Bananen

Rechnen mit Bruch­zahlen

Bruchrechnen leicht gemacht: Alles was du über Bruchrechnen schon immer wissen wolltest findest du hier.

1 Obst kaufen und die Brüche
Körbe mit Obst

Corbin kauft 2½ kg Guaven und 3½ kg Mangos sowie 2¾ kg Ananas. Corbin zahlt mit einem 1000-TBH-Schein. Aber wie viele thail. Baht bekommt er zurück?

Brüche benötigen wir zum Aufteilen. Sie erleichtern uns das Rechnen und lassen und solche Aufgaben strukturiert lösen.

Brüche werden oft auch als gemischte Brüche dargestellt: $2\frac{3}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$. Dabei bezeichnet man 11 als den Zähler und 4 als den Nenner.

Kauft euch als Klasse einen Kuchen und teilt ihn gleichmäßig für alle auf. Wie viel bekommt jeder?

2 Erweitern, Kürzen und Addieren
Wagenrad

Um einen Bruch zu erweitern multipliziert man Zähler und Nenner mit der identischen Zahl. Dabei ändert sich der Wert des Bruches nicht, aber die Einteilung wird verfeinert. $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{6}{8}$

Um einen Bruch zu kürzen dividiert man Zähler und Nenner mit der identischen Zahl:
Dabei ändert sich der Wert des Bruches nicht, aber die Einteilung wird gröber. $\frac{12}{16}=\frac{12:4}{16:4}=\frac{3}{4}$

Man addiert oder subtrahiert Brüche indem man die Nenner gleichnamig macht: $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{11}{12}$

3 Multiplizieren und Teilen von Brüchen mit ganzen Zahlen
Milchflasche mit drei Gläsern

Wie viel Liter sind in drei ¼l-Flaschen? Man vervielfacht einen Bruch mit einer Zahl, indem man den Zähler des Bruchs mit der Zahl multipliziert. $$\frac{1}{4}\cdot 3=\frac{1\cdot 3}{4}=\frac{3}{4}$$

Wie viel Liter bekommt jeder, wenn man sich zu dritt eine Flasche teilt? Man dividiert (teilt) einen Bruch durch eine Zahl, indem man den Nenner des Bruchs mit der Zahl multipliziert. $$\frac{1}{4}: 3=\frac{1}{4\cdot 3}=\frac{1}{12}$$

4 Multiplikation von Brüchen
Nudelauflauf in der Berghütte

Dan und Tom teilen sich auf einer Berg­hütte ein halbes Blech Nudelauflauf. Tom meint: "Davon schaffe ich noch ¾", Dan hingegen prahlt: "Ich würde das 1½fache schaffen." Wie viel von einem ganzen Nudelauflauf würde jeder schaffen?

Brüche werden multipliziert indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert wird. $$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}=\frac{3}{8}$$ $$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}$$

5 Division von Brüchen
Kaffeemühlen

Tom mahlt den Kaffee heute elektrisch. Jedes Jahr sind dies 4800 kg Kaffee, dass sind dreimal so viel als 1975. Wie viele kg waren es 1975?

Wenn ich durch eine Bruchzahl dividiere, dann mache ich das Multiplizieren mit der selben Bruchzahl rückgängig.

Man dividiert durch eine Bruchzahl, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Tipp: Man erhält den Kehrwert eines Bruches, indem man Zähler und Nenner vertauscht.

$$\frac{4800}{1}:\frac{3}{1}=\frac{4800}{1}\cdot \frac{1}{3}=\frac{4800}{3}$$
6 Rechnen mit Termen: "KlaPoPuS"

Punkt vor Strich

$$\frac{5}{8}-\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{5}{8}-\frac{9}{8}=-\frac{4}{8}$$

Potenz vor Punkt

$$\frac{2}{8}+\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{2}{8}+\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{4}$$ $$=\frac{2}{8}+\frac{25}{8}=\frac{27}{8}$$

Klammer als erstes

$$8:\left(\frac{5}{2}-\frac{3}{4}\right)=8:\left(\frac{10}{4}-\frac{3}{4}\right)$$ $$=8:\frac{7}{4}=8\cdot \frac{4}{7}=\frac{32}{7}$$

Merke: "KlaPoPuS" | Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich

Außerdem gilt: Innere Klammern zuerst!



