pinnacles desert Western Australia

Strahlensatz

Hier erfährst du alle wesentlichen Infos über maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern, die zentrische Streckung und die beiden Strahlensätze.

1 Maßstäb­liches Ver­größern/Ver­kleinern
2 Rechtecke
  1. Zeichne eine Raute oder Drachen. Stecke zwei Stifte durch ein Gummiband mit Knoten und setze Stift 1 auf das Zentrum der Figur. (enaktiv)
  2. Ziehe mit Stift 2 so lange, in Richtung A, bis der Knoten direkt darüber liegt. Markiere den neuen Punkt A'.
  3. Mache dies für alle weitern Punkte und verbinde die neuen Punkte miteinander.
  4. Beschreibe die Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Figuren.

Beim Ver­größern/Ver­kleinern werden die Seitenlängen mit dem gleichen Faktor $k$ multipliziert; die Winkel bleiben erhalten. Der Faktor $k$ gibt an um wieviel die Figur vergößert oder verkleinert wurde. Ist $k>1$ wird vergrößert, $k<1$ wird verkleinert.

2 Flächen­inhalt beim Ver­größern/Ver­kleinern
Flächen Figuren

Welche Figur hat nach dem Vergrößern den größten Flächeninhalt?
Überlege zuerst, bevor du das Ergebnis durch Zeichnung überprüfst.

Zeichne ein Quadrat mit 1 cm x 1 cm. Vergrößere das Quadrat mit $k=2$, $k=3$ und $k=4$. Wie oft passt das Original jeweils in das Bild?

Das Original hat den Flächeninhalt $A$. Bestimme den Flächeninhalt $A'$ vom Bild. Finde eine allgemeine Formel.

$$A'=k^2A$$

ikonisch, numerisch und symbolisch

3 Zentrische Streck­ung
zentrische Streckung eines Dreiecks

Eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor $k$ erzeugt man, indem man einen Strahl von Z durch die Punkte A, B und C zeichnet und diese um den Faktor $k$ verlängert.

Ist $k$ negativ, verlängert man den Strahl durch das Streckzentrum auf die andere Seite.

Übertrage das Dreieck und das Streckzentrum in dein Heft und führe eine zentrische Streckung für $k=1,5$ und $k=-1,5$ durch.

4 Der erste Strahlen­satz
Strahlensatz 1

Ein Strahl ist eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in einer Richtung unbegrenzte Linie. Sie hat einen Startpunkt und wird auch als Halbgerade bezeichnet.

Der Strahlensatz gibt das Längenverhältnis von zwei Strecken an. Diese haben einen gemein­sammen Startpunkt $S$ und werden von den parallelen Geraden g und h begrenzt. Merke: Wenn die Geraden g und h parallel zueinander sind dann gilt:

$$\frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1}{t_2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \frac{s_1}{s_3}=\frac{t_1}{t_3}$$
5 Erweiterung des ersten Strahlen­satzes
Strahlensatz 1 Erweiterung

Gehen die Strahlen über den gemeinsamen Startpunkt hinaus, ist das Verhältnis zwischen den Längen ebenso identisch.

Merke: Wenn die Geraden g und h parallel zueinander sind dann gilt: $$\frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1}{t_2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \frac{s_1}{s_3}=\frac{t_1}{t_3}$$

6 Der zweite Strahlen­satz
Strahlensatz 2

Der zweite Strahlensatz gibt das Längenverhältnis von zwei Strecken und deren Abstände zueinander an. Diese haben einen gemein­sammen Startpunkt $S$ und werden von den parallelen Geraden g und h begrenzt.

Merke: Wenn die Geraden g und h parallel zueinander sind dann gilt: $$\frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1}{t_2}$$

7 Längenbe­rechnung mit dem Strahlen­satz
pinnacles desert Western Australia

Manchmal befindet sich zwischen zwei Punkten A und B ein Hindernis, welches uns daran hindert den Abstand zu bestimmen.

Der Trick besteht darin einen Punkt C festzulegen, dessen Abstand zum Punkt A messsbar ist. Legt man nun zwei parallele Geraden vor und hinter das Hindernis kann man die Distanz mit dem ersten Strahlensatz bestimmen.

Die Höhe von unbekannten Objekten lässt sich mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes bestimmen. Dazu peilt man von einer bekannten Entfernung die Spitze des Objekts an.

8 Höhenbe­rechnung mit dem Strahlen­satz

Einfach schön erklärt: Die Höhenberechnung mit Hilfe eines Geodreiecks von D. Jung.
Hinwesis: Achte darauf, dass dein Geodreieck immmer parallel zum Boden ist.

