Paketschein

Funktionenscharen

Flugbahnen können gut durch eine quadratische Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ genähert werden. Die Starthöhe wird dabei durch den Parameter $c$ beschrieben. Lässt man diesen Parameter oder einen der anderen in dem Funktionsterm offen, erhält man eine Funktionenschar in Abhängigkeit des gewählten Parameters.

1 Die Flugbahn
Papierschachtel

Tim möchte gerne über den kleinen See springen. Er weiß, dass er bei idealen Bedingungen 3,40 m weit springen kann. Sein Problem: Der See ist 3,60 m breit.

Er überlegt:"Ich baue mir eine Rampe die 50 cm hoch ist und springe von dort ab." Reicht ihm diese Höhe? Wie viel bringt ihm jeder cm Höhe?

Fertige eine Beispielskizze an.

enaktiv

2 Die Skizze
Skizze für Sprungparabel

Fertige eine Beispielskizze an. Und vergleicht eure Ergebnisse.

Da bei einer Steigung von 45 °, bzw. 1 die maximale Sprungweite erzielt wird, schreibt man mit der Absprunghöhe $c$:

$$f_c(x)=\frac{-10}{34}x^2+x+c$$

Die Skizze zeigt mögliche Sprung­pa­ra­beln. Die Menge aller Funktionsterme heißt Funktionenscharen, die Menge aller Schaubiler heißt Kurvenscharen.

ikonisch und numerisch

3 Nullstellen der Funktionenschar
Kurvenschar für Sprungparabel

Wir bestimmen die Nullstellen der Funktionenschar $f_c(x)$:

$\begin{align} -10/34x^2+x &= -c ~~|\cdot(-34/10)\\ x^2 - 3,4x &= 3,4c\\ \Rightarrow x_{1/2} = 1,7 &\pm \sqrt{3,4c+2,89} \end{align}$
Absprunghöhe $c$ in m 0 0,5 1
Sprungweite $f_c(x)$ in m 3,40 3,84 4,21

symbolisch

4 Extrempunkte bestimmen
Schaubild der Zielfunktion

Mit der Ableitung $f_c'(x)=\frac{-20}{34}x+1$ lassen sich auch die Extrempunkte der Funktionenschar bestimmen: $\frac{-20}{34}x = -1 \Leftrightarrow x =1,7$

Einsetzen in $f_c(x)$ liefert den Hochpunkt: $HP(1,7;0,85+c)$

Alle Hochpunkte liegen auf der Geraden $x=1,7$.

5 Gemeinsame Schnittpunkte
Schaubild der Zielfunktion
$$g_t(x)=x(x-t)^2$$

Die Kurvenscharen der Funktion $g_t(x)$ haben einen gemeinsamen Schnittpunkt in der Nullstelle N(0|0), da sowohl die x- als auch die y-Koordinate unabhängig vom Parameter t ist.

$\begin{align} x(x-t)^2 &= 0\\ \Leftrightarrow x=0 &\lor x=t\\ \end{align}$

Extrem- und Wendepunkte liegen hingegen nicht auf einem gemeinsamen Punkt, sondern auf einer Kurve der sogenannten Ortskurve.

6 Ortskurve von Wendepunkten
Schaubild der Zielfunktion

Mit der 2. Ableitung $g_t''(x)=6x-4t$ lässt sich der Wendepunkt W(2/3t|2/27t3) bestimmen: $ 6x-4t = 0 \Leftrightarrow x = 2/3t$

Die Ortskurve bestimmt man indem man die x-Koordinate nach dem Parameter t auflöst. Das Ergebnis wird in die Gleichung für die y-Koordinate eingesetzt.

