Steinturm

Die Längenberechnung eines Vektors, die Lage von Vektoren mit Hilfe des Skalarprodukts, die Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren, der Normalenvektor und die Normalenform einer Ebene werden erklärt.

1 Länge von Vektoren
Steinturm

In der Greina Hochebene auf über 2000 m steht dieser Steinturm. Bezogen auf den Beobachter hat die linke untere Ecke der Steinplatte die Position U(30|27|48) und die obere rechte Ecke die Position O(41|47|52).

Die Richtungsvektor $\vec{UO}$ hat die Länge der Raumdiagonalen $|UO|$ zwischen den beiden Punkten.

Bestimme den Richtungsvektor und dessen Länge.

enaktiv

2 Berechnung der Länge eines Vektors
technische Zeichnung

Mit $d^2=11^2+20^2$ und $|\vec{UO}|^2=d^2+4^2$ folgt: $|\vec{UO}|=\sqrt{11^2+20^2+4^2}$.

Satz 1: Der Vektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$ hat die Länge

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$$.

ikonisch, symbolisch

3 Skalarprodukt von Vektoren

Definition: Das Skalarprodukt $\vec{u} \cdot \vec{v}$ der beiden Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ berechnet man:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right) $$= u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

Zum Beispiel rechnet man: $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right) $$= 1\cdot 4 +2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32$.

4 Orthogonalität von Vektoren
Vektordreieck

Zwei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ sind dann orthogonal zueinander (d.h. stehen senkrecht aufeinander), wenn gilt: $|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2$. Durch Einsetzen der Beträge und Umformung der Gleichung erhält man als Bedingung für die Orthogonalität der zwei Vektoren:

$$u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 = 0$$

Satz 2: Zwei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ sind dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null hat.

$$\vec{u} \bot \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$
5 Winkel zwischen zwei Vektoren

Stehen die beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nicht senkrecht aufeiander, kann man $\vec{v}$ in zwei Vektoren zerlegen, von denen der eine parallel und der andere othogonal zu $\vec{u}$ ist: $\vec{v} = \vec{v_\parallel} + \vec{v}_\bot$. Damit erhält man: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (\vec{v_\parallel} + \vec{v}_\bot) =\vec{u} \cdot \vec{v}_\parallel $$= |\vec{u}| \cdot |\vec{v}_\parallel| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \varphi$.

Satz 3: Der Winkel $\varphi$, im Bereich 0 ° ... 180 °, zwischen zwei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ berechnet sich zu:

$$\cos \varphi = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$$
6 Normalenvektor

Der Normalenvektor $\vec{n}$ ist orthogonal zu einer Ebene und damit orthogonal zu den Richtungsverktoren der Ebene.

Gegeben ist $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$ und der Richtungsvektor $\vec{AB}=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 9 \end{array}\right)$.
$\vec{n} \cdot \vec{AC} $$= (-1) \cdot 6 + (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 9 =0$

Der Normalenvektor kann über das Vektorprodukt zweier Richtungsvektoren bestimmt werden.

7 Normalenform der Ebene

Satz 4: Mit dem Punkt $A(a_1|a_2|a_3)$ und $X(x_1|x_2|x_3)$ der Ebene E sowie dem Normalenvektor $\vec{n}$ kann eine Ebene in der Normalenform beschrieben werden:

$$\vec{n} \cdot \left(\vec{OX} -\vec{OA}\right)=0$$

Durch Berechnen des Skalarprodukts ergibt sich die Ebene in Koordinatenform.

Ideen:
D. Jung, danieljung.education
H. Griesel et al, "Elemente der Mathematik", Bildungshaus Schulbuchverlage, 2010



Aufgabe 1 Länge eines Vektors

Ermittel die Länge des Vektors $\vec{u}$.

  1. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$
  2. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \sqrt{21} \end{array}\right)$
  3. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 1/3 \\ -2/4 \\ 1/5 \end{array}\right)$

Welchen Fehler haben Dan und Eaton gemacht?

  1. $\left|\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9+2+4}=\sqrt{15}$
  2. $\left|\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9^2+2^2+4^2}=15$
  3. $\left|\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9+16-4}=\sqrt{21}$

Ermittel die Länge des Vektors $\vec{u}$.

  1. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)=\sqrt{9+4+1}$$=\sqrt{14}$
  2. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \sqrt{21} \end{array}\right)=\sqrt{0+4+21}$$=5$
  3. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 1/3 \\ -2/4 \\ 1/5 \end{array}\right)=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{25}}$$=0,6333$

Welchen Fehler haben Dan und Eaton gemacht?

  1. $\left|\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9^2+2^2+4^2}$$=\sqrt{101}$
  2. $\left|\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9^2+2^2+4^2}$$=\sqrt{101}$
  3. $\left|\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9+16+4}$$=\sqrt{29}$


Aufgabe 2 Parameter und Länge eines Vektors

Wie groß muß der Parameter $k$ sein, damit der Vektor $\vec{v}=k\cdot \vec{u}$ die Länge 4 hat?

  1. $\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)$
  1. $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ \sqrt{3} \end{array}\right)$
  1. $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$
  1. $k=4/5$
  2. $k=1$
  3. $4/\sqrt{14}$

Aufgabe 3 Innenwinkel von Dreiecken

Bestimme die Innenwinkel der abgebildeten Dreiecke.


