Wagenräder

Hier werden einfache Methoden zur Nullstellenbestimmung erklärt.

1 Schnittpunkte mit den Achsen
Wagenrad

Die Schnittpunkte einer Parabel beliebiger Ordnung mit den Achsen nennt man die Nullstellen Nx und Ny:

Bedingung für Nx: $$f(x)=0 $$
Bedingung für Ny: $$x=0$$

Durch lösen der Gleichungen erhält man dann die entsprechenden Werte der Nullstellen.

2 Satz vom Nullprodukt
Gleichung

In der Gleichung $ax^2+bx=0$ kann man ein $x$ ausklammern und erhält zwei Faktoren. Hier lassen sich die Lösungen dann ganz einfach mit dem sogenannten "Satz vom Nullprodukt" finden.

Ist ein Faktor in einem Produkt Null ist das gesamte Produkt Null.

Hinweis: Dieser Satz lässt sich auch anwenden, wenn die Gleichung in faktorisierter Form, wie $(x−3)(x−5)(x+2)=0$, gegeben ist. In diesem Fall ist $x_1=3$, $x_2=5$ und $x_3=-2$.

3 Quadratische Ergänzung
quadratische Ergänzung

In der Gleichung $2x^3 – 16x^2+30x=0$ lässt sich ein $x$ ausklammern und die ers­te Nullstelle mit dem Satz vom Null­produkt bestimmen. Für die anderen Null­stel­len löst man die quadratische Glei­chung $2x^2 – 16x+30=0$.

Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung ist dies möglich. Hierzu wird der linke Teil der Gleichung zu einer binomischen For­mel ergänzt. Zuerst teilt man die Glei­chung durch $a$, so dass der Faktor vor dem $x^2$ eins wird. Nun addiert man $(b/2)^2$ und schon hat man eine bino­mische Formel, welche man lösen kann.

4 pq-Formel
Herleitung pq-Formel

Verallgemeinert man das Verfahren der quadratischen Ergänzung mit Variablen, dann erhält man die sogenannte pq-Formel. Auch hier teilt man die Glei­chung durch $a$, so dass der Faktor vor dem $x^2$ eins wird. Nun lautet die quadratische Gleichung: $x^2+px+q=0$.

Lösung mit der pq-Formel:

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

Hinweis: Löst man $ax^2+bx+c=0$ erhält man die abc-Formel.

5 Substitution
Parabel mit Sattelpunkt

Möchte man Nullstellen von Funktionen höherer Ordnung mit geradem Exponenten bestimmen hilft die Substitution:
$\begin{align} -\frac{1}{4}x^4\hspace{-1mm}+\hspace{-0.5mm}2x^2\hspace{-1mm}-3 &= 0~|\text{Subst.} u\hspace{-1mm}=\hspace{-0.5mm}x^2\\ -\frac{1}{4}u^2\hspace{-1mm}+2u-3 &= 0~|\text{pq-Formel}\\ \Rightarrow u_1=6 \wedge u_2 &= 2~|\text{Rücksubst.} \\ x^2=6 \wedge x^2 &=2~|\sqrt{(...)}\\ x_1=-\sqrt{6} &\wedge x_2=\sqrt{6} \\ x_3 =-\sqrt{2} &\wedge x_4=\sqrt{2}\\ \end{align}$



Aufgabe 1 Nullstellen

Bestimme die Nullstellen.

Parabeln dritter und vierter Ordnung

  1. $$f(x)=-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x$$
  2. $$f(x)=-\frac{1}{4}x^4+2x^2-3$$
  3. $$f(x)=(x-3)^2$$
  1. $N_1(-3,4..|0), N_2(0|0), N_3(1,7..|0)$
  2. $N_1(-\sqrt{6}|0), N_2(\sqrt{6}|0), N_3(-\sqrt{2}|0), N_4(\sqrt{2}|0)$
  3. $N_{1/2}(3|0)$

Entspann dich erst mal ...


Der Mathesong zur pq-Formel
von DorFuchs

Aufgabe 2 Nullstellen

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

  1. $f(x)=\frac{1}{16}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}x$
  2. $f(x)=\frac{1}{16}x^4-\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}$
  3. $f(x)=\frac{1}{24}(x+4)(x+2)(x-2)(x-4)$
  4. Ordne die Funktionen den Schaubildern zu.
Parabeln höherer Ordnung

  1. $N_1(0|0)$, $N_{2|3}(6|0)$
  2. $N_{1|2}(-2,45|0)$, $N_{3|4}(2,45|0)$
  3. $N_1(-4|0)$, $N_2(-2|0)$, $N_3(2|0)$, $N_4(4|0)$


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