grafische Erklärung der binomischen Formeln

Binomische Formeln

14.03.2015

Die Binomischen Formeln lassen sich anschaulich an verschieden großen Rechtecken und Quadraten erklären.

1. Binomische Formel: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 2. Binomische Formel: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
3. Binomische Formel: $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Aufgabe 1

Berechne.

  1. $(x+6)^2$

  2. $(9-b)^2$

  3. $(3-2p)\cdot(3+2p)$

  1. $x^2+12x+36$

  2. $81-18b+b^2$

  3. $9-4p^2$



Aufgabe 2

Vertausche sinnvoll und berechne mit einer binomischen Formel.

  1. $(-0,5+3)\cdot (3+0,5)$

  1. $(3+0,5)\cdot (3-0,5)=9-0,25$



Aufgabe 3

Verändere die Terme, dass sie mit Hilfe der binomischen Formeln ergänzt werden können. Hinweis: Mache den Binomtest.

  1. $a^2-24a+25$

  2. $x^2+12xy+64y^2$

  3. $9x^2+42xy+16y^2$

  4. $36n^2+180nm+81m^2$

  1. $(a-5)^2=a^2-10a+25$

  2. $(x+8y)^2=x^2+16xy+64y^2$

  3. $(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$

  4. $(6n+9m)^2=36n^2+108nm+81m^2$

Aufgabe 4

Zerlege in ein Produkt.

  1. $a^2-14ab+49b^2$

  2. $\frac{1}{64}n^2-\frac{16}{25}$

  1. $(a-7b)^2$

  2. $\left(\frac{1}{8}n-\frac{4}{5}\right)\cdot \left(\frac{1}{8}n+\frac{4}{5}\right)$



Aufgabe 5

Ergänze die Lücken sinnvoll.

  1. $(5a+~...~)(~...~-~...~)=~...~-9b^2$

  2. $(~...~+~...~)^2=81+36p+~...$

  1. $(5a+3b)(5a-3b)=25a^2-9b^2$

  2. $(9+2p)^2=81+36p+4p^2$



Aufgabe 6

Finde mithilfe der binomischen Formeln die quadratische Ergänzung.

  1. $x^2+20x+~$

  2. $n^2-10n+~$

  3. $4x^2+16x+~$

  4. $n^2+12nm+~$

  1. $x^2+20x+100$

  2. $n^2-10n+25$

  3. $4x^2+16x+16$

  4. $n^2+12nm+36m^2$



Entspann dich erst mal ...


Der Mathesong zu den Binomischen Formeln
von DorFuchs

(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b²

Woher die Formeln kommen, lässt sich leicht verstehen, denn:
nehm ich was hoch 2, muss ich's mit sich selbst mal nehmen.
Multipliziere ich da alle Teile einzeln aus,
dann kommt da auch schon fast die erste Formel raus.
Und nehm ich in der selben mal ein Minus statt dem Plus,
dann ändert sich da nur ein einziges Zeichen am Schluss.
Wenn wir uns a+b mal a-b ansehn,
dann bleibt da a²-b² stehn.
Die drei Gleichungen, die wir da grad erhalten haben,
tragen -- wie soll es anders sein -- einen eigenen Namen,
doch weil es ja schon im Titel von dem Lied hier steht,
ist klar, dass es um die Binomischen Formeln geht.

(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b²

Und jeder, der lernt oder auch studiert,
und dabei eine Summe mal quadriert,
sollte wissen, dass es niemals stimmt,
wenn man nur die Summe der Quadrate der Summanden nimmt, denn:

(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b²

Aufgabe 7 Binomische Formeln und Terme

Vereinfache soweit wie möglich.

  1. $(x+2)^2-(x+2)(2x+3)$
  2. $-(3-x)^2+(2x+4)(-2x-3)$
  3. $(12x-4)^2-2(x+3)+4$
  1. $(x+y)^2-(x+y)(x-y)$
  2. $(2a-4b)^2+2(a-2b)$
  3. $(-x+2)^2-(-2x-4)-3$

  1. $-x^2-3x-2$
  2. $-5x^2-8x-21$
  3. $144x^2-98x+14$
  1. $2xy+2y^2$
  2. $4a^2+2a-16ab-4b+16b^2$
  3. $x^2-2x+5$

Aufgabe 8 Gleichungen und binomische Formeln

Löse die Gleichungen nach $x$ auf.

  1. $(x+4)^2=(x-2)^2$
  2. $(0,2x+4)^2=0,04x^2-x+32$
  3. $\left(x-\mbox{$^1$/$_2$}\right)^2=x^2-2x+\mbox{$^1$/$_2$}$
  1. $(x-3)(x+3)=x^2-2x+3$
  2. $(0,7x+2)^2=0,49x^2-2x+0,5$
  3. $\left(\mbox{$^1$/$_3$}x+2\right)^2=\mbox{$^1$/$_9$}x^2-x+3$
  1. $-(x+7)^2=-x^2-7x$
  2. $-(0,5x+4)^2=-0,25x^2+0,75x+2$
  3. $-\left(\mbox{$^1$/$_2$}x+\mbox{$^1$/$_4$}\right)^2=-\mbox{$^1$/$_4$}x^2+\mbox{$^1$/$_{10}$}x+\mbox{$^1$/$_5$}$

  1. $x=-1$
  2. $x=6,15$
  3. $x=-\mbox{$^1$/$_4$}$
  1. $x=6$
  2. $x=-0.73$
  3. $x=-\mbox{$^3$/$_7$}$
  1. $x=-7$
  2. $x=-3,79$
  3. $x=-\mbox{$^3$/$_4$}$

Wortliste und Satzbausteine



der Term, -e Mathematischer Ausdruck aus Zahlen und Rechenzeichen, wie $1+4$ oder $x+2$
die binomischen Formeln Formeln mit deren Hilfe sich eine quadratische Summe zu einem Produkt oder umgekehrt umschreiben lässt.
die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
die zweite binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
die dritte binomische Formel $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
die quadtratische Ergänzung, -en ist ein Teil der Summer ($b^2$) in der binomischen Formel
der Binomtest, -s ein Test bei dem man überprüft, ob das Binom richtig ausgerechnet wurde
das Binom, -e eine Summe oder Differenz zweier Variablen
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