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Folgen und Grenz­werte

Hier wird erklärt, was Folgen und Grenzwerte sind.

1 Der Turm von Hanoi
Bücherstapel

Der "Turm von Hanoi" von Eduard Lucas (1842) ist ein Klassiker der Mathe­matik: Ein Turm aus, nach oben immer kleiner wer­denden Goldscheiben, soll um­ge­schich­tet werden. Dazu gibt es neben dem Turm zwei Stapelmöglichkeiten.

Stapelt 6 immer kleiner werdende Bü­cher übereinander. Nun stapelt den Turm nach folgenden Regeln um:
1. Bewege bei jeder Umlegung jeweils nur ein Buch.
2. Lege ein Buch nur auf ein görßeres Buch oder eine leere Stel­le.
Wie lange braucht ihr dafür?

|enaktiv

2 Struktur schaffen durch vereinfachen
strukturierte Tabelle

Wir strukturiern das Problem: Machst du das Experiment mit nur einem Buch benötigst du eine Umlegung.

Bei zwei Büchern brauchst du drei Umle­gungen. Bei drei Büchern brauchst du 7 Um­legungen. Probier die Umlegung mit drei Büchern und überlege wie es mit 4 Büchern aussehen würde.

Bei 4 Büchern schichtes du zuerst die drei Bücher mit 7 Zügen um, dann ver­schiebst das 4. Buch und benötigst abschließend wieder 7 Züge. Das sind insgesamt 7+1+7=14 Züge.

|ikonisch+numerisch

3 Berechne die Anzahl der Umlegungen
Tabelle mit Werten

n ist die Anzahl der Bücher oder Scheiben und u die Anzahl der Umlegungen. Wenn du nun einen Turm mit n+1 Scheiben bauen möchtest benötigst du $u_{n}+1+u_{n}=2u_n+1$ Umlegungen. Es gilt also:

$$u_{n+1}=2u_n+1~~~\text{mit}~~u_1=1$$

Alternativ lässt sich aus der Tabelle die Anzahl der Umlegungen für eine gegebene Anzahl an Scheiben herleiten:

$$u_{n}=2^n-1$$

|symbolisch

4 Eine Folge
goldener Turm

Eine Folge (auch Zahlenfolge) $a_n$ besteht aus den Folgegliedern $a_1, a_2, a_3, ...$ welche über eine Rechenoperation (Algorithmus) verknüpft sind.

Man unterscheidet zwischen der rekur­siven Darstellung $u_{n+1}=2u_n+1$ mit Startwertangabe $u_1=1$ und der expliziten Darstellung $u_n=2^n-1$.

Bei der rekursiven Darstellung müssen alle vorherigen Werte des gesuchten Wertes bestimmt werden. Mit etwas Geschick kann man aus der rekursiven Darstellung die expliziete Darstellung ableiten.

5 Grenzwert einer Folge
Donald Duck

Donald Duck ist wieder knapp bei Kas­se. Zum Glück kann er sich für ein Jahr ei­nen Goldtaler von Dagobert Duck leihen. Dagobert verlangt aber Wucherzinsen von 100 % pro Jahr. Und da er hinter je­dem Kreuzer her ist, kommt er auf eine Idee: Statt die 100 % Zinsen jährlich zu fordern, verlangt er die ersten 50 % schon nach einem halben Jahr, und verzinst die Zinsen im zweiten Halbjahr mit. Doch dann denkt er sich: „Wieso erst nach ei­nem halben Jahr? Noch besser wäre vierteljährlich. Oder sogar jeden Monat, jeden Tag, …“

Kann er so immer mehr Geld verdienen?

6 Berechnung der Wucherzinsen

Startkapital: $K_0=1~$GT
Zinssatz: $p=100~$%

jährlicher Zinszusschlag:
$K_{1/1} = K_0+K_0\cdot p = K_0(1+p) $$= 1(1+1) = 2$

halbjährlicher Zinszusschlag:
$K_{1/2} = K_0\hspace{-1mm}+\hspace{-1mm}K_0\hspace{-1mm}\cdot p/2 = K_0(1\hspace{-1mm}+p/2)$
$K_{2/2} = K_{1/2}+K_{1/2}\cdot p/2 $$= K_{1/2}(1+p/2) = K_0(1+p/2)^2 $$= 2,25$

