Steinturm

Analytische Geometrie - Länge und Lage von Vektoren

Die Längenberechnung eines Vektors, die Lage von Vektoren mit Hilfe des Skalarprodukts, die Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren, der Normalenvektor und die Normalenform einer Ebene werden erklärt.

1 Länge von Vektoren
Steinturm

In der Greina Hochebene auf über 2000 m steht dieser Steinturm. Bezogen auf den Beobachter hat die linke untere Ecke der Steinplatte die Position U(30|27|48) und die obere rechte Ecke die Position O(41|47|52).

Die Richtungsvektor $\vec{UO}$ hat die Länge der Raumdiagonalen $|UO|$ zwischen den beiden Punkten.

Bestimme den Richtungsvektor und dessen Länge.

enaktiv

2 Berechnung der Länge eines Vektors
technische Zeichnung

Mit $d^2=11^2+20^2$ und $|\vec{UO}|^2=d^2+4^2$ folgt: $|\vec{UO}|=\sqrt{11^2+20^2+4^2}$.

Satz 1: Der Vektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$ hat die Länge

$$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$$.

ikonisch, symbolisch

3 Skalarprodukt von Vektoren

Definition: Das Skalarprodukt $\vec{u} \cdot \vec{v}$ der beiden Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ berechnet man:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right) $$= u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

Zum Beispiel rechnet man: $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right) $$= 1\cdot 4 +2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32$.

4 Orthogonalität von Vektoren
Vektordreieck

Zwei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ sind dann orthogonal zueinander (d.h. stehen senkrecht aufeinander), wenn gilt: $|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2$. Durch Einsetzen der Beträge und Umformung der Gleichung erhält man als Bedingung für die Orthogonalität der zwei Vektoren:

$$u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 = 0$$

Satz 2: Zwei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ sind dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null hat.

$$\vec{u} \bot \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$
5 Winkel zwischen zwei Vektoren

Stehen die beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nicht senkrecht aufeiander, kann man $\vec{v}$ in zwei Vektoren zerlegen, von denen der eine parallel und der andere othogonal zu $\vec{u}$ ist: $\vec{v} = \vec{v_\parallel} + \vec{v}_\bot$. Damit erhält man: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (\vec{v_\parallel} + \vec{v}_\bot) =\vec{u} \cdot \vec{v}_\parallel $$= |\vec{u}| \cdot |\vec{v}_\parallel| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \varphi$.

Satz 3: Der Winkel $\varphi$, im Bereich 0 ° ... 180 °, zwischen zwei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ berechnet sich zu:

$$\cos \varphi = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$$
6 Normalenvektor

Der Normalenvektor $\vec{n}$ ist orthogonal zu einer Ebene und damit orthogonal zu den Richtungsverktoren der Ebene.

Gegeben ist $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)$ und der Richtungsvektor $\vec{AB}=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 9 \end{array}\right)$.
$\vec{n} \cdot \vec{AC} $$= (-1) \cdot 6 + (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 9 =0$

Der Normalenvektor kann über das Vektorprodukt zweier Richtungsvektoren bestimmt werden.

7 Normalenform der Ebene

Satz 4: Mit dem Punkt $A(a_1|a_2|a_3)$ und $X(x_1|x_2|x_3)$ der Ebene E sowie dem Normalenvektor $\vec{n}$ kann eine Ebene in der Normalenform beschrieben werden:

$$\vec{n} \cdot \left(\vec{OX} -\vec{OA}\right)=0$$

Durch Berechnen des Skalarprodukts ergibt sich die Ebene in Koordinatenform.

Ideen:
D. Jung, danieljung.education
H. Griesel et al, "Elemente der Mathematik", Bildungshaus Schulbuchverlage, 2010



Aufgabe 1 Länge eines Vektors

Ermittel die Länge des Vektors $\vec{u}$.

  1. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$
  2. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \sqrt{21} \end{array}\right)$
  3. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 1/3 \\ -2/4 \\ 1/5 \end{array}\right)$

Welchen Fehler haben Dan und Eaton gemacht?

  1. $\left|\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9+2+4}=\sqrt{15}$
  2. $\left|\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9^2+2^2+4^2}=15$
  3. $\left|\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9+16-4}=\sqrt{21}$

Ermittel die Länge des Vektors $\vec{u}$.

  1. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)=\sqrt{9+4+1}$$=\sqrt{14}$
  2. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \sqrt{21} \end{array}\right)=\sqrt{0+4+21}$$=5$
  3. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 1/3 \\ -2/4 \\ 1/5 \end{array}\right)=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+ \frac{1}{25}}$$=0,6333$

Welchen Fehler haben Dan und Eaton gemacht?

  1. $\left|\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9^2+2^2+4^2}$$=\sqrt{101}$
  2. $\left|\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9^2+2^2+4^2}$$=\sqrt{101}$
  3. $\left|\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{9+16+4}$$=\sqrt{29}$


Aufgabe 2 Parameter und Länge eines Vektors

Wie groß muß der Parameter $k$ sein, damit der Vektor $\vec{v}=k\cdot \vec{u}$ die Länge 4 hat?

  1. $\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)$
  1. $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ \sqrt{3} \end{array}\right)$
  1. $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$
  1. $k=4/5$
  2. $k=1$
  3. $4/\sqrt{14}$

Aufgabe 3 Innenwinkel von Dreiecken

Bestimme die Innenwinkel der abgebildeten Dreiecke.


