Tempel Chedi Luang Chiang Mai

Volumen und Oberfläche von Körpern

Hier werden alle wichtigen Informationen zu Volumen und Oberflächen von Quadern, Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln gegeben.

1 Quader
Ritter Sport Schokolade

Ein Quader mit der Grundfläche $G = a \cdot b$ und der Höhe $h$ hat das Volumen $V$

$$V=G \cdot h$$

Die Oberfläche $O$ mit der Mantelfläche $M= 2a \cdot h + 2b \cdot h$

$$O=2G + M$$
2 Prismen
Prisma mit Strahl

Ein Prisma mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ hat das Volumen $V$

$$V=G \cdot h$$

Die Oberfläche $O$ mit der Mantelfläche $M= u \cdot h$, wobei $u$ der Umfang der Grundfläche ist, berechnet sich zu:

$$O=2G + M$$
3 Zylinder
Zylinder mit Mantelfläche

Ein Zylinder mit der Grundfläche $G=\pi \cdot r^2$ und der Höhe $h$ hat das Volumen $V$

$$V=G \cdot h$$

Die Oberfläche $O$ mit der Mantelfläche $M= u \cdot h$, berechnet sich zu:

$$O=2G + M$$
4 Pyramiden
Höhensatz

Eine Pyramide mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ hat das Volumen $V$

$$V=\frac{1}{3} G \cdot h$$

Die Mantelfläche $M$ berechnet man, indem man die Seiten in rechtwinklige Dreiecke aufteilt.Die Oberfläche $O$ mit der Mantelfläche $M$, berechnet sich zu:

$$O=G + M$$

Für den Pyramidenstumpf mit den Grundflächen $A_1$ und $A_2$ und der Höhe $h$ gilt: $V=\frac{1}{3}h\left(A_1+\sqrt{A_1 A_2}+A_2\right)$

5 Kegel und Kegelstumpf
Trigonometrie

Ein Kegel mit der Grundfläche $G=\pi r^2$ und der Höhe $h$ hat das Volumen $V$

$$V=\frac{1}{3} G \cdot h$$

Für die Oberfläche $O$, mit der Länge der Mantellinie $s$ und der Mantelfläche $M=\pi \cdot r \cdot s$, gilt:

$$O=G + M$$

Für den Kegelstumpf mit dem großen Radius $R$ und dem kleinen Radius $r$ gilt: $V=\frac{1}{3}\pi\left(R^2+rR+r^2\right)h$

6 Kugel
Trigonometrie

Eine Kugel hat das Volumen $V$

$$V=\frac{4}{3} \pi r^3$$

Für die Oberfläche $O$ gilt:

$$O=4\pi r^2$$

Merke: Für die Kugel lässt sich keine Netzfläche zeichnen.

7 Zusammenfassung

In dem Video von Daniel Jung werden die Berechnungen zu Volumen und Oberfläche von verschiedenen Körpern nochmal zusammengefasst

Übrigens: Zusammengesetzte Körper berechnet man einfach indem man die Volumina der einzelnen Körper addiert. Bei der Berechnung der Oberfläche muss man die sich berührenden Flächen von der Gesamtoberfläche abziehen

Ideen:
A. Wernli, Christliche Deutsche Schule Chiang Mai
D. Jung, Mathe by Daniel Jung, Youtube



Aufgabe 1 Die Schokoladentafel - Quader

Die quadratische Schokoladentafel hat eine Kantenlänge von 5 cm und eine Höhe von 0,5 cm. Die Lücken zwischen den Schokorippchen betragen 3,33 mm.

Berechne das Volumen und die Oberfläche eines Rippchens.

Schokoladentafel

Volumen: $V=0,5\:cm^3$

Oberfläche: $O=4\:cm^2$


Aufgabe 2 Die Kuchenform - Pyramidenstumpf

Kuchenform

Berechne das Volumen der Backform.