$\begin{align} y &= 2/27t^3 |t=3/2x\\ y &= 1/4x^3\\ \end{align}$

Quellen: H.Griesel et.al., "Elemente der Mathematik", Schroedel Verlag, 2010



Aufgabe 1 Der freie Fall

Die zurückgelegte Strecke beim freien Fall berechnet sich mit dem freien Parameter $a$ zu:

$$s(t)=\frac{1}{2}at^2$$

Die Beschleunigung auf der Erde beträgt $a=g=9,81$ m/s2, auf dem Mars haben wir $a=3,71$ m/s2 und auf dem Mond haben wir noch $a=g=1,63$ m/s2.

  1. Rate: Wie lange dauerte der Sprung von Felix Baumgartner aus ca. 39 km Höhe?
  2. Skizziere die Graphen für $a=9.81$, $a=3.71$ und $a=1.63$.
  3. Zeige, dass die Kurvenschar sich in einem Punkt berührt.
  4. Zeige, dass die Tiefpunkte nicht auf einer Ortskurve liegen.
Kurvenschar

  1. ca. 9 Minuten und 2 Sekunden
  2. Die Kurvenschar:
    Kurvenschar

  1. Die Nullstelle N1(0|0) ist unabhängig vom Parameter t.
  2. Der Tiefpunkt TP(0|0) ist unabhängig vom Parameter $a$. Somit liegen alle Tiefpunkte in einem Punkt und nicht auf einer Ortskurve.


Aufgabe 2 Kurvenschar Funktion 4. Grades

Gegeben ist die Funktion $f_t(x)=1/12t^2x^4+1/6tx^3$ mit $t>0$.

Kurvenschar

  1. Skizziere die Graphen für $t=0.5$, $t=1$ und $t=2$.
  2. Bestimme die Nullstellen.
  3. Bestimme die Extrempunkte.
  4. Bestimme die Wendepunkte.
  5. Zeige dass die Kurvenschar sich in einem Punkt berührt.
  6. Bestimme die Ortskurve des Tiefpunktes.
  7. Bestimme die Ortskurve des Wendepunktes.
  1. Skizze:
    Kurvenschar

  2. Nullstellen: N1(0|0), N2($-\frac{2}{t}$|0)
  3. Extrempunkte: S(0|0), TP($\frac{-3}{2t}$|$-\frac{9}{64t^2}$)
  4. Wendepunkte: WP1(0|0), WP2($-\frac{1}{t}$|$-\frac{1}{12t^2}$)
  1. Die Nullstelle N1(0|0) ist unabhängig vom Parameter t.
  2. Ortskurve des Tiefpunktes: $y=-\frac{1}{16}x^2$ Kurvenschar mit Ortskurve
  3. Ortskurve des Wendepunktes: $y=-\frac{1}{12}x^2$


Aufgabe 3 Slopestyle

In einem Slopestyleparcour springt Thomas über eine 1 m hohe Schanze. In Abhängigkeit seiner Geschwindigkeit springt er weiter oder kürzer. Die Kurve kann mit folgender Funktionenschar für $x\ge 0$ genähert werden:

$$f_k(x)=-\frac{1}{k}x^2+1$$
  1. Skizziere die Kurvenschar für $k=1$, $k=3$ und $k=10$.
  2. Bestimme die Nullstellen.
  3. Bestimme die Ortskurve der Nullstellen.
  4. Bestimme die Ortskurve des Hochpunkts.
Slopestyle

  1. Skizze:
    Kurvenschar

  2. Nullstelle für $x\ge 0$
    $ 0 = 1/k x^2-1~~|+1\\ 1 = 1/k x^2~~|\cdot k\\ k = x^2\\ x = \sqrt{k}\\ $

  3. Ortskurve der Nullstellen: $y=0$
  4. Ortskurve des Hochpunktes: Da der Hochpunkt an der Stelle HP(0|1) liegt und somit unabhängig vom Parameter k gibt es zu dem Hochpunkt keine Ortskurve.


Info Produktregel ...