  1. Ebene mit Spurpunkten


  1. Ebene mit Spurpunkten

  1. Bestimme zuerst die Spurpunkte von E: $2x_1+3x_2-x_3=1$
  1. gleichschenkliges Dreieck: $\alpha=71,565\:°$, $\beta=71,565\:°$, $\gamma=36,87\:°$
  2. $\alpha=75,64\:°$, $\beta=60,05\:°$, $\gamma=44,32\:°$
  3. $\alpha=68,2\:°$, $\beta=79,9\:°$, $\gamma=180-68,2-79,9$$=31,9\:°$


Entspann dich erstmal ...


Hier eine Zusammenfassung über alles wissenswerte über Vektoren, deren Lage und Länge und anderes.

von Dorfuchs

Aufgabe 4 Quader

Gegeben ist ein Quader mit der Höhe $|\vec{AB}|=2$, der Länge $|\vec{AF}|=6$ und der Tiefe $|\vec{FD}|=2$

  1. Bestimme die Punkte A bis F.
  2. Stelle eine Ebene in Parameterform auf, auf welcher die Punkte A, B, C, D liegen.
  3. Stelle eine Ebene in Parameterform auf, auf welcher die Punkte A, B, E, F liegen.
  4. Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen.
  5. Zeige das die Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AF}$ zueinander orthogonal sind.
  6. Bestimme den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren $\vec{AF}$ und $\vec{AD}$
  7. Bestimme die Länge $|\vec{AC}|$ und $|\vec{AE}|$.
Ebene in einem Quader

  1. Punkte A bis F: $\text{A}(2|0|0)$, $\text{B}(2|0|2)$, $\text{C}(0|6|2)$, $\text{D}(0|6|0)$, $\text{E}(2|6|2)$, $\text{F}(2|6|0)$
  2. E: $\vec{x}=\vec{OA}+s\cdot\vec{AD}+t\cdot\vec{AB}=$$\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  3. E: $\vec{x}=\vec{OA}+s\cdot\vec{AF}+t\cdot\vec{AB}=$$\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  4. g: $\vec{x}=\vec{OA}+r\cdot\vec{AB}=$$\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + r\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  5. Orthogonalität: $\vec{AB}\cdot\vec{AF}=0$
  6. Winkel: $\varphi = 18,43\:°$
  7. Längen: $|\vec{AC}|= 6,63 $ und $|\vec{AE}|= 6,32$

Aufgabe 5 Normalenvektor und Normalenform

Bestimme den Normalenvektor der Ebene und stelle eine Normalenform der Ebene auf. Es gilt: $s,t \in \mathbb{R}$.


  1. E: $\vec{x}=\left(\hspace{-1.5mm}\hspace{-1mm}\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$

  2. E: $\vec{x}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\hspace{-1mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$


  1. E: $\vec{x}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 3 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\hspace{-1mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\hspace{-1mm}\right)$

  1. $\vec{n}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) \times \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -16 \\ -16 \\ -8 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$

  2. $\vec{n}=\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\hspace{-1mm}\right) \times \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 7 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$

  1. $\vec{n}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) \times \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\hspace{-1mm}\right)=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ -1 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$

Aufgabe 6 Der Würfel und das Sechseck

Das abgebildete Sechseck ist eine Ebene die einen Würfel mit der Kantenlänge 4 teilt. Dabei liegt das Sechseck mit seinen Ecken $A$ bis $F$ auf den Mittelpunkten der Kantenflächen. Der Würfel hat die zwei gegenüberliegenden Eckpunkte $O(0|0|0)$ und $G(4|4|4)$.

Ebene aus Sechseck in einem Würfel

  1. Gib die Koordinaten der Eckpunkte des Seckecks an.
  2. Stelle eine Parameterform der Ebene mit dem Ortsvektor $\vec{OA}$ auf.
  3. Bestimme den Winkel zwischen den zwei Richtungsvektoren.
  4. Bestimme eine Normalenform der Ebene.
  5. Bestimme die Koordinatenform der Ebene.
  6. Stelle eine Gleichung der Geraden durch den Punkt $O$ und $G$ auf.
  7. Bestimme den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebende.
  1. Punkte A bis F: $\text{A}(4|0|2)$, $\text{B}(4|2|0)$, $\text{C}(2|4|0)$, $\text{D}(0|4|2)$, $\text{E}(0|2|4)$, $\text{F}(2|0|4)$
  2. E: $\vec{x}=\vec{OA}+s\cdot\vec{AF}+t\cdot\vec{AB}=$$\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + s\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + t\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  3. Winkel: $\varphi = 120\:°$
  4. Normalenform:
    $\vec{n}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) \times \left(\hspace{-1mm}\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \end{array}\hspace{-1mm}\right)=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ -4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
    E: $\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ -4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) \cdot \left(\vec{x} -\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)\right)$
  1. Koordinatenform: $x_1+x_2+x_3=6$
  2. Gerade g: $\vec{x}=\left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right) + r\cdot \left(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}\hspace{-1.5mm}\right)$
  3. Einsetzen der Geraden in die Koordinatenform der Ebene: $4r+4r+4r=6\:\Leftarrow r=0,5$. Schnittpunkt: M(2|2|2)

Wortliste und Satzbausteine



das Skalar, die Skalare Eine Größe mit Wert, aber ohne Richtung.
der Vektor, die Vektoren Eine Größe mit Richtung und Betrag (Wert).
das Skalar­produkt, -e Ein Wert der sich aus der Multiplikation zweier Vektoren ergibt
der Normalen­vektor, -en Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht
die Normalenform einer Ebene Mathematische Darstellungsform für eine Ebene mithilfe des Normalen­vektors.
orthogonale Vektoren Zwei Vektoren die 90 °, bzw. senkrecht zueiander stehen.
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