Flaschen mit verschiedenen Sandarten

Bernoulliver­such - Binomialkoef­fizient - Binomialvertei­lung

Chrissy sammelt Sand. 20 % aller Sandstrände sind schwarz. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet sie bei 3 Besuchen 2mal einen schwarzen Sandstrand?

1 Der Sand­strand
Sandflaschen mit schwarzem und weißem Sand

20 % aller Sandstrände sind schwarz. Für meine Sammlung benötige ich nun noch schwarzen Sand und reise also auf gut Glück los und besuche 3 beliebige Strände. Mit welcher Wahrscheinlichkeit finde ich 2mal schwarzen Sand?

Ich interessiere mich also nur für die Frage des schwarzen Sandes, ja oder nein. Solche Experimente werden Bernoulliversuche genannt, vorrausgesetzt, die Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht im Laufe des Versuchs.

Man spricht von einer $n$-stufigen Bernoullikette mit $k$ Treffern.

2 Besuch von $n=2$ Strände
2stufiges Baumdiagramm

Wir vereinfachen das Probelm auf $n=2$ Strandbesuchen und schauen uns die möglichen Pfade an. Wie wahrscheinlich ist es $k=1$mal auf schwarzen Sand zu treffen?

Da es zwei Pfade gibt wenden wir für jeden Pfad die Pfadmultiplikationsregel an:
$p_{1mal\;S}=2\cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{10} = 32\;\%$

Anders sieht es für 2mal Sand für keinmal Sand mit 1 Pfad aus.

Anzahl schwarz $k$ 0 1 2
Anzahl Pfade 1 2 1
3 Besuch von $n=3$ Stränden
3stufiges Baumdiagramm

Wir haben gesehen, dass die Anzahl der möglichen Pfade, mit der Anzahl der $k$ Treffer variiert. Bei $n=3$ Besuchen wird die Variation schon größer:

Anzahl schwarz $k$ 0 1 2 3
Anzahl Pfade 1 3 3 1
4 Besuch von $n=4$ Stränden
Limettenbaum

Die Anzahl der Pfade bei einem 4stufigen Experiment:

Anzahl schwarz $k$ 0 1 2 3 4
Anzahl Pfade 1 4 6 4 1

Die Anazahl der möglichen Pfade nimmt immer weiter zu. Das Muster in der Verteilung legt eine Berechnungsmöglichkeit für die Anzahl der möglichen Pfade nahe.

5 Binomialkoeffizient
verschiedene Becher

5 Becher lassen sich auf $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ Möglichkeiten anordnen. Dies liegt da­ran, dass man für den ersten 5 Plätze, für den zweiten 4 Plätze u.s.w. zur Verfügung hat.

Möchte man aus $n=5$ Bechern $k=2$ Becher auswählen hat man $5 \cdot 4$ Möglich­kei­ten. Spielt die Reihenfolge dabei keine Rolle, da die Becher identisch sind, muss man noch durch die Anordnungsmöglichkeiten der 2 Becher teilen. Man schreibt den Binomialkoeffizient:
$\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right)=\frac{5\cdot 4}{2 \cdot 1}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{2 \cdot 1\;\;\; \cdot \;\;\; 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 20$

$$\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$
6 Formel von Bernoulli
3stufiges Baumdiagramm

Die Wahrscheinlichkeit für 2mal schwarz berechnet sich zu:

$p_{2mal\; S}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^1 $$= 3\cdot 0,2^2 \cdot 0,8 = 0,096 =9,6\;\% $

Allgemein kann man bei einer Bernoullikette der Länge $n$ mit einer Treffer­wahr­scheinlichkeit $p$ die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer mit der Bernoulli-Formel berechnen:

$$ P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
7 Binomialverteilung
Binomialverteilung

Berechnet man nun für $k=0,1,...,n$ die Trefferwahrscheinlichkeiten erhält man die Binomialverteilung.

$P(X=0)=0,512$
$P(X=1)=0,384$
$P(X=2)=0,096$
$P(X=3)=0,008$

Der Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsvariable $X$ berechnet sich zu:

$$E(X)=\mu=n \cdot p$$


Aufgabe 1 Permutation, Kombination, Variation

Wir haben fünf verschieden farbige Würfel. Das Würfelergebnis interessiert uns nicht.

fünf farbige Würfel

  1. Permutation: Berechne die Anzahl der Möglichkeiten 5 Würfel anzuordnen.
  2. Berechne die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten für 2 aus 5 Würfeln, wenn die Farbe ausschlaggebend für die Anordnung ist.
  3. Berechne die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für 2 aus 5 Würfeln, wenn die Farbe keine Rolle spielt.
  1. Permutation: $5!=120$
  2. Variation: $5 \cdot 4 = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right)2!=20$
  3. Kombination: $\frac{5 \cdot 4 }{2 \cdot 1}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right)=10$

Entspann dich erst mal ...


Hier eine Aufgabe von Daniel Jung erklärt.

Aufgabe 2 Der Münzwurf

Todd wirft 20mal die Münze. Kopf wird als Treffer gewertet.