vierteljährlicher Zinszusschlag:
$K_{1/4} = K_0\hspace{-1mm}+\hspace{-1mm}K_0\hspace{-1mm}\cdot p/4 = K_0(1\hspace{-1mm}+p/4)$
...
 $K_{4/4}$ $= K_{3/4}(1+p/4) $$= K_0(1+p/4)^4 ≈ 2,44$

monatlicher Zinszuschlag:
$K_{12/12} = K_0(1+p/12)^{12} $$ =1(1+1/12)^{12} $$≈ 2,61$

in n regelmäßigen Abständen:
$K_{n/n} = K_0(1\hspace{-1mm}+\hspace{-1mm}p/n)^n =1(1\hspace{-1mm}+1/n)^n$

7 Folge und Grenzwert | Eulersche Zahl e

Festgeldanlage mit n-maliger Verzinsung und Zinssatz von 100 %:

$n$ 1 10 100 1000
$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 2 2,594 2,705 2,717

Merke: Bei stetiger Verzinsung ($n \rightarrow \infty$) und 100 % Zinssatz steigt das Kapital um den Faktor $e=2,71828$…

$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$

Die Eulersche Zahl $e$ ist eine irrationale Zahl, die sich weder durch Bruch noch Wurzelausdruck beschreiben lässt.

G. Langenstein, RP Tübingen
N. H. Supper, CDSC Chiang Mai
H. Griesel et. al., "Elemente der Mahtematik", B.-W., Blidungshaus Schulbuchverlag, 2010



Aufgabe 1

Finde die explizite Darstellung der rekursiv angegebenen Folge heraus. Berechne dafür die Folgenglieder a1 bis a6.

  1. $a_1=0$; $a_{n+1}=a_n+1$

  2. $a_1=0$; $a_{n+1}=a_n+2$

  3. $a_1=0$; $a_{n+1}=a_n-5$

  4. $a_1=100$; $a_{n+1}=a_n-5$

  1. $a_1=10$; $a_{n+1}=-a_n$

  2. $a_1=0,5$; $a_{n+1}=(-2)\cdot a_n$

  3. $a_1=1$; $a_{n+1}=3a_n+1$

  4. $a_1=4$; $a_{n+1}=a_n$

  1. $a_n=n-1$

  2. $a_n=2n-2$

  3. $a_n=-5n+5$

  4. $a_n=-5n+105$

  1. $a_n=10\cdot (-1)^{n+1}$

  2. $a_n=2^{n-2}\cdot (-1)^{n+1}$

  3. $a_n=\Sigma_{i=1}^n 3^{i-1}$

  4. $a_n=4$


Entspann dich erst mal ...

Ein Mathematiker und ein Bauingenieur sollen die Statik eines vierbeinigen Tisches berechnen. Was macht der Bauingenieur? Er schaut in seinen Baukalender, nimmt seinen Taschenrechner und rechnet das Ergebnis aus.

Was macht der Mathematiker?

Er berechnet zuerst die Statik eines einbeinigen Tisches und danach die Statik für einen Tisch mit n+1 Beinen, wenn die eines n-beinigen Tisches bekannt ist. Dann wendet er diese Formel dreimal auf sein erstes Ergebnis an.

Quelle: Fachschaft Mathematik, Uni Tübingen



Aufgabe 2 arithmetische und geometrische Folgen

Schreibe als arithmetische oder geometrische Folge.

  1. $5, 9, 13 ... 29 $

  2. $5, 0, -5 ... -20 $

  3. $8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4} ... \frac{1}{16}$

  1. $2, -4, 8, -16, ... -1024$

  2. $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9} ... \frac{1}{100}$

  3. Handelt es sich bei der letzten Folge um eine arithmetische oder geometrische Folge?

  1. $a_n=5+(n-1)\cdot 4$

  2. $a_n=5+(n-1)\cdot (-5)$

  3. $a_n=8 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

  1. $a_n=2 \cdot (-2)^{n-1}$

  2. $a_n=\frac{1}{n^2}$

  3. Es wird weder mit einem konstanten Faktor addiert (arithmetische Folge), noch mit einem konstanten Faktor multipliziert (geometrische Folge). Also handelt es sich weder um eine arithmetische noch um eine geometrische Folge.


Aufgabe 3 Die Schokoladentafel

Schokoladentafel

Wie oft muss man eine beliebige Schokoladentafel brechen um jedes Stück zu vereinzeln?

