Wasserfall

Integral - mit der Stammfunktion zur Fläche

Hier wird der Haupsatz der Differen­zial- und Integralrechnung gezeigt, Integrationsregeln vorgestellt und die Flächenberechnung mit Hilfe der Stammfunktion erklärt.

1 Stammfunktion
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Integriert man die Funktion $f(x)$ erhält man die Stammfunktion $F(x)=\int f(x)\: dx$. Die Ableitung der Stammfunktion liefert dann wiederum die Funktion $f(x)=F'(x)$.

Merke: mit $f(x)=x^n$ gilt:

$$F(x)=\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$$

Potenzregel

2 Integrationsregeln
Beispiele Integralrechnung

1. Faktorregel

$$\int k\cdot f(x) \: dx=k \cdot \int f(x) \: dx$$

2. Summenregel

$$\int\hspace{-2mm} \left( f(\hspace{-0.5mm}x\hspace{-0.5mm}) \hspace{-1mm}+\hspace{-1mm} g(\hspace{-0.5mm}x\hspace{-0.5mm}) \right) \hspace{-0.5mm} dx\hspace{-1mm} = \hspace{-2mm}\int \hspace{-2mm}f(\hspace{-0.5mm}x\hspace{-0.5mm}) \,\hspace{-0.5mm} dx \hspace{-1mm}+ \hspace{-2.5mm}\int \hspace{-2mm}g(\hspace{-0.5mm}x\hspace{-0.5mm}) \,\hspace{-0.5mm}dx$$

Faktor- und Summenregel

3 Flächenberech­nung
Heuschrecke

Eine Heuschrecke frisst ein 2 cm tiefes Loch in ein Blatt. Der parabelförmige Blatttausschnitt kann durch die eingeschlossene Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion $f(x)=x^2-2$ und der x-Achse beschrieben werden.

Berechne diese Fläche.

Hinweis: Es gilt allgemein:

$$\int_a^b f(x) dx = F(a)-F(b)$$
4 Flächenberech­nung - Stammfunktion
Schaubild einer Parabel 2. Ordnung mit eingeschlossener Fläche

Die gefressene Fläche wird zwischen den Nullstellen der Funktion eingeschlossen:

$A=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 -2 \: dx $$= 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} x^2 -2 \: dx $$= 2\left[ \frac{x^3}{3}-2x \right]_0^{\sqrt{2}} \approx -3,77$

Obwohl es hier sinnvoll ist von einer ne­ga­tiven Fläche zu sprechen, da sie fehlt, werden Flächen in der Regel positiv berechnet, d.h. man bildet den Betrag:

$$A=\left| \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left( x^2 -2 \right) \: dx \right| \approx 3,77$$
5 Flächenberech­nung mit Nullstellen
Schaubild einer Parabel 4. Ordnung mit eingeschlossener Fläche

Das Integral der Funktion $f$ im Intervall [-3;3], mit $f(x)\hspace{-1mm}=\hspace{-1mm}0,1(x^2\hspace{-1mm}-\hspace{-0.5mm}9)(x^2\hspace{-1mm}-\hspace{-0.5mm}1)$ bestimmt man wie folgt:

  1. Nullstellen bestimmen: $x_1=-3$, $x_2=-1$, $x_3=1$, $x_4=3$
  2. Integral in einzelnen Intervallen der Nullstellen bestimmen:
    $A=\left| \int_{-3}^{-1} f(x) \: dx \right| $$+ \left| \int_{-1}^{1} f(x) \: dx \right| $$+ \left| \int_{1}^{3} f(x) \: dx \right|$

Ohne Berücksichtigung der Nullstellen, heben sich die Flächen teilweise auf.
Quelle: H. Griesel et.al., "Elemente der Mathematik", Schroedel Verlag, 2010



Aufgabe 1 Stammfunktionen

Bestimme die Stammfunktionen.

