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1 Symmetrie

Schaubilder zweier symmetrischer Funktionen

$f(x)=x^2 \Rightarrow f(-x)=(-x)^2=x^2$

Das Schaubild einer Funktion ist symmetrisch zur y-Achse wenn gilt:

$$f(-x)=f(x)$$

$f(x)\hspace{-0.5mm}=\hspace{-0.5mm}x^3 \hspace{-0.5mm}\Rightarrow f(-x)\hspace{-0.5mm}=\hspace{-0.5mm}(-x)^3\hspace{-0.5mm}=\hspace{-0.5mm}-x^3$

Das Schaubild einer Funktion ist punktssymmetrisch zum Ursprung wenn gilt:

$$f(-x)=-f(x)$$

2 Verhalten für $x \to \pm \infty$

Hier wird untersucht wie das Schaubild der Funktion sich im Unendlichen verhält. Man bestimmt den Grenzwert:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) ~~\text{und}~~ \lim_{x \to +\infty} f(x)$$

Durch einfache Rechenbeispiele findet man den Grenzwert schnell heraus. Dabei ist die höchste Potenz entscheidend. Nehmen wir die Funktion $f(x)=x^4+x^3$

Für $x \to -\infty$ gilt $f(x) \to +\infty$ da der Term $x^4$ immer positiv ist. Für $x \to +\infty$ gilt $f(x) \to +\infty$.

3 Schnittpunkte mit den Achsen

Die Schnittpunkte einer Parabel beliebiger Ordnung mit den Achsen nennt man die Nullstellen N_x und N_y:

Bedingung für N_x: $$f(x)=0 $$

Bedingung für N_y: $$x=0$$

Durch lösen der Gleichungen erhält man dann die $x$-Werte der Nullstellen.
Hinweis: Mehrfache Nullstellen N_x wie bspw. für $f(x)=x^4$ deuten auf ein Extrempunkt oder Sattelpunkt hin.

4 Extrempunkte

Als erste Bedingung für einen Extrempunkt gilt:

$$f'(x_0) = 0$$

Um nun zu entscheiden ob es sich um einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt hält untersucht man die 2. Ableitung:

$$f''(x_0)<0 \Rightarrow ~HP\left(x_0|f(x_0)\right)$$ $$f''(x_0)>0 \Rightarrow ~TP\left(x_0|f(x_0)\right)$$ $$f''(x_0)=0 \Rightarrow ~S\left(x_0|f(x_0)\right)$$

5 Wendepunkte

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:

$$f''(x_0)=0$$

und

$$f'''(x) \neq 0$$ $$~\Rightarrow~W\left(x_0|f(x_0)\right)$$

Aufgabe 1 Kurvendiskussion

$$f(x)=\frac{1}{2}x(x^2-1)$$ $$g(x)=\frac{1}{2}x^5-2x^3$$

Untersuche die Funktionen auf folgende Eigenschaften:

Symmetrieeigenschaften,
Verhalten für $x \to \pm \infty$,
Nullstellen,
Extrempunkte und
Wendepunkte.
Zeichne das Schaubild der Funktionen.

$f(x)=\frac{1}{2}x(^2-1)=\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{2}x$
$f'(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}$
$f''(x)=3x$
$f'''(x)=3$

Symmetrieeigenschaften: $f(x)=-f(x)~\Rightarrow$ Punksymmetrie zum Ursprung
Verhalten für $x \to -\infty$: $f(x) \to -\infty$
Verhalten für $x \to +\infty$: $f(x) \to +\infty$
Nullstellen:
$N_{1}(0|0)$, $N_2(-1|0)$, $N_2(1|0)$
Extrempunkte:
Tiefpunkt $TP(0,58|-0,19)$
Hochpunkt $HP(-0,58|0,19)$
Wendepunkte:
Wendepunkt 1:$W_1(0|0)$

Schaubild:

$g(x)=\frac{1}{2}x^5-2x^3$
$g'(x)=\frac{5}{2}x^4-6x^2$
$g''(x)=10x^3-12x$
$g'''(x)=30x^2-12$

Symmetrieeigenschaften: $f(x)=-f(x)~\Rightarrow$ Punksymmetrie zum Ursprung
Verhalten für $x \to -\infty$: $f(x) \to -\infty$
Verhalten für $x \to +\infty$: $f(x) \to +\infty$
Nullstellen:
$N_{1-3}(0|0)$, $N_4(-2|0)$, $N_5(2|0)$
Extrempunkte:
Sattelpunkt $S(0|0)$
Tiefpunkt $TP(1,55|-2,97)$
Hochpunkt $HP(-1,55|2,97)$
Wendepunkte:
Wendepunkt 1:$W_1(-1,10|1,84)$
Wendepunkt 2:$W_2(0|0)$

Schaubild:

Aufgabe 2

Bis zu wie viele Extrem- und Wendepunkte können folgende Funktionen haben?