Idee: P. Wunderlich, Seminarweingarten

Eine Tafel hat $x\cdot y$ Rippchen. Die Anzahl $n$ der Teilungen berechnet sich dann zu:

$$n=x-1+(y-1)\cdot x=xy-1$$

Aufgabe 4 Grenzwert einer Folge

Berechne für $n=1, 10, 100, 1000, 10000$ den Wert der Folge. Welchen Grenzwert haben die Folgen?

  1. $a_n=\frac{1}{n}$
  2. $a_n=2+\frac{1}{n}$
  3. $a_n=2-\frac{1}{n}$
  1. $a_n=\left(\frac{1}{4}\right)^n$
  2. $a_n=2+\left(\frac{1}{4}\right)^n$
  3. $a_n=2-\left(\frac{1}{4}\right)^n$
  1. $0$
  2. $2$
  3. $2$
  1. $0$
  2. $2$
  3. $2$

das Paradoxon des Achilles von Zenon

Achilles läuft gegen die Schnecke. Da die Schnecke langsamer ist erhält sie einen Vorsprung. Achilles muss vor dem Überholen Ihren Vorsprung einholen. In der Zeit die er dafür benötigt hat die Schnecke aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung herausgeholt. Folglich ist die Schnecke immer vor Achilles. Was stimmt hier nicht?

Skizze Mensch und Schnecke


Grenzwert der Reihe (Hinweis: Es wird immer die Hälfte von der Differenz zum Grenzwert addiert.):

Merke: Nähert sich eine Reihe oder Folge mit zunehmendem Index einer Zahl, nennt man diese Zahl Grenzwert oder Limes der Reihe/Folge. Die Reihe/Folge ist konvergent.

Zenons Trugschluss: Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann. D.h. auch wenn die Strecke unendlich oft unterteilt wird, wird sie in einer endlichen Zeit durchlaufen.


Aufgabe 5 Grenzwert

Bestimme den Grenzwert.

  1. $\lim_{x\to\infty}=\frac{1}{2x}$
  2. $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$
  3. $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$
  1. $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^x$
  2. $\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{2x}$
  3. $\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2+x}-x$
  1. $\lim_{x\to\infty}=\frac{1}{2x}=0$
  2. $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
  3. mit l'Hopital oder Taylorreihe: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
  4. mit $\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x= e^a$: $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^x=\sqrt{e}$
  5. mit Ausklammern von $x^2$: $\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{2x}$ $ =\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}-2}{2x}$ $ =\lim_{x\to\infty}\frac{x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-2}{2x}$ $ =\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}-\frac{2}{x}}{2}=\frac{1}{2}$
  6. durch Erweitern mit der 3. binomischen Formel: $\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2+x}-x$ $ =\lim_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \cdot \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}$ $ =\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-x^2}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}=\frac{1}{2}$


Wortliste und Satzbausteine



der Turm von Hanoi, -"e ein mathematisches Experiment von Eduard Lucas aus dem Jahre 1842
Strukturieren und Vereinfachen eine mathematische Methode, um ein komplexes Problem zu lösen
die Folge, -n Eine Folge (auch Zahlenfolge) $a_n$ besteht aus den Folgegliedern $a_1, a_2, a_3, ...$ welche über eine Rechenoperation (Algorithmus) verknüpft sind.
die rekursive Darstellung einer Folge Bei der rekur­siven Darstellung einer Folge $u_{n+1}=2u_n+1$ benötigt man eine Startwertangabe $u_1=1$. Um einen speziellen Wert der Folge zu berechnen, müssen alle vorherigen Werte des gesuchten Wertes bestimmt werden.
die explizite Darstellung einer Folge Bei der expliziten Darstellung einer Folge $u_n=2^n-1$ lässt sich der gesuchte Wert direkt berechnen.
der Kredit, -e Ein Kredit ist geliehenes Geld (Schulden) von einer Bank, welches mit Zinsen zurückgezahlt werden muss.
der Zins, -en Der Zins ist die Gebühr, welche man regelmäßig für die Schulden bezahlt.
der Grenzwert, -e Manche Folgen nähern sich (auch: konvergieren zu) im Unendlichen einem Grenzwert. $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$
die eulersche Zahl $e$ Die Eulersche Zahl $e = 2,71828...$ ist eine irrationale Zahl, die sich weder durch Bruch noch Wurzelausdruck beschreiben lässt.
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