  1. $\int x^2+2x+4 \: dx $
  2. $\int 3x^2+0,5x-2 \: dx $
  3. $\int 6x^5+3x^2+1 \: dx $
  1. $\int \frac{2}{x^2}+6x \: dx $
  2. $\int \frac{1}{x} \: dx $
  3. $\int sin x \: dx $
  1. $\int e^x \: dx $
  2. $\int x^{1/2}+\frac{2}{4}x^{3/2} \: dx $
  3. $\int x^{3/2}-\sqrt{x} \: dx $
  1. $\int x^2+2x+4 \: dx $$= \frac{1}{3}x^3+x^2+4x $
  2. $\int 3x^2+0,5x-2 \: dx $$= x^3 +\frac{1}{4}x^2-2x $
  3. $\int 6x^5+3x^2+1 \: dx $$= x^6+x^3+x $
  1. $\int \frac{2}{x^2}+6x \: dx $$= -\frac{2}{x}+3x^2$
  2. $\int \frac{1}{x} \: dx = ln x$
  3. $\int sin x \: dx =cos x$
  1. $\int e^x \: dx =e^x$
  2. $\int x^{1/2}+\frac{2}{4}x^{3/2} \: dx $$= \frac{2}{3}x^{3/2} + x^{4/2}$
  3. $\int x^{3/2}-\sqrt{x} \: dx $$= \frac{2}{4}x^{5/2}- \frac{2}{3}x^{3/2}$






Aufgabe 2 Wasserverbrauch in der Halbzeitpause

Das Wasserversorgungsunternehmen beobachtet in der Halbzeitpause einen deutlichen Anstieg des Wasserverbrauchs. Der Verlauf kann mit folgender Funktion angeben werden:
$f(x)=-1.75x(x-15)+100$. Bestimme die verbrauchte Wassermenge während den 15 Minuten.

Fußballspiel

Durchflussrate über Zeit

Die verbrauchte Wassermenge beträgt 2484,375 m3.


Aufgabe 3 Eingeschlossene Fläche

Bestimme die Nullstellen oder skizziere das Schaubild der Funktion und bestimme die Fläche, die das Schaubild mit der x-Achse einschließt.

  1. $f(x)=x(x-2)(x+2)$
  2. $f(x)=x^4-2x^3-x^2+2x$
  3. $f(x)=x^3-x^2-2x$
  4. $f(x)=x-\sqrt{x}$
  5. $f(x)=(2^x-1)(2^x-2)$
  6. $f(x)=x-6+\frac{8}{x}$
Schaubild einer Funktion

  1. $f(x)=x(x-2)(x+2)$
    $A=8$
    Schaubild einer Funktion
  2. $f(x)=x^4-2x^3-x^2+2x$
    $A=\frac{49}{30}$
    Schaubild einer Funktion
  3. $f(x)=x^3-x^2-2x$
    $A=\frac{37}{12}$
    Schaubild einer Funktion
  1. $f(x)=x-\sqrt{x}$
    $A=-1/6$
    Schaubild einer Funktion
  2. $f(x)=(2^x-1)(2^x-2)$
    $A=|(-8+log 16)/log 4|$$=11,29$
    Schaubild einer Funktion
  3. $f(x)=x-6+\frac{8}{x}$
    $A=|-6+8ln2|=0,4548$Schaubild einer Funktion











Entspann dich erstmal ...


Die Parklücke

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Aufgabe 4 symmetrische Flächen

Die Schaubilder der abgebildeten Funktionen sind symmetrisch. Bestimme möglichst einfach die Fläche ohne Berücksichtigung der Nullstellen im gekennzeichneten Intervall.

  1. $f(x)=-0,5x^2+1,5$
    symmetrisches Schaubild
  2. $f(x)=0,1(x^2-9)(x^2-1)$
    symmetrisches Schaubild
  1. $f(x)=0,5(x+1,5)(x-0,5)(x-2,5) $
    symmetrisches Schaubild
  2. $f(x)=\sqrt{4-x^2}$
    symmetrisches Schaubild
  1. positive Fläche: $$A= 2\left[ -\frac{1}{6}x^3+1,5x\right]_0^{2,5}\! = 2,29$$
  2. negative Fläche: $A= 2\left[ \frac{1}{50}x^5-\frac{1}{3}x^3+0,9x\right]_0^{3} $$= -2,88$
  1. Fläche gleich 0: $$A=\int_{-2}^{3}f(x) \: dx=0$$
  2. positive Fläche: $$A=2\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^2} \: dx=2\pi$$


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