Ideen:
J. Winterhalder, Christliche Deutsche Schule, Chiang Mai, 2018
H. Griesel et. al, "Elemente der Mathematik 5 - Baden-Württemberg, Schroedel Verlag, 2013



Aufgabe 1 Vergrößern - Verkleinern

In der Figur findest du zwei Rechtecke.

  1. Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 4 cm, b = 2 cm. Zeichne jeweils ein weiteres Rechteck, welches doppelt so groß ist, doppelt so klein und 1,5mal so groß. Bestimme den Faktor $k$ für die Rechtecke.
  2. Zeichne ein Dreieck mit a = 4 cm, b = 2 cm und einem rechten Winkel zwischen a und b. Vergrößere es um das dreifache. Bestimme den Faktor $k$.
Rechtecke

geometrische Figuren

  1. Vergrößere/verkleinere die Figuren entsprechend dem Faktor $k$.
  1. Rechtecke:
    Rechtecke

  2. Dreiecke:
    Dreiecke

  1. Figuren


Aufgabe 2 Flächeninhalt beim Vergrößern/Verkleinern

Berechne den Flächeninhalt $A'$ der Bilder. Du kannst zuerst die neue Bildseitenlänge berechnen oder den Flächeninhalt $A$ des Originals.

  1. Quadrat: $k=3/2$, $a=6$ cm
  2. Rechteck: $k=2$, $a=7$ cm, $b=5$ cm
  3. Dreieck: $k=3$ $a=6$ cm, $h_a=3$ cm
  4. Trapez: $k=1/2$ $a=9$ cm, $b=5$ cm, $h_a=2$ cm

Die Pizza L hat einen Durchmesser von 20 cm, XL von 40 cm.

  1. Berechne den Flächeninhalt $A_L$ und $A_{XL}$.
  2. Berechne den Faktor $k$
  3. Welche Bedeutung hat eine "doppelt so große" Pizza für die Fläche?
  4. Pizza L wird nun mit 12 cm für 5 EUR und XL mit 18 cm für 10 EUR angeboten. Berechne bei welcher Pizza man mehr Fläche für sein Geld bekommt.
  1. Quadrat: $k=1,5$, $a=6$ cm
    $a'=1,5\cdot 6=9$ cm $\Rightarrow$ $A'=9\cdot 9 = 81$ cm2
  2. Rechteck: $k=2$, $a=7$ cm, $b=5$ cm
    $A=5\cdot 7=35$ cm2 $\Rightarrow$ $A'=2^2\cdot 35 = 140$ cm2
  3. Dreieck: $k=3$ $a=6$ cm, $h_a=3$ cm
    $A=6\cdot 3 /2=9$ cm2 $\Rightarrow$ $A'=3^2\cdot 9 = 81$ cm2
  4. Trapez: $k=0,5$ $a=9$ cm, $b=5$ cm, $h_a=2$ cm
    $A=7\cdot 2=14$ cm2 $\Rightarrow$ $A'=0,5^2\cdot 14 = 3,5$ cm2
  5. $A_L=\pi\cdot (20/2)^2=100\pi\:cm^2$
    $A_{XL}=\pi\cdot (40/2)^2=400\pi\:cm^2$
  6. $k=\sqrt{\frac{A_{XL}}{A_L}}=2$
  7. Merke: Eine doppelt so große Pizza hat die 4fache Fläche.
  8. $k=\frac{18}{12}=1,5$
    $\frac{A_{XL}}{A_L}=1,5^2=2,25$
    Merke: Da die Pizza XL die 2,25fache Fläche hat bekommt man hier mehr für das gleiche Geld.

Aufgabe 3 Zentrische Streckung

Geometrische Figur

Zeichne ein Dreick in dein Heft mit $a=4$ cm, $b=3$ cm und $\gamma=40$ °.

  1. Führe die zentrischen Streckungen für $k=1,5$ mit dem Streckzentrum in B durch.
  2. Führe die zentrischen Streckungen für $k=-0,5$ mit dem Streckzentrum auf halber Strecke von $a$ durch.
  3. Bestimme die Höhe $h_a$ von jedem Dreieck. Bestimme den Zusammenhang zwischen Streckfaktor $k$ und $h'_a$.
  4. Führe die zentrischen Streckungen für $k=2$ durch. Das Streckzentrum ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

  1. Zeichnung:

    gestrecktes Dreieck

  2. Zeichnung:

    gestrecktes Dreieck
  3. $h_{a/1}\approx 1,8\:cm$
    $h_{a/1,5}\approx 2,7\:cm$
    $h_{a/-0,5}\approx 0,9\:cm$

    Die neue Höhe berechnet sich zu: $h'_a=kh_a$




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Die Passwortvergabe

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Aufgabe 4 Der erste Strahlensatz

Feritge eine Skizze an und berechne die fehlenden Größen.