  1. $V=2032,5\:cm^3$

Aufgabe 3 Die Teedose

Die Teedose hat eine Höhe von 22 cm und einen Durchmesser von 12 cm.

Berechne das Volumen und die Oberfläche der Teedose.

Teedose

Volumen: $V= 2488,14\:cm^3$

Oberfläche: $O= 1055,58\:cm^2$



Aufgabe 4 Der Turm

mittelalterlicher Turm in Glurns - Vinschgau

Der Turm in der Stadtmauer von Glurns hat eine Höhe von 10 m. Der quadratische Turm hat eine Breite von 4 m und das Dach beginnt bei einer Höhe von 8 m. Das pyramidenförmige Dach steht auf jeder Seite 0,25 m über.

  1. Berechne das Volumen des Turms.
  2. Berechne die Oberfläche des Turms (ohne Boden).
  3. Berechne das Volumen ohne den Torbogen, welcher mit seinem halbkreisförmigen Bogen 1,40 m breit und 2,70 m hoch ist.
  1. Volumen: $V=141,5\:m^3$
  2. Oberfläche:
    $M_{Pyramide}=27,09\:m^2$
    $G_{Pyramide}=4,25\:m^2$
    $M_{Quader}=128\:m^2$
    $O=159,34\:m^2$

Entspann dich erstmal ...

Planet Wissen: Die Pyramiden von Gizeh

Aufgabe 5 Turm mit kegelförmigen Dach.

Parallelogramm

Glurns im Vinschgau (Südtirol - Italien) ist eine der kleinsten Alpenstädte. Die Besonderheit: Die Stadtmauern von Glurns sind vollständig erhalten. So hat es auch einen runden Turm mit kegelförmigem Dach.

Der Turm hat eine Gesamthöhe von 6,5 m und einen Durchmesser von 4,20 m. Das Dach hat eine Höhe von 2,5 m.

  1. Fertige eine Skizze an und trage die bekannten Maße ein.
  2. Berechne das Volumen des Turms.
  3. Berechne die Oberfläche des Turms.
  4. Ein Quadratmeter der aufwändigen Holzschindeln kostet 79 Euro. Berechne den Preis für das gesamte Dach.


Wortliste und Satzbausteine



das Volumen $V$, Volumina ein Maß für den Inhalt eines Körpers
die Ober­fläche $O$, -n ein Maß für die Außenfläche eines Körpers
die Grund­fläche $G$, -n die Fläche auf der ein Körper steht
die Mantel­fläche $M$, -n ein Maß für die Außenfläche eines Körpers ohne dessen Grundfläche
der Quader, ~ Der Quader ist ein Körper der von sechs Rechtecken begrenzt wird.
$V=G \cdot h=a\cdot b \cdot h$
$O=2G + M$ $=2ab+ 2ah + 2bh$
das Prisma, Prismen Ein Prisma besteht aus zwei paralleln Grundflächen (Vielecke) und den rechteckigen Seitenflächen. Besteht die Grundfläche bspw. aus einem Dreieck gibt es drei Seitenflächen.
$V=G \cdot h$
$O=2G + M$ $=2G+ uh$
der Zy­linder, ~ Der Zylinder besteht aus 2 parallelen Kreisflächen, welche durch eine Mantel­fläche miteinander verbunden sind.
$V=G \cdot h=\pi r^2 h$
$O=2G + M$ $=2G+ uh$
die Pyra­mide, -n Die Pyramide besteht aus einer quadratischen Grundfläche und vier deckunsgleichen Dreiecken.
$V=\frac{1}{3}G \cdot h$
$O=G+M$
der Kegel, ~ Der Kegel besteht besteht aus einem Kreis als Grundfläche und der Mantelfläche.
$V=\frac{1}{3}G \cdot h$
$O=G+M$
der Kegel­stumpf, -"e ein Teil eines Kegels
die Kugel, -n hat die Form eines Balls
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$
$O=4\pi r^2$
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