immer steiler werdende Bergwiese

Wendepunkte

Rechtskurven, Linkskurven und Wendepunkte kannst du mit der zweiten und dritten Ableitung bestimmen. Wie das funktioniert erfährst du hier.

1 Wachstum einer Kiefer
Wachstum einer Kiefer

Das Wachstum eines Baumes ist nicht linear. In den ersten Jahren wächst er langsam, dann wird das Wachstum schneller, bevor es am Ende wieder abnimmt.

Das Wachstum einer Kiefer wird durch die Funktion $$f(x)=\frac{-1}{\small{1200}}x^3\hspace{-1mm}+\frac{17}{\small{400}}x^2\hspace{-1mm}+\frac{43}{\small{120}}x\hspace{-0.5mm}+1$$ mit $~x~\in [0;37]$ beschrieben. In welchem Jahr ist das Wachstum der Kiefer am größten?

2 Rechts, links, rechts ...
Skispuren

Versetz dich in die Lage eines Skifahrers oder fahre mit dem Fahrrad einen Slalomparcour.

Übertrage einen Teil der Strecke auf dein Arbeitsblatt und kennzeichne Rechtsskurven, Linkskurven und Wendepunkte. Woran erkennst du einen Wendepunkt? Kannst du ihn fühlen?

Merke:
In einem Wendepunkt geht eine Rechtskurve in eine Linkskurve über oder umgekehrt.

3 Kosten eines Betriebes
Schaubild der Funktion f(x)=x^3-6x^2+14x+5

Die Produktionskosten $f(x)$ eine Betriebes werden für $x$ Einheiten $[0;6]$ durch die Funktion $f(x)=x^3-6x^2+14x+5$ angegeben.

Übertrage die Funktion in dein Heft. Kennzeichne Wendepunkt, Rechtskurve und Linkskurve.

$x$ 0 1 2 3 4
$f(x)$ $5$ $14$ $17$ $20$ $29$
4 Änderung der Kosten
Schaubild der ersten Ableitung f'(x)=3x^2-12x+14

Die Änderung der Produktionskosten (Steigung) $f'(x)$ wird durch die erste Ableitung $f'(x)=3x^2-12x+14$ angegeben.

Übertrage die Funktion in dein Heft. In welchen Bereichen fällt, bzw. steigt die Funktion?

$x$ 0 1 2 3 4
$f(x)$ $14$ $5$ $2$ $5$ $14$
5 Krümmung der Kosten
Schaubild der zweiten Ableitung f''(x)=6x-12

Die Krümmung der Kosten wird durch $f''(x)=6x-12$ angegeben:
$f''(x)< 0~\Rightarrow~\text{Rechtskurve}~~~~~~$ $f''(x)> 0~\Rightarrow~\text{Linkskurve}$

Übertrage die Funktion in dein Heft. Welche Bedingung gilt für einen Wendepunkt?

Satz 1 für Wendepunkt:
$f''(x_0)=0 \wedge f''(x)$ hat einen VZW an der Stelle $x_0$ $~\Rightarrow~W \left(x_0|f(x_0)\right)$

Satz 2 für Wendepunkt:
$f''(x_0)=0 \wedge x_0$ ist einfache Nullstelle von $f''(x)$ $~\Rightarrow~W \left(x_0|f(x_0) \right)$

6 Die dritte Ableitung
Schaubild der dritten Ableitung f''(x)=6

Aus der dritten Ableitung lässt sich die am häufigsten verwendete Bedingung ableiten. Kannst du sie erraten?

Übertrage die Funktion $f'''(x)=6$ in dein Heft. Welche Besonderheit fällt dir auf?

Satz 3 für Wendepunkt:
$f''(x_0)=0 \wedge f'''(x) \neq 0$ $~\Rightarrow~W\left(x_0|f(x_0)\right)$

Ideen: P. Wunderlich, Seminar Weingarten



Aufgabe 1 Rechtskurven, Linkskurven, Wendepunkte

Parabel vierter Ordnung

Übertrage das Schaubild in dein Aufgabenheft und kennzeichne Rechtskurven, Linkskurven und Wendepunkte.

Parabeln vierter Ordnung mit Kennzeichnung der Wendepunkte



Aufgabe 2 Rechts- und Linkskrümmung

Untersuche rein rechnerisch, ob das Schaubild rechts- oder linksgekrümmt ist.