Aufgabe 1 Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Vereinfache.

  1. $\frac{2}{20} + \frac{3}{5}$

  2. $\frac{5}{6} + \frac{5}{12}$

  3. $\frac{3}{9} + \frac{4}{6}$

  4. $\frac{1}{3} + \frac{5}{7}$

  1. $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$

  2. $\frac{7}{8} - \frac{5}{6}$

  3. $\frac{15}{4} - \frac{15}{3}$

  4. $\frac{15}{7} - \frac{5}{6}$


  1. $\frac{7}{10}$
  2. $\frac{15}{12}$
  3. $\frac{18}{18}$
  4. $\frac{22}{21}$
  1. $\frac{3}{6}$
  2. $\frac{7\cdot 6}{8\cdot 6}-\frac{5\cdot 8}{6\cdot 8}=\frac{42}{48}-\frac{40}{48}=\frac{2}{48}=\frac{1}{24}$
  3. $\frac{45}{12}-\frac{60}{12}=-\frac{15}{12}$
  4. $\frac{55}{42}=1\frac{13}{42}$

Aufgabe 2 Multiplizieren und Teilen von Brüchen mit ganzen Zahlen

Vereinfache.

  1. $\frac{7}{20} \cdot 5$

  2. $\frac{5}{6} \cdot 4$

  3. $\frac{7}{9} \cdot 12$

  4. $\frac{7}{12} \cdot 24$

  1. $\frac{1}{6} : 4$

  2. $\frac{7}{8} : 3$

  3. $\frac{15}{7} :5$


  1. $\frac{7}{20} \cdot 5 =\frac{7\cdot 5}{20}=\frac{35:5}{20:5}=\frac{7}{4}$

  2. $\frac{5}{6} \cdot 4 =\frac{5\cdot 4}{6}=\frac{20:2}{6:2}=\frac{10}{3}$

  3. $\frac{7}{9} \cdot 12 =\frac{7\cdot 12:3}{9:3}=\frac{7\cdot 4}{3}=\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}$

  4. $\frac{7}{12} \cdot 24 =\frac{7\cdot 24:12}{12:12}=\frac{7\cdot 2}{1}=14$

  1. $\frac{1}{6} : 4 =\frac{1}{6\cdot 4}=\frac{1}{24}$

  2. $\frac{7}{8} : 3 =\frac{7}{8\cdot 3}=\frac{7}{24}$

  3. $\frac{15}{7} : 5=\frac{15}{7\cdot 8}=\frac{15:5}{35:5}=\frac{3}{7}$


Aufgabe 3 Teilen ist das schönste was es gibt

Milchflasche
  1. In einer Flasche sind 1½ l Milch. Vier Kinder teilen sich die Flasche. Wie viel bekommt jeder
  2. Laura, Inge und Jutta teilen sich einen Stoffrest von ⅗ m2. Wie viel m2 erhält jeder?

  1. $\frac{3}{2} : 4 = \frac{3}{8}~l$
  2. $\frac{3}{5} : 3 = \frac{3}{15}=\frac{1}{5}~$m2

Aufgabe 4 Multiplizieren und Teilen von Brüchen

Berechne möglichst sinnvoll.

  1. $\frac{5}{8} \cdot \frac{6}{3}$
  2. $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2}$
  3. $\frac{16}{3} \cdot \frac{12}{4}$
  4. $\frac{7}{18} \cdot \frac{27}{21}$
  5. $\frac{6}{3} \cdot \frac{18}{2}$
  6. $\frac{3}{7} \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{4}{6}$
  7. $\frac{6}{7} \cdot \frac{14}{3} \cdot \frac{21}{2}$
  1. $\frac{14}{8} : \frac{7}{6}$
  2. $\frac{1}{2} : \frac{2}{1}$
  3. $\frac{12}{5} : \frac{24}{15}$
  4. $\frac{3}{8} : \frac{9}{64}$
  5. $\frac{6}{3} : \frac{18}{33}$