$s_1$ $s_2$ $s_3$ $t_1$ $t_2$ $t_3$
1 2 3
7 4 2
6 11 3
6 2 9
5 7 2
2 5 4 5
$s_1$ $s_2$ $s_3$ $t_1$ $t_2$ $t_3$
1 3 2 3 9 6
3,5 7 3,5 2 4 2
6 17 11 1,64 4,64 3
1,09 6 4,91 2 11 9
5 7 2 x 7/5x 2/5x
2 7 5 4 5


Aufgabe 5 Erweiterter 1. Strahlen­satz

Strahlensatz 1

Alle Angaben sind in cm. Bestimme die folgenden Längen

  1. x
  2. y
  1. $x=3,45$ cm
  2. $y=1,15$ cm

Aufgabe 6 Der 2. Strahlen­satz

Bestimme die fehlenden Längen.

  1. $s_1=4\:$cm, $t_1=2\:$cm, $t_2=3\:$cm
  2. $s_2=7\:$cm, $t_1=3\:$cm, $t_2=3,5\:$cm
  3. $s_1=3/4\:$cm, $t_1=3/8\:$cm, $t_2=4/8\:$cm
  4. $s_1=2\:$cm, $s_2=4\:$cm, $t_1=2\:$cm
  5. $t_1=2,7\:$cm, $t_2=3,1\:$cm, $s_2=6,5\:$cm
  6. $t_1=6\:$cm, $t_2=8\:$cm, $x=4\:$cm
Strahlensatz 2

  1. $s_2=6$ cm, $x=2$ cm
  2. $s_1=6$ cm, $x=1$ cm
  3. $s_2=1$ cm, $x=0,25$ cm
  4. $t_2=4$ cm, $x=2$ cm
  5. $s_1=351/62$ cm, $x=26/31$ cm
  6. $s_1=12$ cm, $s_2=16$ cm


Aufgabe 7 Turmhöhe

Stadtmauer von Glurns im Vinschgau

Du stehst 50 m entfernt vom Turmmittelpunkt und peilst die Turmspitze von 1,50 m Höhe mit einem Stock an. Den 20 cm langen Stock hältst 50 cm von dir entfernt auf Augenhöhe.

  1. Fertige eine Skizze an und trage die bekannten Maße ein.
  2. Berechne die Höhe des Turms.
  3. Genaugenommen ist der Abstand von 50 m nicht bis zum Mittelpunkt, sondern nur bis zur Turmmauer gemessen. Allerdings konntest du herausfinden, dass der Turm einen Durchmesser von 4 m hat. Bestimme die exakte Höhe.

  1. Skizze:

    Skizze Dreieck-Turm

  2. Turmhöhe: 21,5 m

  3. Turmhöhe: 22,3 m


Wortliste und Satzbausteine



das Ver­größern/Ver­kleinern Beim Vergrößern/Ver­kleinern von geometrischen Figuren, werden alle Seitenlängen mit dem Ähnlich­keitsfaktor multipliziert, die Winkel bleiben erhalten.
der Ähnlich­keitsfaktor $k$, -en Der Ähnlich­keitsfaktor gibt an, um das wievielfache eine Figur vergrößert wird. Ist $k>1$ wird vergrößert, $k<1$ wird verkleinert.
die zentrische Streck­ung Vergrößert man ein Objekt von einem Streckzentrum S spricht man von einer zentrischen Streckung.
der Strahl, -en Ein Strahl ist eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in einer Richtung unbegrenzte Linie. Sie hat einen Startpunkt und wird auch als Halbgerade bezeichnet.
der erste Strahlensatz Der Strahlensatz gibt das Längenverhältnis von zwei Strecken an. Diese haben einen gemein­sammen Startpunkt $S$ und werden von den parallelen Geraden g und h begrenzt. $$\frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1}{t_2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \frac{s_1}{s_3}=\frac{t_1}{t_3}$$
der zweite Strahlensatz Der zweite Strahlensatz gibt das Längenverhältnis von zwei Strecken und deren Abstände zueinander an. Diese haben einen gemein­sammen Startpunkt $S$ und werden von den parallelen Geraden g und h begrenzt. $$\frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1}{t_2}$$
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