  1. $f(x)=-x^2+3$
  2. $f(x)=x^4+x^2$
  1. $f''(x)< 0 \Rightarrow~\text{Rechtskurve}$
  2. $f''(x)> 0 \Rightarrow~\text{Linkskurve}$


Aufgabe 3 Rechts- und Linkskrümmung

$$f(x)=\frac{1}{8}x^4-x^3+2x^2+\frac{1}{2}x+1$$

Berechne das Krümmungsverhalten des Schaubildes an folgenden Stellen:

  1. $x=0$
  2. $x=2$
  3. $x=4$
  1. $f''(0)> 0 \Rightarrow~\text{Linkskurve}$
  2. $f''(2)< 0 \Rightarrow~\text{Rechtskurve}$
  3. $f''(4)> 0 \Rightarrow~\text{Linkskurve}$


Entspann dich erst mal ...


Genug gerechnet? Der Schädel brummt?
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Aufgabe 4 Wendepunkt

Das Wachstum einer Bergkiefer wird durch die Funktion $$f(x)=-\frac{1}{1200}x^3+\frac{17}{400}x^2+\frac{43}{120}x+1$$ mit $~x~\in [0;37]$ beschrieben.

  1. Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung.
  2. Bestimme den Wendepunkt.
  3. In welchem Jahr ist das Wachstum der Kiefer am größten?
Kiefer mit Wachstumskurve

  1. Ableitungen:
    $f'(x)=-\frac{3}{1200}x^2+\frac{34}{400}x+\frac{43}{120}$
    $f''(x)=-\frac{6}{1200}x+\frac{34}{400}$
    $f''(x)=-\frac{6}{1200}$
  2. Wendepunkt:
    $\begin{align} f''(x) &= 0\\ -\frac{6}{1200}x+\frac{34}{400} &= 0\\ -\frac{6}{1200}x &=-\frac{34}{400}\\ x &= 17\\ \end{align}$ Wendepunkt: $W(17|15,28)$
  3. Im Wendepunkt, d.h. im 17. Jahr, wächst die Kiefer am schnellsten und ist 15,28 m hoch.


Aufgabe 5 Wendepunkt und Krümmung

Gegeben sind die beiden Funktionen:

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)$$
$$g(x)=\frac{1}{4}x^2(x+2)(x-2)$$
  1. Bilde die erste, zweite und dritte Ableitung.
  2. Bestimme die Wendepunkte.
  3. Bestimme das Krümmungsverhalten rechts und links der Wendepunkte.
  1. Ableitungen:
    $f(x)=\frac{1}{2}x^3-3x^2+\frac{11}{2}x-3$
    $f'(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+\frac{11}{2}$
    $f''(x)=3x-6$
    $f'''(x)=3$

  2. Wendepunkt:
    $\begin{align} f''(x) &= 0\\ \frac{6}{2}x-6 &= 0\\ \frac{6}{2}x &= 6\\ x &= 2\\ \end{align}$

    $f'''(3)\neq 0 \Rightarrow$ Wendepunkt: $W(2|0)$

  3. $f''(1)=-3<0 \Rightarrow \text{Rechtskurve}$
    $f''(3)=3>0 \Rightarrow \text{Linkskurve}$
  1. Ableitungen:
    $g(x)=\frac{1}{4}x^4-x^2$
    $g'(x)=x^3-2x$
    $g''(x)=3x^2-2$
    $g'''(x)=3x$

  2. Wendepunkte:
    $\begin{align} g''(x) &= 0\\ 3x^2-2 &= 0\\ x^2 &= \frac{2}{3}\\ x_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\\ \end{align}$

    $g'''(\pm \sqrt{\frac{2}{3}})\neq 0 \Rightarrow$ Wendepunkt: $W_1(-\sqrt{\frac{2}{3}}|-\frac{5}{9})$, $W_2(\sqrt{\frac{2}{3}}|\frac{5}{9})$

  3. $g''(-1)>0 \Rightarrow \text{Linkskurve}$
    $g''(0)<0 \Rightarrow \text{Rechtskurve}$
    $g''(1)=3>0 \Rightarrow \text{Linkskurve}$


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