$f(x)=x^2+...$
$f(x)=x^3+...$
$f(x)=x^4+...$
$f(x)=x^5+...$

1 Extrempunkt, 0 Wendepunkte
2 Extrempunkte, 1 Wendepunkt
3 Extrempunkte, 2 Wendepunkte
4 Extrempunkte, 3 Wendepunkte

Aufgabe 3 Kurvendiskussion

Untersuche die folgenden Funktionen auf Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und zeichnen deren Schaubilder.

$$f(x)=4x^5-26x^3+25x$$
$$f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2$$
$$f(x)=-\frac{1}{80}x^5+1/6x^3$$

$$f(x)=-0,2(x+2,5)(x-2,5)^2$$
$$f(x)=x^7-3,25x^5+2.25x^3$$

Aufgabe 4 Produktionskosten

Für die Produktion von Thai Teedosen wird folgende Gewinnfunktion angegeben:

$$g(x)=14x-(x^3-6x^2+14x+5)$$ Dabei ist $~x~\in [0;6]$ die Produktionsmenge in einer Vielzahl von 1000 und $g(x)$ der Gewinn in 1000 Euro.

Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung der Gewinnfunktion.
Bestimme die Extrempunkte.
Bestimme die Wendepunkte.
Bei welcher Produktionsmenge ist der Gewinnzuwachs am höchsten?
Zeichne das Schaubild der Gewinnfunktion.
Wie berechnet man die Produktionskosten, wenn $u(x)=14x$ als Umsatz gegeben ist?

Ableitungen:
$g(x)=-x^3+6x^2-5$
$g'(x)=-3x^2+12x$
$g''(x)=-6x+12$
$g'''(x)=-6$
Extrempunkte:
$\begin{align} g'(x) &= 0\\ -3x^2+12x &= 0\\ (x-2)^2 &= 4\\ x-2 &= \pm 2\\ \end{align}$
Extrempunkte: $TP(0|-5)$, $HP(4|27)$
Wendepunkt:
$\begin{align} g''(x) &= 0\\ -6x+12 &= 0\\ 6x &= 12\\ x &= 2\\ \end{align}$
Wendepunkt: $W(2|11)$
Im Wendepunkt bei 2000 Dosen.
Schaubild der Funktion $g(x)$:
$$g(x)=u(x)-p(x) ~\Rightarrow$$ $$p(x)=u(x)-g(x) ~\Rightarrow$$ $$p(x)=x^3-6x^2+14x+5$$

Aufgabe 5 Kurvendiskussion

Gegeben sind die beiden Funktionen:

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)$$

$$g(x)=\frac{1}{4}x^2(x+2)(x-2)$$

Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung.
Bestimme das Symmetrieverhalten.
Bestimme das Verhalten für $x \to \pm \infty$.
Bestimme die Extrempunkte und
die Wendepunkte.

Ableitungen:
$f(x)=\frac{1}{2}x^3-3x^2+\frac{11}{2}x-3$
$f'(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+\frac{11}{2}$
$f''(x)=3x-6$
$f'''(x)=3$
Symmetrieverhalten:
Verhalten für $x \to \pm \infty$:
Extrempunkte:
Wendepunkt:
$\begin{align} f''(x) &= 0\\ \frac{6}{2}x-6 &= 0\\ \frac{6}{2}x &= 6\\ x &= 2\\ \end{align}$

$f'''(3)\neq 0 \Rightarrow$ Wendepunkt: $W(2|0)$

Ableitungen:
$g(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{4}x^2$
$g'(x)=x^3-x$
$g''(x)=3x^2-1$
$g'''(x)=3x$
Symmetrieverhalten:
Verhalten für $x \to \pm \infty$:
Extrempunkte:
Wendepunkte:
$\begin{align} g''(x) &= 0\\ 3x^2-2 &= 0\\ x^2 &= \frac{2}{3}\\ x_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\\ \end{align}$

$g'''(\pm \sqrt{\frac{2}{3}})\neq 0 \Rightarrow$ Wendepunkt: $W_1(-\sqrt{\frac{2}{3}}|-\frac{5}{9})$, $W_2(\sqrt{\frac{2}{3}}|\frac{5}{9})$

Aufgabe 6 Parameterbestimmung von Funktionen aus vorgegebenen Eigenschaften

Bestimmme jeweils den Funktionsterm der ganzrationalen Funktion.

