Analytische Geometrie - Vektoren und Geraden

Positionen im dreidimensionalen Raum werden mit Koordinaten angegeben. Jeder Punkt hat dabei drei Koordinaten:

Bei einem Koordinatensystem mit drei Achsen ist es üblich, dass die x₁-Achse nach vorne, die x₂-Achse nach rechts und die x₃-Achse nach oben gezeichnet wird.

Zeichne einen Würfel mit der Kantenlänge 2 und bestimme die Koordinaten der Eckpunkte.

enaktiv

Vektoren geben eine Richtung an. Darüber hinaus hat jeder Vektor eine Länge. Um bspw. von Punkt A(1|2|3) nach Punkt B(4|5|6) zu kommen, folgt man dem Richtungsvektor: $\vec{AB}=\left(\begin{array}{c} 4-1 \\ 5-2 \\ 6-3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)$

Allgemein gilt: Um von Punkt $A( a_1 | a_2 | a_3 )$ nach $B( b_1 | b_2 | b_3 )$ zu kommen, folgt man dem Richtungsvektor $\vec{AB}=\left(\begin{array}{c} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{array}\right)$.

Für die Linearkombination $r\cdot \vec{a}$ und die Addition $\vec{a}+\vec{b}$ gilt:
$r \cdot \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r\cdot a_1 \\ r\cdot a_2 \\ r\cdot a_3 \end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{array}\right)$

Für die Addition von Vektoren gilt das Kommutativ- und Assoziativgesetz:
$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ und $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$

Für die Multiplikation von Parametern $r$ und $s$ mit den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt das Assoziativ- und Distributivgesetz:
$r\cdot(s\cdot \vec{a})=(r\cdot s) \cdot \vec{a}$ und $r\cdot(\vec{a}+ \vec{b})=r\cdot \vec{a}) + r \cdot \vec{b}$

Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung in der Form $\vec{x}=\vec{p}+r\cdot \vec{v}$ mit $r\in \mathbb{R}$ darstellen. Dabei ist $\vec{p}$ ein Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden und $\vec{v}$ ein Richtungsvektor mit dem Parameter $r$.

Beispiel für eine Gerade g in Parameterform:

Zwei Geraden können identisch sein, parallel sein, einen gemeinsamen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sein. Windschiefe Geraden berühren und schneiden sich nicht und haben in einem Punkt den geringsten Abstand zueinander.

In dem Video wird erklärt, wie man dies herausfindet.

Ideen:
D. Jung, danieljung.education
D. Brandt et al, "Lambacher Schweizer 6 - Mathematik für Gymnasien", Enst Klett Verlag, Stuttgart, 2008
H. Griesel et al, "Elemente der Mathematik", Bildungshaus Schulbuchverlage, 2010