Pferd

Lineare Glei­chungen

13.11.2015

Hier wird erklärt, wie lineare Gleichungen gelöst werden, welche Operationen erlaubt und welche verboten sind (engl. dos and don'ts).

1 Das Klassenfoto
Figuren

Für ein Klassenfoto soll in jeder Reihe ein Schüler mehr stehen als in der vorherigen Reihe.

Stellt euch in 4 Reihen auf und erfüllt diese Bedingung.

Wie viele Schülerinnen bzw. Schüler stehen in der ersten Reihe?

|enaktiv

2 Struktur schaffen
strukturierte Tabelle

Eine übersichtliche Tabelle schafft Struktur.

Man könnte in die erste Reihe 3 Leute stellen, in die zweite Reihe 4 u.s.w. Dann kommt man insgesamt auf 18 Personen.

Wenn das nicht reicht probieren wir es mit 4 Personen in der ersten Reihe.

|ikonisch+numerisch

3 Die Gleichung
Tabelle mit Gleichung

Ist x die Anzahl der Schüler in der ersten Reihe und y die Summe aller Schüler ergibt sich die Gleichung für die Summe aller Schüler, welche man nach x umstellen kann:

$\begin{align} 4x +6 &= y &&|-6\\ 4x +6-6 &= y-6 &&|\\ 4x &= y-6 &&|:4\\ x &= \frac{y-6}{4}&&\\ \end{align}$

|symbolisch

4 Infos Äquivalenzumformungen
Lösungsweg Gleichung

Frieder und Simeon entdeckten folgende Umformung auf einem Arbeitsblatt im Mathematikunterricht.

Frieder meint zu Simeon: "Das sieht doch alles richtig aus, aber etwas kann da nicht stimmen?"

Simeon: "Aber was?"

5 Teilen durch Null ist keine äquivalente Umformung
Gleichung mit nicht äquivalenter Umformung

Offensichtlich sind nicht alle Rechenoperationen automatisch äquivalent, d.h. sie führen dazu, dass der Wahrheitsgehalt der Gleichung verändert wird.

Teilen durch Null ist nicht erlaubt:

Das Ergebnis ist nicht wahr. Die Gleichung ist aber wahr, für $x=0$!

Aus diesem Grund ist das teilen durch die Variable x in diesem Fall nicht korrekt.

6 Quadrieren ist keine äquivalente Umformung
Gleichung mit nicht äquivalenter Umformung

Auch das quadrieren gehört nicht zu den äquivalenten Umformungen.

$x_1=1$ ist eine Lösung, $x_2=-5$ ist keine Lösung der Gleichung.

Deshalb gilt: Man kann quadrieren, muss dann aber die Lösungen ausprobieren, um falsche Lösungen auszuschließen.

7 Ungleichungen aufgepasst!
Ungleichung mit äquivalenter Umformung

Bei Ungleichung dreht sich das Ungleichzeichen, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.


Ideen von
P. Wunderlich, Seminar Weingarten
H. Lang, Elektronikschule Tettnang



Aufgabe 1

Löse die Gleichungen nach x auf.

  1. $5x=125$

  2. $3x=27$

  3. $-8x+40=2x$

  4. $-4x+2=2x-1$

  1. $2/3x+1=4$

  2. $-4/5x-3=0$

  3. $-8x+2/4x=-3$

  4. $3/7x-3/14+1=11/14+6/14x$

  1. $x=25$

  2. $x=9$

  3. $x=4$

  4. $x=1/2$

  1. $x=\frac{9}{2}=4,5$

  2. $x=-15/4$

  3. $x=2/5$

  4. nicht eindeutig bestimmt: beliebig viele Lösungen


Entspann dich erst mal ...

Streichholzgleichung

Welches eine Streichholz muss umgelegt werden, damit die Gleichung stimmt?

... und los geht's



Aufgabe 2

Löse die Gleichungen nach x bzw. a auf.

  1. $$4x+7=3x-3$$

  2. $$2x-6=10x-4$$

  3. $$14x+7x-2=12x+3$$

  4. $$7a+9a=10-14$$

  5. $$(2a+2)^2=4a^2-2a+24$$

  1. $$49x^2+3-4x=(7x-9)^2+2$$

  2. $$\frac{x^2-8}{x-4}=(x+4)$$

  3. $$\frac{x^2-9}{x-3}=(x+3)$$

  1. $L=\{-10\}$

  2. $L=\{-1/4\}$

  3. $L=\{5/9\}$

  4. $L=\{-1/4\}$

  5. $L=\{2\}$

  1. $L=\{40/61\}$

  2. $L=\{~~\}$

  3. $L=\{x\}$


Aufgabe 3

  1. Von einer Erbschaft erhält Klaus 1/4, Otto 2/3 und Inge den Rest in Höhe von 5250 €. Berechnen die Höhe der Erbschaft und die Anteile von Klaus und Otto.

  2. Wie groß ist ein Kredit, für den man bei einem Zinssatz von 8,25 % pro Jahr nach einem halben Jahr 2640 € Zinsen zahlen muss?

  1. 63000,- €

  2. 64000,- €


Wortliste und Satzbausteine



die Gleichung, -en In einer Gleichung werden zwei Terme gleichgesetzt. Sie enthält mindestens eine Variable (z.B. $x+3=2x-4$). Durch Umformen der Gleichung kann man den Wert der Variable $x$ bestimmen.
die Variable, -n Eine Variable wird als Buchstabe geschrieben und ist ein Platzhalter für eine beliebige Zahl.
der Term, -e Mathematischer Ausdruck aus Zahlen und Rechenzeichen, wie $1+4$ oder $x+2$
die äqui­valente Umformung, -en Durch eine äquivalente (gleichwertige) Umformung, werden die Terme durch Umstellen der Gleichung in gleichwertige Terme umgeformt, mit dem Ziel den Wert der unbekannten Variablen zu bestimmen.
Teilen durch Null ist keine äqui­valente Um­formung. Man darf man eine Gleichung nicht durch die Variable $x$ teilen, da $x$ auch Null sein kann und teilen durch Null nicht erlaubt ist. Somit ist Teilen durch den Wert Null keine gleichwertige Umformung.
Quadrieren ist keine äqui­valente Um­formung. Quadriert man eine Variable, muss man nachher wieder die Wurzel ziehen. Beim Wurzel­ziehen gibt es aber zwei Lösungen. Somit ist das Quadrieren keine gleichwertige Umformung.
die Ungleichung, -en Ungleichungen sind Gleichungen, welche statt dem Gleichheitszeichen "=" folgende Zeichen haben: "$<,\: \leq ,\: \geq ,\: >$"
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