auch das Pferd bildet, wenn man seine Länge bei den Vorderbeinen teilt, den goldenen Schnitt.
Teilt man die Gesamtgröße eines Menschen durch dessen Bauchnabelhöhe kommt auch hier in etwa die goldene Zahl raus.
Beim genauen betrachten von Pflanzen und Blütenblättern fällt auch hier der goldene Schnitt auf. Die Winkelanordnung der einzelnen Blütenblättern spiegeln ihn wieder.
Teilt man die 360 ° durch die goldene Zahl erhält man einen Winkel von 222,5 °. So wird der Kreis aufgeteilt: Der lange Winkel 222,5 ° und die kurze Seite 137,5 °. Durch diese Anordnung erhalten die Blätter das Optimum an Licht.
Architektur
So hat der goldene Schnitt auch in der Architektur Einzug gefunden. Viele alte Bauwerke haben in bestimmten Höhenverhältnissen den Goldenen Schnitt.
Sehr häufig findet man ihn bei griechischen Tempeln, aber auch schon die Bundeslade in den alten Geschichtsbüchern der Bibel weist diese Maße auf.
Möbelbau
Auch im Möbelbau findet man den goldenen Schnitt.
Liegt das Verhältnis höher als 1,61, wie bspw. bei dem Bildformat 16:9, wird es vom Menschen als modern wahrgenommen. Liegt das Verhältnis darunter wirkt es eher traditionell. Sehr schön kann man das an Fensterfronten von modernen und alten Häusern beobachten.
Wir sehen, wer in der Lage ist quadratische Gleichungen zu lösen, kann ein Teil der Rätsel unserer Erde lösen. Ideen von:
M. Holzapfel: micheal-holzapfel.de
Wikipedia: wikipedia.org
Uwe Alfer: alferillu.de