  1. $\frac{5}{8} \cdot \frac{6}{3} = \frac{5\cdot 1}{4\cdot 1} = \frac{1}{4}$
  2. $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4\cdot 3}{3\cdot 1} = \frac{4}{3}$
  3. $\frac{16}{3} \cdot \frac{12}{4} = \frac{4\cdot 4}{1\cdot 1} = 16$
  4. $\frac{7}{18} \cdot \frac{27}{21} = \frac{1\cdot 3}{2\cdot 3} = \frac{3}{6} =\frac{1}{2}$
  5. $\frac{6}{3} \cdot \frac{18}{2} = \frac{3\cdot 6}{1\cdot 1} = 18$
  6. $\frac{3}{7} \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{4}{6} = \frac{1\cdot 8 \cdot 2}{7\cdot 1\cdot 2} = \frac{16}{14} =\frac{8}{7}$
  7. $\frac{6}{7} \cdot \frac{14}{3} \cdot \frac{21}{2} = \frac{3\cdot 2 \cdot 7}{1\cdot 1\cdot 1} = 42$
  1. $\frac{14}{8} : \frac{7}{6}=\frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 1}=\frac{3}{2}$
  2. $\frac{1}{2} : \frac1{2}{1}=\frac{1}{4}$
  3. $\frac{12}{5} : \frac{24}{15}=\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}=\frac{3}{2}$
  4. $\frac{3}{8} : \frac{9}{64}=\frac{1 \cdot 8}{1 \cdot 3}=\frac{8}{3}$
  5. $\frac{6}{3} : \frac{18}{33}=\frac{1 \cdot 11}{1 \cdot 3}=\frac{11}{3}$

Aufgabe 5 Schreibweise von Brüchen und Rechenfehler

Welche Schreibweise ist sinnvoller oder welcher Fehler versteckt sich in der Rechnung?

  1. $\frac{-7}{20}+\frac{7}{4} = -\frac{7}{20}+\frac{7}{4}$

  2. $5/6=\frac{5}{6}$

  1. $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

  2. $\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}=\frac{6}{2}$



Entspann dich erst mal ...

Bogenschütze

Jonas beim Bogenschießen: "Jeder zweite Pfeil ist ein Volltreffer; ach, ich glaube, es sind noch viel mehr, mindestens jeder dritte oder sogar jeder vierte."

Aufgabe 6 Obstkauf

1 kg Bananen : 2 € | 1 kg Mangos : 3 € | 1 kg Erdbeeren : 3½ €

Bananen
  1. Robin kauft 2½ kg Bananen und 3½ kg Mangos sowie 4 kg Erdbeeren. Robin zahlt mit einem 50-€-Schein Wie viel Euro bekommt er zurück?
  2. Laura kauft zunächst 1½ kg Bananen und dann noch 2¼ kg Mangos. Sie überlegt: "Wie viel kg Erdbeeren kann ich für dasselbe Geld kaufen?"

  1. 1. Kosten für Bananen: $2\frac{1}{2}~kg\cdot 2~€=5~€$
    1. Kosten für Mangos: $3\frac{1}{2}~kg\cdot 3~€=10\frac{1}{2}~€$
    2. Kost für Erdbeeren: $4~kg\cdot 3\frac{1}{2}~€=14~€$
    3. Gesamtkosten: $5~€+10,5~€+14~€=29,5~€$ $=29\frac{1}{2}~€$
    4. Rückgeld: $50~€-29,5~€=20,5~€=20\frac{1}{2}~€$
  1. 1. Kosten für Mangos: $2\frac{1}{4}~kg\cdot 3~€=6,75~€$
    2. Kost für Bananen: $1\frac{1}{2}~kg\cdot 2~€=3~€$
    3. Gesamtkosten: $6,75~€+3~€=9,75~€=9\frac{3}{4}~€$
    4. Erdbeermenge: $9\frac{3}{4}~€:3\frac{1}{2}~€/kg=\frac{39}{4}:\frac{7}{2}=\frac{39}{14}~kg$

Aufgabe 7 Fahrradkauf

Luc spart für ein Fahrrad, das 480 € kostet. Seine Oma zahlt ⅓ des Preises, seine Tante will ¼ des Preises zahlen und seine Mutter ⅕ des Preises. Er selbst möchte monatlich 13 € von seinem Taschengeld sparen.

Wie viele Monate muss er für das Fahrrad sparen?