  1. Ebene mit Spurpunkten


  1. Ebene mit Spurpunkten

  1. Bestimme zuerst die Spurpunkte von E: $2x_1+3x_2-x_3=1$
  1. gleichschenkliges Dreieck: $\alpha=71,565\:°$, $\beta=71,565\:°$, $\gamma=36,87\:°$
  2. $\alpha=75,64\:°$, $\beta=60,05\:°$, $\gamma=44,32\:°$
  3. $\alpha=68,2\:°$, $\beta=79,9\:°$, $\gamma=180-68,2-79,9$$=31,9\:°$


Entspann dich erstmal ...


Hier eine Zusammenfassung über alles wissenswerte über Vektoren, deren Lage und Länge und anderes.

von Dorfuchs

Aufgabe 4 Quader

Gegeben ist ein Quader mit der Höhe $|\vec{AB}|=2$, der Länge $|\vec{AF}|=6$ und der Tiefe $|\vec{FD}|=2$

  1. Bestimme die Punkte A bis F.
  2. Stelle eine Ebene in Parameterform auf, auf welcher die Punkte A, B, C, D liegen.
  3. Stelle eine Ebene in Parameterform auf, auf welcher die Punkte A, B, E, F liegen.
  4. Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen.
  5. Zeige das die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AF}$ zueinander orthogonal sind.
  6. Bestimme den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren $\vec{AF}$ und $\vec{AD}$
  7. Bestimme die Länge $|\vec{AC}|$ und $|\vec{AE}|$.
Ebene in einem Quader

  1. Punkte A bis F: $\text{A}(2|0|0)$, $\text{B}(2|0|2)$, $\text{C}(0|6|2)$, $\text{D}(0|6|0)$, $\text{E}(2|6|2)$, $\text{F}(2|6|0)$
  2. E: $\vec{x}=\vec{OA}+s\cdot\vec{AD}+t\cdot\vec{AB}=$$\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  3. E: $\vec{x}=\vec{OA}+s\cdot\vec{AF}+t\cdot\vec{AB}=$$\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  4. g: $\vec{x}=\vec{OA}+r\cdot\vec{AB}=$$\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + r\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  5. Orthogonalität: $\vec{AB}\cdot\vec{AF}=0$
  6. Winkel: $\varphi = 18,43\:°$
  7. Längen: $|\vec{AC}|= 6,63 $ und $|\vec{AE}|= 6,32$

Aufgabe 5 Normalenvektor und Normalenform

Bestimme den Normalenvektor der Ebene und stelle eine Normalenform der Ebene auf. Es gilt: $s,t \in \mathbb{R}$.


  1. E: $\vec{x}=\left(\hspace{-1.5mm}\hspace{-1mm}\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$

  2. E: $\vec{x}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\hspace{-1mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$


  1. E: $\vec{x}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 3 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\hspace{-1mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\hspace{-1mm}\right)$

  1. $\vec{n}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) \times \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -16 \\ -16 \\ -8 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$

  2. $\vec{n}=\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\hspace{-1mm}\right) \times \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 7 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$

  1. $\vec{n}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) \times \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\hspace{-1mm}\right)=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ -1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$

Aufgabe 6 Der Würfel und das Sechseck

Das abgebildete Sechseck ist eine Ebene die einen Würfel mit der Kantenlänge 4 teilt. Dabei liegt das Sechseck mit seinen Ecken $A$ bis $F$ auf den Mittelpunkten der Kantenflächen. Der Würfel hat die zwei gegenüberliegenden Eckpunkte $O(0|0|0)$ und $G(4|4|4)$.

Ebene aus Sechseck in einem Würfel

  1. Gib die Koordinaten der Eckpunkte des Seckecks an.
  2. Stelle eine Parameterform der Ebene mit dem Ortsvektor $\vec{OA}$ auf.
  3. Bestimme den Winkel zwischen den zwei Richtungsvektoren.
  4. Bestimme eine Normalenform der Ebene.
  5. Bestimme die Koordinatenform der Ebene.
  6. Stelle eine Gleichung der Geraden durch den Punkt $O$ und $G$ auf.
  7. Bestimme den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebende.
  1. Punkte A bis F: $\text{A}(4|0|2)$, $\text{B}(4|2|0)$, $\text{C}(2|4|0)$, $\text{D}(0|4|2)$, $\text{E}(0|2|4)$, $\text{F}(2|0|4)$
  2. E: $\vec{x}=\vec{OA}+s\cdot\vec{AF}+t\cdot\vec{AB}=$$\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  3. Winkel: $\varphi = 120\:°$
  4. Normalenform:
    $\vec{n}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) \times \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\hspace{-1mm}\right)=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ -4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
    E: $\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ -4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) \cdot \left(\vec{x} -\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)\right)$
  1. Koordinatenform: $x_1+x_2+x_3=6$
  2. Gerade g: $\vec{x}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + r\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  3. Einsetzen der Geraden in die Koordinatenform der Ebene: $4r+4r+4r=6\:\Leftarrow r=0,5$. Schnittpunkt: M(2|2|2)

Wortliste und Satzbausteine



das Skalar, die Skalare Eine Größe mit Wert, aber ohne Richtung.
der Vektor, die Vektoren Eine Größe mit Richtung und Betrag (Wert).
das Skalar­produkt, -e Ein Wert der sich aus der Multiplikation zweier Vektoren ergibt
der Normalen­vektor, -en Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht
die Normalenform einer Ebene Mathematische Darstellungsform für eine Ebene mithilfe des Normalen­vektors.
orthogonale Vektoren Zwei Vektoren die 90 °, bzw. senkrecht zueiander stehen.
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