Die Parabel der Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur f(x)-Achse. Sie hat die Nullstellen $N_1(0|0)$ und $N_2(2|0)$ und an der Stelle $x=2$ die Steigung $m=-20$.
Das Schaubild einer punktsymmetrischen Funktion 5. Grades hat im Nullpunkt einen Sattelpunkt und bei $x=2$ eine Wendestelle mit der Steigung $m = 1$.
Eine Funktion dritten Grades hat einen Hochpunkt bei HP(1|5) und einen Wendepunkt WP(2|1).

Parabel 4. Ordnung

Info	Gleichung
Funktion 4. Grades	$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2$ $+~dx+e$
y-Achsensymmetrie (nur gerade Exponenten)	$f(x)=ax^4+cx^2+e$
Nullstelle $N_1(0\|0)$	$0=e \Rightarrow f(x)=ax^4+cx^2$
Nullstelle $N_2(2\|0)$	$16a+4c=0$
Steigung $m=-20$ an der Stelle $x=2$	$f'(2)=-20 \Rightarrow $ $4a\cdot 2^3 +2c \cdot 2=-20 \Rightarrow $ $32a+4c=-20$
Lineares Gleichungssystem (LGS)	$\begin{align} 16a+4c &= 0\\ 32a+4c &= -20\\ \end{align}$ $\Rightarrow a=-1,25$ und $c=5$
Funktionsterm	$f(x)=-1,25x^4+5x^2$

Funktion 4. Grades
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2$ $+~dx+e$
y-Achsensymmetrie (nur gerade Exponenten)
$f(x)=ax^4+cx^2+e$
Nullstelle $N_1(0\|0)$
$0=e \Rightarrow f(x)=ax^4+cx^2$
Nullstelle $N_2(2\|0)$
$16a+4c=0$
Steigung $m=-20$ an der Stelle $x=2$
$f'(2)=-20 \Rightarrow $ $4a\cdot 2^3 +2c \cdot 2=-20 \Rightarrow $ $32a+4c=-20$
Lineares Gleichungssystem (LGS)
$\begin{align} 16a+4c &= 0\\ 32a+4c &= -20\\ \end{align}$ $\Rightarrow a=-1,25$ und $c=5$
Funktionsterm
$f(x)=-1,25x^4+5x^2$

Parabel 5. Ordnung

Info	Gleichung
Funktion 5. Grades	$f(x)=ax^5+bx^4+cx^3$ $+~dx^2+ex+f$
Punktsymmetrie (nur ungerade Exponenten)	$f(x)=ax^5+cx^3+ex$
Sattelpunkt $S(0\|0)$	$f'(0)=0 \Rightarrow e=0$
Wendepunkt an der Stelle $x=2$	$f''(2)=0 \Rightarrow $ $20a\cdot 2^3+6c\cdot 2=0$ $\Rightarrow 160a+12c=0$
Steigung $m=1$ an der Stelle $x=2$	$f'(2)=1 \Rightarrow $ $5a\cdot 2^4 +3c \cdot 2^2=1 \Rightarrow $ $80a+12c=1$
Lineares Gleichungssystem (LGS)	$\begin{align} 160a+12c &= 0\\ 80a+12c &= 1\\ \end{align}$ $\Rightarrow a=-1/80$ und $c=1/6$
Funktionsterm	$f(x)=-1/80x^5+1/6x^3$

Funktion 5. Grades
$f(x)=ax^5+bx^4+cx^3$ $+~dx^2+ex+f$
Punktsymmetrie (nur ungerade Exponenten)
$f(x)=ax^5+cx^3+ex$
Sattelpunkt $S(0\|0)$
$f'(0)=0 \Rightarrow e=0$
Wendepunkt an der Stelle $x=2$
$f''(2)=0 \Rightarrow $ $20a\cdot 2^3+6c\cdot 2=0$ $\Rightarrow 160a+12c=0$
Steigung $m=1$ an der Stelle $x=2$
$f'(2)=1 \Rightarrow $ $5a\cdot 2^4 +3c \cdot 2^2=1 \Rightarrow $ $80a+12c=1$
Lineares Gleichungssystem (LGS)
$\begin{align} 160a+12c &= 0\\ 80a+12c &= 1\\ \end{align}$ $\Rightarrow a=-1/80$ und $c=1/6$
Funktionsterm
$f(x)=-1/80x^5+1/6x^3$

Parabel 3. Ordnung

$f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x -3$

Kurvendiskussion