Die Produktregel einfach erklärt von DorFuchs

$$f(x)=x^2\cdot x^3=x^5$$ $$f'(x)=5x^4 \neq 2x \cdot 3x^2$$

Aufgabe 4 Ortskurve und Produktregel

Gegeben ist die Funktion:

Kurvenschar

$$f_t(x)=(x-2)(x-t)^2$$
  1. Berechne die Nullstellen.
  2. Bestimme die ersten 2 Ableitungen mit Hilfe der Produktregel.
  3. Berechne die Extrempunkte.
  4. Berechne die Wendepunkte
  5. Bestimme die Ortskurve der Extrempunkte und der Wendepunkte.
  6. Zeichne das Schaubild der Funktion für $t=-0.5$, $t=-1$ und $t=-1.5$, trage die Ortskurven in dem Diagramm ein.
  1. Nullstellen:
    N1(2|0), N2(t|0)
  2. Ableitungen:
    $f'(x)=(x-t)^2+(x-2)\cdot 2(x-t)$
    $f'(x)=(x-t)\left((x-t)+2(x-2)\right)$
    $f''(x)=2(x-t)+(x-2)\cdot 2 + 2(x-t)$
    $f''(x)=6x-4t-4$
  3. Extrempunkte:
    HP$(t\:|\: 0)$
    TP$\left(\frac{t+4}{3}\:|\: \frac{t-2}{3}\left(\frac{4-2t}{3}\right)^2\right)$
  4. Wendepunkte: WP$\left(\frac{2t+3}{3}\:|\: \frac{2t-4}{3}\left(\frac{2-t}{3}\right)^2\right)$
  1. Ortskurven:
    $y_{HP}=0$
    $y_{TP}=(x-2)(-2x+4)^2$
    $y_{WP}=(x-2/3)(-x/2+1)^2$
  2. Kurvenschar
    Kurvenschar


Aufgabe 5 Produktregel

Leite einmal mit der Produktregel ab und vereinfache den Term.

  1. $f(x)=x^2 \cdot x^4$
  2. $f(x)=x^2 \cdot x^{-3}$
  3. $f(x)=(x^2+x) \cdot (x+1)$
  4. $f(x)=(x^2-2x)^2$
  1. $f(x)=x^2 \cdot \frac{1}{x^4}$
  2. $f(x)=\sqrt{x} \cdot x^3$
  3. $f(x)=3\sqrt{x} \cdot (x^2-\frac{1}{x^2})$
  4. $f(t)=(x-t)^2-2t$
  1. $f'(x)=x^2 \cdot 4x^3 +2x \cdot x^4 $ $=4x^5+2x^5=6x^5$
  2. $f'(x)=-x^{-2}$
  3. $f'(x)=(x^2+x) \cdot 1 $ $+ (2x+1)(x+1)$ $=3x^2+4x+1$
  4. $f'(x)=4x^3-12x^2+8x$
  1. $f'(x)=-2x^{-3}$
  2. $f'(x)=\frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}$
  3. $f'(x)=\frac{15}{2}x^{\frac{3}{2}}+\frac{9}{2}x^{-\frac{5}{2}}$
  4. $f'(t)=2t-2x-2$

Aufgabe 6 Kurvenschar Funktion 4. Grades

Gegeben ist die Funktion $f_k(x)=4x^4-kx^3+3kx^2$.

Kurvenschar

  1. Skizziere die Graphen für $k=-1$, $k=1$ und $k=3$.
  2. Für welche k hat der Graph von $f_k$ exakt eine waagerechete Tangente. Tipp: Nutze www.wolframalpha.com um dir die Funktion anzeigen zu lassen.
  3. Zeige dass die Kurvenschar sich in einem Punkt berührt.
  4. Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte.
  1. Skizze:
    Kurvenschar

  2. exakt eine waagerechte Tangente: $128/3 > k \ge 0 $
  3. Extrempunkt: E(0|0). Die Koordinaten sind unabhängig vom Parameter der Funktionenschar.
  4. 2. Ableitung: $f_k''(x)=48x^2-6kx+6k$. Setzt man diese Gleichung Null erhält man zwei Wendepunkte und kann deren Ortskurven bestimmen.


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