Nullstellenbestimmung

Die Schnittpunkte einer Parabel beliebiger Ordnung mit den Achsen nennt man die Nullstellen N_x und N_y:

Durch lösen der Gleichungen erhält man dann die entsprechenden Werte der Nullstellen.

In der Gleichung $ax^2+bx=0$ kann man ein $x$ ausklammern und erhält zwei Faktoren. Hier lassen sich die Lösungen dann ganz einfach mit dem sogenannten "Satz vom Nullprodukt" finden.

Ist ein Faktor in einem Produkt Null ist das gesamte Produkt Null.

Hinweis: Dieser Satz lässt sich auch anwenden, wenn die Gleichung in faktorisierter Form, wie $(x−3)(x−5)(x+2)=0$, gegeben ist. In diesem Fall ist $x_1=3$, $x_2=5$ und $x_3=-2$.

In der Gleichung $2x^3 – 16x^2+30x=0$ lässt sich ein $x$ ausklammern und die ers­te Nullstelle mit dem Satz vom Null­produkt bestimmen. Für die anderen Null­stel­len löst man die quadratische Glei­chung $2x^2 – 16x+30=0$.

Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung ist dies möglich. Hierzu wird der linke Teil der Gleichung zu einer binomischen For­mel ergänzt. Zuerst teilt man die Glei­chung durch $a$, so dass der Faktor vor dem $x^2$ eins wird. Nun addiert man $(b/2)^2$ und schon hat man eine bino­mische Formel, welche man lösen kann.

Verallgemeinert man das Verfahren der quadratischen Ergänzung mit Variablen, dann erhält man die sogenannte pq-Formel. Auch hier teilt man die Glei­chung durch $a$, so dass der Faktor vor dem $x^2$ eins wird. Nun lautet die quadratische Gleichung: $x^2+px+q=0$.

Lösung mit der pq-Formel:

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

Hinweis: Löst man $ax^2+bx+c=0$ erhält man die abc-Formel.

Möchte man Nullstellen von Funktionen höherer Ordnung mit geradem Exponenten bestimmen hilft die Substitution:
$\begin{align} -\frac{1}{4}x^4\hspace{-1mm}+\hspace{-0.5mm}2x^2\hspace{-1mm}-3 &= 0~|\text{Subst.} u\hspace{-1mm}=\hspace{-0.5mm}x^2\\ -\frac{1}{4}u^2\hspace{-1mm}+2u-3 &= 0~|\text{pq-Formel}\\ \Rightarrow u_1=6 \wedge u_2 &= 2~|\text{Rücksubst.} \\ x^2=6 \wedge x^2 &=2~|\sqrt{(...)}\\ x_1=-\sqrt{6} &\wedge x_2=\sqrt{6} \\ x_3 =-\sqrt{2} &\wedge x_4=\sqrt{2}\\ \end{align}$