Fahrrad

1. Oma: $480~€ \cdot \frac{1}{3} = 160~€$
2. Tante: $480~€ \cdot \frac{1}{4} = 120~€$
3. Mutter: $480~€ \cdot \frac{1}{5} = 96~€$
4. Summe: $160~€ + 120~€ +96~€ = 376~€$
5. Restbetrag: $480~€ - 376~€ = 104~€$
6. Anzahl der Monate: $104~€:13~€ =8~Monate$



Aufgabe 8 "KlaPoPuS"

  1. $$\frac{7}{3}\cdot \frac{6}{3}- \frac{42}{9}$$
  2. $$\frac{5}{8}-\frac{3}{4}\cdot \frac{10}{2}$$
  3. $$\frac{2}{7}-\frac{3}{4}\cdot \frac{10}{7}$$
  4. $$\frac{5}{6}-\frac{1}{3}\cdot \frac{10}{3}$$
  1. $$\frac{1}{3}+2\cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2$$
  2. $$\frac{14}{64}+\left(\frac{2}{4}\right)^2\cdot \frac{1}{2}$$
  3. $$\frac{2}{5}+3\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2$$
  1. $$3:\left(\frac{8}{7}-\frac{4}{14}\right)$$
  2. $$7:\left(\frac{3}{6}-\frac{8}{3}\right)$$
  3. $$9:\left(\frac{25}{13}-\frac{6}{26}\right)$$
  1. $$0$$
  2. $$-\frac{25}{8}$$
  3. $$-\frac{22}{28}$$
  4. $$-\frac{5}{18}$$
  1. $$\frac{53}{9}$$
  2. $$\frac{22}{64}$$
  3. $$\frac{22}{25}$$
  1. $$\frac{7}{2}$$
  2. $$-\frac{42}{13}$$
  3. $$\frac{117}{22}$$


Aufgabe 9 Gemischte Brüche

  1. $$\frac{2\frac{1}{4}}{2\frac{3}{8}}$$
  2. $$\frac{-3\frac{1}{9}}{-4\frac{6}{3}}$$
  1. $$\frac{-2\frac{1}{2}}{3\frac{3}{4}}$$
  2. $$\frac{3\frac{1}{5}}{-2\frac{2}{15}}$$
  1. $$\frac{2\frac{1}{4}}{2\frac{2}{8}}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{18}{8}}=\frac{9\cdot 8}{4\cdot 18}=1$$
  2. $$\frac{-3\frac{1}{9}}{-4\frac{6}{3}}=\frac{\frac{28}{9}}{\frac{30}{6}}=\frac{28\cdot 6}{9\cdot 30}=\frac{28}{45}$$
  1. $$\frac{-2\frac{1}{2}}{3\frac{3}{4}}=-\frac{\frac{5}{2}}{\frac{15}{4}}=-\frac{5\cdot 4}{2\cdot 15}=-\frac{2}{3}$$
  2. $$\frac{3\frac{1}{5}}{-2\frac{2}{15}}=-\frac{\frac{16}{5}}{\frac{32}{15}}=-\frac{16\cdot 15}{5\cdot 32}=-\frac{3}{2}$$

Wortliste und Satzbausteine



die Bruch­zahl, -en besteht aus zwei Zahlen die durch einen Bruch­strich ge­trennt werden
der Bruch, -”e Kurz­form von Bruch­zahl
der Zähler, ~ die Zahl die über dem Bruch­strich steht
der Nenner,~ die Zahl die unter dem Bruch­strich steht
der Kehr­wert, -e der Wert, den man erhält, wenn man Zähler und Nenner eines Bruches ver­tauscht
die Klammer $(\dots)$, -n Durch Klammern, z.B. $(a+b)c$, wird ange­zeigt, das zuerst der Term in der Klammer be­rechnet werden muß.
der Term, -e mathe­matischer Aus­druck aus Zahlen und Rechen­zeichen, wie $1+4$ oder $x+2$
der Preis, -e die Kosten eines Gegen­standes
die Multi­plikation, -en das Mal­nehmen
die Division, -en das Teilen
die Addition, -en das Plus­nehmen oder Zusammen­zählen
die Sub­traktion, -en das Minus­nehmen, das Ab­ziehen, auch die Differenz bilden
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