  1. Nenne zwei Gründe warum es sich bei dem Spiel um ein Bernoulli-Experiment handelt.
  2. Berechne die Anzahl der Möglichkeiten 3 Treffer zu erzielen.
  3. Berechne die Anzahl der Pfade für 0, 1, ... 10 Treffer.
  4. Berechne die Wahrscheinlichkeit für 7 Treffer.
  5. Berechne die Wahrscheinlichkeit für 0, 1, ... 10 Treffer.
  6. Zeichne die Binomial-Verteilung.
  7. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 10 Treffer.
  8. Berechne die Wahrscheinlichkeit zwischen 8 und 12 Treffer.
Euromünze

  1. Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, da es nur zwei Ereignisse gibt ("Kopf" oder "Zahl") und die Wahrscheinlichkeit sich nicht verändert.
  2. $\left(\begin{array}{c} 20 \\ 3 \end{array}\right)= \frac{20!}{3! \cdot (20-3)!}=1140$
  3. Berechnung der Pfadmöglichkeiten:
    $k$ 0 1 2 3
    Pfade 1 20 190 1140
  4. $P(X=7)=0,0739$
  5. Berechnung von $P(X=k)$:
    $k$ 0 1 2 3
    $P$ 0 0 0,0002 0,0011
  6. Binomialverteilung:
    Binomialverteilung
  7. $P(X\ge 10)=0,5881$
  8. $P(8 \le X\le 12)=0,7368$


Aufgabe 3 Würfeln

Wir würfeln mit fünf Würfeln. Jede EINS zählt als Treffer.

fünf Würfel

  1. Nenne zwei Gründe warum es sich bei dem Spiel um ein Bernoulli-Experiment handelt.
  2. Berechne die Anzahl der Möglichkeiten 2 Treffer bei 5maligem Würfeln zu erhalten.
  3. Berechne die Anzahl der Pfade für 0, 1, ... 5 Treffer.
  4. Berechne die Wahrscheinlichkeit für 2 Treffer.
  5. Berechne die Wahrscheinlichkeit für 0, 1, ... 5 Treffer.
  6. Zeichne die Binomial-Verteilung.
  7. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Treffer.
  8. Berechne die Wahrscheinlichkeit für maximal 2 Treffer.
  9. Berechne wie oft muß man einen Würfel wenigstens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 wenigstens eine EINS zu werfen.
  1. Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment, da es nur zwei Ereignisse gibt ("2" oder "keine 2") und die Wahrscheinlichkeit sich nicht verändert. Dabei spielt es keine Rolle, ob alle 5 Würfel auf einmal oder hintereinander gewürfelt werden.
  2. $\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right)= \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!}=\frac{5 \cdot 4}{2}=10$
  3. Berechnung der Pfadmöglichkeiten:
    $k$ 0 1 2 3
    Pfade 1 5 10 10
  4. $P(X=2)=0,1608$
  5. Berechnung von $P(X=k)$:
    $k$ 0 1 2 3
    $P$ 0,4 0,4 0,16 0,032
  1. Binomialverteilung:
    Binomialverteilung
  2. $P(X\ge 2)=0,1963$
  3. $P(X\le 2)=0,9645$
  4. $P(X\le 1)=1-P(X=0)>0,9$. Lösen dieser Gleichung liefert $n>12,63$. Also muss mindestens 13mal gewürfelt werden. Man beachte, dass beim Lösen einer Ungleichung sich das Kleiner-Zeichen umdreht, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder teilt. So auch bei der Operation $:ln(5/6)$, da dieser Wert negativ ist.

Aufgabe 4 Junge oder Mädchen?

In Deutschland werden mehr Jungen als Mädchen geboren. Die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen beträgt etwa 0,513. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man bei den nächsten 10 Geburten folgendes beobachtet:

  1. 10 Jungen werden geboren,
  2. es werden zuerst 6 Jungen und dann 4 Mädchen geboren,
  3. es werden 6 Jungen und 4 Mädchen geboren.
  4. Berechne den Erwartungswert bei den nächsten 1000 Geburten.
Junge und Mädchen

  1. $P(X=10)=1\cdot 0,513^{10} \cdot (1-0,513)^0=0,126\:\%$
  2. $P(X=6)=1\cdot 0,513^6 \cdot (1-0,513)^4=0,103\:\%$
  3. $P(X=6)=210\cdot 0,513^6 \cdot (1-0,513)^4=21,63\:\%$
  4. $E(X)=1000 \cdot 0,513 = 513$
    Wir erwarten 513 Jungen.


Wortliste und Satzbausteine



das Ereig­nis, -se Ein Ereignis ist eine bestimmte Folge von Ergeb­nissen eines Zufalls­experiements. Bsp. beim Würfeln: nur gerade Zahlen $E=\{2;4;6\}$
der Bernoulli­versuch, -e ein statistischer Versuch der $n$mal wiederholt wird, bei dem es nur zwei Ergebnisse gibt (Treffer oder Niete). Die Wahrscheinlichkeit ändert sich im laufe des Versuchs nicht.
die Bernoullikette, -n ein Bernoulli­versuch mit $n$ Stufen und $k$ Treffern
die Anordnungsmöglich­keit, -en Anzahl an Variationen für die Anordnung von Gegenständen
der Binomialkoeffi­zient, -en berechnet die Anazahl der Möglichkeiten $k$ Treffer bei $n$ Versuchen zu erreichen: $\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$
die Formel von Bernoulli, keine Mehrzahl zur Wahrscheinlichkeitsberechnung von $k$ Treffern in einer Bernoullikette: $ P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
die Binomialver­teilung, -en zeigt die Verteilung aller Wahrscheinlichkeiten bei einem $n$-stufigen Experiment übersichtlich in einem Balkendiagramm.
der Erwartungs­wert, -e der am häufigsten auftretende Wert bei einem $n$-stufigen Experiment: $\mu=n\cdot p$
die absolute Häufig­keit $H(E)$, -en die Zahl die in einer Stich­probe angibt wie oft ein Ereignis $E$ eingetreten ist
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