Hoch- und Tiefpunkte

Jede Bergkette hat Gipfel und Senken. Modeliert man das Profil mathematisch erhält man Hoch- und Tiefpunkte.

Ein Hochpunkt ist ein Berg, ein Tiefpunkt ein Tal, wie bei einer Achterbahn. Um herauszufinden, wie man die Extrem­punk­te mathematisch bestimmt, muss man deren Eigenschaften untersuchen.

Genau auf einem Berg der Achterbahn geht es, wie beim Tal, weder nach oben noch nach unten. Man ist schon ganz oben, bzw. ganz unten, es gibt hier weder Steigung noch Gefälle. Die Steigung ist gleich Null.

Die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 – 3x$ hat zwei Extrempunkte: Einen Hochpunkt (Berg) und einen Tiefpunkt (Tal). Als Bedingung für einen Extrempunkt gilt:

$$\text{Steigung}=\text{Ableitung}=f'(x)=0$$

Bilden wir die erste Ableitung und setzen wie gefordert diese gleich Null erhalten wir die x-Koordinaten:

$\begin{align} f’(x) = 3x^2 – 3 &=0\\ x^2 &= 1\\ x_1 = – 1~~&\wedge~~ x_2 = 1\\ \end{align}$

Durch einsetzen der Werte in die Funktionsgelichung erhalten wir die zugehörigen y-Koordinaten:
$f(-1)= 2$
$f(1)=-2$

Ob es sich bei dem Extrempunkt um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt können wir über die zweite Ableitung herausfinden.

$f''(x)<0~\Rightarrow~\text{Hochpunkt}$
$f''(x)>0~\Rightarrow~\text{Tiefpunkt}$

Ein Sonderfall stellt bspw. die Funktion $f(x)=x^3$ mit $f'(x)=3x^2$ und $f''(x)=6x$ dar. An der Stelle $x=0$ ist die erste und zweite Ableitung Null.

Ob es sich bei dem Extrempunkt um einen Sattelpunkt handelt können wir über die zweite Ableitung herausfinden. Um ganz sicher zu gehen müssen wir allerdings noch die dritte Ableitung bilden:

$f''(x)=0 \wedge $ $f'''(x)\neq 0~\Rightarrow~\text{Sattelpunkt}$